一阶微分方程解法注记

孙杰华

【摘要】本文以一道一阶微分方程的求解为例，从不同角度给出了其通解，由此展示了微分方程求解中常用的思想方法.

【关键词】一阶微分方程;变量替换;积分因子

【基金项目】桂林旅游学院教学改革建设项目（2019XJJGB009）

一、引 言

微分方程是现代数学的一个重要分支，在自然科学和社会科学等领域中都有着十分广泛的应用.实际问题一旦转化为微分方程模型就可归结为微分方程的中心问题——解微分方程.探讨一阶微分方程的求解问题是微分方程最重要的内容之一，然而，只有少数特殊类型的微分方程（包括可分离变量微分方程、线性微分方程、全微分方程等）能用初等积分法求解，且其解法较典型.我们所遇到的方程未必恰好是这几类特殊方程，因此，我们在遇到此类问题时，要注意学习解题技巧、总结经验、培养思维的灵活性，并且要善于根据方程的特点，引进适当的变量替换或积分因子将方程转化为上述能求解的積分类型.基于此思想，本文以一道一阶微分方程的求解为例，从不同角度给出了其通解，从而阐述了一阶微分方程求解的若干思维策略.

二、问题与主要方法

3 总 结

一阶可积方程的求解，一般有两个基本解题方向，用变量替换将方程化为可分离变量方程或线性方程，或者用积分因子法将方程化为全微分方程.两种方法各有优劣，应根据方程的特点，选择恰当的方法.本文通过变量替换和积分因子法，向大家展示了一阶微分方程求解中常用的思想方法，不仅拓展了学生的思维空间，更能让大家体会到解决问题方法的灵活性和多样性，有效提升学习数学的兴趣.

【参考文献】

[1]化存才、黄炯、丁海华.微分方程学习、设计与建模应用导引[M].成都：西南交通大学出版社，2011.

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