八年级学生数学问题解决能力测评分析——以2019年浙江省初中教育质量监测为例

张宗余 应佳成 周伟扬 闫 洪

2019年10月24日，浙江省教育厅开展初中教育质量综合评价研究，以八年级学生的数学学科能力为研究对象，采用纸笔测评形式在全省11 个设区市、96个县（市、区）组织实施了抽样调查与测试。全省样本总量43668，其中城市学校、县城学校和乡镇农村学校的学生分别占25.8%、27.6%和46.6%；公办学校、民办非民工子弟学校和民办民工子弟学校的学生分别占82.7%、14.6%和2.7%；男、女生分别占52.6%和47.4%。

“问题解决”能力是数学学科能力的重要体现，数学学科能力水平测试的内容为：在全面检测学生的数学基础能力水平（包括基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验等的形成水平）的同时，重点测查学生“问题解决”的能力水平。

一、“问题解决”测试背景

1.“问题解决”能力贯穿于国际学生能力评价体系

数学学习的目的在于解决各种数学情境中的问题，由于问题解决能力在数学探索、发现和创新过程中不可或缺的作用，逐步引起了国内外的普遍关注，数学问题解决能力作为一种重要的学科素养被引入到国内外课程改革与国际评价的浪潮中。自PISA2003 以来，跨学科问题解决作为重要的素养贯穿于国际学生能力评价的体系，PISA2012 更加倡导学生成为一个积极的问题解决者。“问题解决”能力测试内容包括实际问题和纯数学问题的解决。

2.“问题解决”能力在课程标准中的明确要求

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中对“问题解决”的界定为：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；学会与他人合作交流；初步形成评价与反思的意识。”可见，问题解决能力的高低是衡量数学素养的重要指标。

3.“问题解决”是初中生核心素养中的核心

2016 年，北师大林崇德教授领衔的专家团队所研制的《中国学生发展核心素养》正式公布，明确了我国中学生发展核心素养的总体框架与基本内涵。其中，问题解决能力是学生发展核心素养的重要方面，更是指向数学学科素养评价的载体。

从“浙江省中小学教育质量综合评价2019 年初中监测数学学科报告”中可获取以下信息：全省学生在“问题解决”能力测试部分的得分率低于整卷，特别是学业水平D 等的学生其得分率更低，相邻等级间的差距显著，监测结论为“数学问题解决”是初中生能力发展中的薄弱环节。

本文将从问题解决能力测评框架、测试主要发现等角度对本次监测所发现的问题加以分析，并结合分析结论提出改进建议。

二、“问题解决”能力水平测试框架

本次能力水平测试框架综合借鉴了匈牙利数学家波利亚的“解题四步骤”[1]、美国心理学家奥苏伯尔的解决问题过程四个阶段[2]、浙教版教材中问题解决的基本步骤[3]等理论基础，将指向“问题解决”能力指标细分为4 个一级指标和8 个二级指标，一级指标从“信息收集与理解”“计划探索与制定”“方案实施与改进”“结果反思与拓展”四个方面进行设计。二级指标则是对一级指标的进一步细化，将4 个一级指标分解为8 个具体测试细节，文章对问题解决能力的分析也将围绕这两级指标展开，框架如图1所示。

图1 问题解决能力指标框架

三、学生“问题解决”能力测试主要发现

用能力水平测试的二级指标分析本次监测报告中学生能力部分反馈的数据，可得到基本结论：浙江省学生在“收集与整理信息”“分析与提炼信息”“探索与寻求计划”“执行与实施计划”能力方面都有较理想的数据反馈，但是“制定与完善计划”“规范与改进计划”“理解与反思结果”“联系与拓展结果”等能力不理想，说明学生擅长解决执行性的、偏于形象思维的问题，而主动规划和拓展的能力较为欠缺。

（一）学生在“问题解决”能力表现中较好的方面

1. 学生根据图形、图表信息，合理分析与表征数量关系的能力较强

“收集与整理信息”“分析与提炼信息”都属于“信息获取和加工能力，包括从给定的信息中查找相关信息、比较选择所需信息、直接应用信息解决问题等能力集群[4]”，对减少无关因素的干扰、正确解决数学问题起着极其重要的作用。监测数据显示，学生根据图形、表格、操作、剪拼等方式读取信息、处理问题的能力较强。

典型题1：测试卷第8题

如下图示，将一张纸上下对折，再左右对折，然后剪出局部图案，将此展开后可以得到一幅图案。

事实上，这个问题的情境看似复杂，实则不难，线性思维特征明显，基本思维流程为：

信息收集与理解是解决问题的前提，从问题情境中筛选解决问题的有效信息、剔除无关信息、正确理解信息本身的意义和信息与问题之间的关系、用已有知识经验解决问题是重要的数学能力。数据显示，此题正确率高达82.54%，一方面说明图形信息较为直观，易于从问题表征发现本质属性，因而不同性质学校和不同水平学生的得分率相差不多。另一方面说明，学生图形信息的感知能力较强，有较强的直观想象能力。

2. 学生运用有效载体，探索与制定问题解决方案的能力较强

“探索与寻求计划”“执行与实施计划”需要结合问题特征，提出和建立适当的解决问题的数学模型，并进行简单的可操作性分析，最终形成明确、合理的解决问题的方案，能否制定出合理、可行的方案是问题解决的关键环节。数据显示，多数学生能够积极探索条件与所要解决的问题之间的内在联系，发现解决问题的各种可能途径，选择合适的数学模型，形成解决问题的初步方案，并在多种可行方案中寻求最优化方案。

典型题2：测试卷第16题

如图，量得1 个羽毛球高9cm，若2 个羽毛球叠在一起，则高为11.5cm。现在把若干个羽毛球叠在一起装进一个圆包装桶里，桶盖厚度不计。

（1）如果这个圆包装桶的长度为13.5cm，桶内能否装下3个羽毛球？为什么？

（2）如果这个圆包装桶的长度为37cm，桶内最多能装几个羽毛球？

第（1）小题典型解答方法如下：

∵2 个紧叠在一起的羽毛球高为11.5cm，1 个球高9cm，而11.5－9＝2.5，

∴3 个紧叠在一起的羽毛球高为11.5＋2.5＝4cm＞13.5cm，

∴不能装下3个羽毛球。

此题平均得分6.41 分，得分率80.12%。通过对羽毛球叠放的数量关系分析，发现其具有“等距”增长的特点。事实上这是一次函数模型的典型特征，根据这一特点综合运用画图、列表等手段即可解决问题。总体得分情况较好，表明学生运用有效载体，探索与制定问题解决方案的能力较强，这与日常教学比较重视学生间的方法交流和相互的评价建议相一致。这种典型的解答方式属于算术方法，问题解决方式较为直观，只需通过收集问题中的文字信息和图形信息，并能通过对球高、叠起后的高出部分等的计算，推断出问题的结论即可，说明学生在解决问题的过程中，更倾向于选择简单、直接的解题方式。

（二）学生在“问题解决”能力表现中有待提高的方面

1.“制定与完善计划”的能力有待加强

制定与完善计划的能力融于问题解决的全过程，决定了问题解决的结果是否完备合理。“从某种实际意义上说，计划是一种主控机制，它的作用是保证进行的活动是有益的（尽可能做到最好）”。[5]问题解决往往是思维的完善程度的体现，常见的重复、遗漏等弊病是由于制定与完善计划的能力欠缺。本次监测数据显示，学生在计划的有序性、严谨性上所表现出的能力差异较大，规划能力需要加强。

典型题3：测试卷第7题

如图，有两个全等的直角三角形硬纸片，它们的两条直角边为2 和4.用这两个纸片可拼出各种不同的凸四边形，画出所有符合要求的四边形.

本题考查学生对图形变化以及四边形概念的理解水平，需要以图形变化为基础，设计合理的分类标准，有序讨论，不重复不遗漏，梳理出各种图形组合，再进一步做出选择。但是监测反馈出学生往往不能有序分类，题目理解能力也存在问题，存在拼成三角形、直角边与斜边重合、少画图形、画出凹四边形、多画图形、分类重复等错误，表明教学中缺乏有效的分类思想的渗透，缺乏有效的分类标准的体验。画法的无序与解题规划有关，教学中要注意通过解决问题策略的培养提高问题解决能力。事实上，有效的规划如下：

能否制定合理的问题解决策略，决定了能否有效覆盖和兼顾问题的全部内涵与外延，决定了解决问题是否周密完备，决定了问题解决水平，需要引起重视。

2.“规范与改进计划”的能力有待加强

规范与改进计划的能力是一种逻辑能力，需要对问题进行综合的观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断，采用科学的有逻辑的方法，准确而有条理地表达自己的思维过程。从测试结果看，学生缺乏主动修订和改进计划的能力和意识，绝大多数学生在固定的思维框框中考虑问题，缺少主动突破的精神。

典型题4：测试卷第18题

小明骑车从家出发，到超市替妈妈买盐，买盐后原路骑车回家。若小明8:00 从家里出发，8:15 回到家里，家离超市为a米，设离家的时间（分钟）用x 表示，离家的距离（米）用y表示，x，y间的函数关系如图所示.

（1）以下求得的两个量，具有什么实际意义？

（2）若小明骑车从家到超市要经过一公交站，且公交站与家的距离为300 米。若小明在8:01 时经过此公交站，问小明什么时候与此公交站相距900米？

（3）在原题的内容中添加一个条件，请你提出一个问题（只要写出添加的条件和问题，不必解答）.

条件：_________________________________.

问题：_________________________________.

通过小明在家和超市间行走这个情景下的行程问题测试，考查学生对函数图象的认识、对数形结合等思想方法的掌握程度。但是此题平均得分只有2.87 分，得分率47.83%。第（1）小题“具有什么实际意义”这一问题得分率仅为22.20%，说明学生习惯于解答条件不多不少、条件都不矛盾的常规习题，反应出对问题信息和结果的分析、处理及反思评价能力的不足。第（2）小题得分率为44.70%，学生对问题解决有一定的思路，但是在进一步解答时，缺少更深刻的分析。第（3）小题需要学生通过对问题的解答做出反思、提出问题，考查学生是否具备一定的发现问题、提出问题的能力。

综合看，规范与改进计划能力相关的问题总体得分偏低，表明学生反思问题、发现问题、提出问题等与逻辑相关的能力有待加强，需要学会有逻辑地思考问题，能够在比较复杂的情境中把握关联，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神。

3.“理解与反思结果”的能力有待加强

对复杂的问题提出有见解的解决方案的同时，需要能根据情境做出一定的预测[6]。但是对于一些常用问题结论的迁移，学生的表现也不尽人意，稍加变式之后，学生调取知识经验的水平就大打折扣，反映出对解题过程缺乏回顾和反思，解题活动停留在经验水平，缺乏自我评价和理性认识。

典型题5：测试卷第9题

在平面直角坐标系内，函数y＝2x－3 的图象是直线l，将一张透明纸片覆盖在直线l上，在纸片上用笔描出直线l上的一个点。现在先将纸片沿x轴负方向平移2 个单位，若要使描在纸片上的点重新落在直线l上，则可以再将纸片（ ）

A.沿y轴正方向平移1个单位

B.沿y轴负方向平移1个单位

C.沿y轴正方向平移4个单位

D.沿y轴负方向平移4个单位

此题平均分1.93，得分率48.35%，结果不够理想，这是常见的一次函数变式问题，只需合理迁移一次函数知识经验即可解决，实测反映出学生对于“新”问题缺乏策略性的思考和解决方法，能力发展和经验积累不平衡，迁移能力不理想，这就需要反思，需要对所解决的问题加以总结回顾，针对问题解决过程中的“模糊部分”调取已有经验再次思考，查漏补缺，完善解题结构。

4.“联系与拓展结果”的能力有待加强

事实上，问题解决的过程就是学生调用已有知识经验，迁移解决新问题的过程，也包括用更高的观点看问题，反思提升的过程，这是在知识和能力之间建立联系的重要过程。综合来看，学生在拓展与联系方面表现出的能力差异较大，需要加强。

用联系与拓展的视角重新审视测试卷中的第16题，此题平均得分6.41 分，得分率80.12%，前文已经做过分析，但是需要注意的是，如此高的得分中调用数学模型解决问题的学生较少，事实上，此题用函数建模方法解决更具有一般性：

设有x个羽毛球紧叠在一起，高为ycm，

由题意知，y与x成一次函数关系，

设y＝kx＋b，可得y＝2.5x＋6.5，

当x＝3 时，y＝14，14＞13.5，故不能装下 3 个羽毛球。

但是这种解法只占到2.1%，总体反映出学生运用函数、方程、不等式等建模解决问题的意识和能力有待加强。

2019 年省测初中综合报告数据表明，总体上浙江学生学习策略水平分布存在一定差异，学生学习策略总体上水平分布不太理想。全省学习策略高水平学生仅占8.7%，有42.8%的学生学习策略水平一般。其中，资源管理策略相对较好，呈正态分布；认知策略和元认知策略高水平学生分别占9%和9.8%，认知策略水平一般的学生超过50%。上述数据表明，浙江省初中学生学习策略还有较大提升空间，数学教师亟待加强对数学问题探究内部影响因素的分析，加强对学科策略教学的研究。

图2 浙江省初中生学习策略及其维度水平分布

四、影响问题解决的因素及改进建议

（一）影响问题解决的因素

1. 教学理念的优劣与学业成绩正相关

监测通过教师综合问卷调查了教师的“教学评一致性”理念，依据教师对自身在课堂教学目标定位、学生学情研判、课堂学习活动、课堂练习、家庭作业等环节的准确性或匹配性作出评价。综合报告第五章得出结论：数学学科教学评一致性越高，学生的数学学业成绩相对越高。对于不同区域，数学教师教学评一致性不同水平对学生数学学业成绩的促进作用有差异。教学评一致性（以乡镇农村为例）水平从低（467.7）到较高（481.9）到高（489.6），数学学科的量尺分①量尺分：大规模测试的分数报告形式之一。通过采用某种测量模型，将学生在学科及其维度上的原始作答情况转换成测试标准分数的过程。与原始分相比，量尺分的优越性在于对不同时间、内容和难度的测试的结果，可采用统一的标准来进行衡量、比较。本次监测采用项目反应理论模型，依据学生原始作答模式，将其在学科上的能力分数转换成平均分为500分、标准差为100分的量尺分；在各学科分维度上的能力分数转换成平均分为300分、标准差为50分的量尺分。从467 到482 到489 明显提升。统计检验表明，教学评一致性低、教学评一致性较高、教学评一致性高三个不同水平对应的学生数学学业成绩有显著差异。教学评一致性水平低时，教学方式的改进促进学生学业成绩提升的空间有限。教学评一致性水平处于较高和高水平时，教学方式促进学业进步的积极效应相对更大。

2. 教学方式的优劣与学业成绩正相关

调查表明，教学方式越好的教师，所教学生的学习动力指数相对越高。教学方式（以城市为例）从一般（63.9）到较好（74.2）到好（84.3），学生的学习动力指数从65 到72 到83，统计检验表明教学方式一般、教学方式较好、教学方式好三个不同水平对应的学生学习动力指数有显著差异。

通过教师教学方式对学生学习影响的回归分析数据结果可知，教师教学方式对学业成绩、高层次能力得分率、学习动力指数、学习策略指数均有显著正向预测作用。从R2系数来看，教师教学方式对学习策略、学习动力的影响力更大。学校层面教师教学方式指数平均值每提高1 分，学校层面学生学习动力指数平均值可提高0.523分，学习策略指数可提高0.602分（非标准化回归系数）。

浙江初中数学教师在数学学科教学能力方面总体表现良好，教师们普遍有较好的教学策略，善于借助团队力量，善于积累和使用各种资源，重视对学生解题能力的培养，重视教学方法以及对学生认知策略的激发，以生为本的意识很强，能够较好地进行自我评估以及对学生学习表现进行评估。但是调查中部分数据也反馈出教师们在学科理解方面还有一定的提升空间，凭经验处理教学，以“解题”代替“问题解决”，主动学习意识欠缺，在教学理念方面存在分化现象，整体学科专业水平还需要加强引领。

3. 策略规划的优劣与学业成绩正相关

本次监测从影响数学学业质量的各因素分别进行回归分析。影响因素主要包括学习动力因素和学习策略等因素。

从回归分析的标准化系数可知，影响学生数学学业质量的首要自身因素依然是学生学习的内部动力，其次是数学问题解决策略，再次是元认知策略。因此，提升学生数学学业质量，去除学生学习内部动机因素之外，在教学过程中需要重视教会学生数学分析的方法思路及对基本概念的清晰理解。此外，需要帮助学生在问题解决过程中形成监控、反思和灵活调整思路的习惯，教师的探究性教学方式具有无可替代的价值。

4. 学习品质的优劣与学业成绩正相关

学生是否具备良好的自主学习品质，是衡量学生是否学会学习的重要尺度。主要指学习内部动机。

图3 表明，“在学习中能获得乐趣”一题中，选择“完全符合”的学生占比为16.2%，“喜欢挑战性的学习任务”一题中，选择“完全符合”的学生占比为14.0%，在“努力学习对未来工作生活有帮助”一题中，选择“完全符合”的学生占比达到了42.8%。这也充分表明，学生学习品质是问题解决的关键影响因素。

图3 学生学习动力的若干典型样题

（二）改进建议

1. 用科学的教学理念指导教学

教师要积极改进自己的教学理念，加强理论学习，重视基础教学。例如要重视概念教学：这是由于概念本身是数学学习的重要内容，又是后续学习的核心支持，是计算学习、问题解决的基础。再比如，要重视基础运算能力的培养：学生要能够根据法则和运算律正确进行运算，并且理解运算的意义和原理，要能够根据具体情况选择合理简洁的运算方法，这都是问题解决能力的基础。教师要加强自身学习，注重理念提升，重视学生四基四能的落实，重视对学生核心素养的培育。

2. 用积极的教学方式引导学习

学生为什么不会联想、不敢关联？教学方式是影响问题解决能力培养的重要因素。教师要主动尝试和探索更为合理有效的教学方式，研究课标、研究教材、研究学生，以学生的素养提升为立意，在单元整体视角下看问题，教会学生思考的方式，教会学生基本的研究方法，帮助学生积累研究经验，自觉地将教学内容与学生的发展联系，让学生学得主动、积极，使教学内容实现其本应有的价值。教师需要揭示知识中蕴含的思想方法，在教学过程中进行渗透，培养学生思维方式和逻辑思维能力，使其能在解决各种问题（不仅是数学问题）中发挥作用。

3. 用有效的教学策略培养思维

本次“问题解决”能力测试情况表明，不少学生在解决问题时存在以下不足：不能有效筛选信息，不能对所提供的数学信息作有效的关系分析，缺乏正确的解题思路与解决策略，不能根据已有信息提出有价值的问题等。这些现象不仅存在，而且具有一定的普偏性。建议帮助学生逐步养成理性思维的习惯：运用问题式、整体性的知识载体，驱动运用探索、分析思考的习惯养成，关注怎样教，关注一题多解，关注解法的共性；逐步养成感性表达的习惯；运用情景式、活动性的实践载体，驱动运用语言、文字表达的习惯养成——最终达到学科核心素养的生成。

4. 用良好的习惯培养提升品质

增强学习内驱力，创造良好的数学学习氛围，培养自主学习习惯、总结反思习惯、制定计划的习惯等，“关注问题解决的过程，回顾问题解决的过程，总结问题解决的过程，锻炼学生挖掘和抓住事物本质的能力，培养学生问题解决过程中优化的思想，对自我思维进行监控和调整”[7]，引发深度学习的发生，促进问题解决能力的培养。