函数矩阵代数的谱理论研究

沈逸豪 陆佳兴

【摘要】本文研究以闭区间上的连续复值函数为赋值的函数矩阵代数.结合数学分析、高等代数中相关知识，本文给出了函数矩阵可逆的充分必要条件，证明了函数矩阵的谱集是复数域中的非空紧集;同时，本文还刻画函数矩阵代数的极大理想结构.

【关键词】函数矩阵;可逆性;谱;理想

【基金项目】本文系2019年江苏省高等学院大学生创新创业训练计划项目，基金号201911117076Y

一、引 言

在高等代數中，我们已经掌握了数字矩阵的一些理论，包括可逆性理论和特征值理论，在数学分析中，我们学习了连续函数的诸多性质，那么这些知识能否推广到其他数学对象中呢？针对此，自然地提出了一个问题：函数和矩阵二者能不能结合起来成为新的理论.

本文将类比数学分析和高等代数中的研究方法对函数矩阵进行相似性质的刻画，给出[0，1]上函数矩阵的定义，以及函数矩阵可逆性刻画，进而给出对函数矩阵谱集的刻画，还将讨论函数矩阵代数极大理想的形式并给出相应的结论.

二、预备知识

【参考文献】

[1]李炳仁.算子代数[M].北京：科学出版社.2007：77-127.

[2]Peter D.Lax.Functional Analysis[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]郭坤宇.算子理论基础[M].上海.复旦大学出版社，2014.

[4]丘维声.高等代数第二版[M].北京：清华大学出版社，2010.