三角函数最值问题研究

梁观帝

【摘要】在高中数学教学中，由于学科的抽象性，对学生的教学存在着极大的难度。在高考中，数学分数非常重要，在总成绩上不容轻视。高考中的数学题目，选择题、填空题以及解答大题之中都会出现与三角函数相关的问题，在卷面分中占了很大一部分的分值。三角函数的最值求解是一个非常重要的知识内容，高中生必须对该知識熟记于心，并能够灵活运用。本文将如何计算三角函数最值问题进行分析讨论，并对其进行归纳整理，帮助学生更好地掌握三角函数最值问题。

【关键词】三角函数;最值;高中数学

数学对于学生的思维逻辑具有一定的要求，需要学生具有良好的逻辑思维能力。数学对于人的逻辑思维和问题意识的形成以及以后的学习生活都有着巨大的影响。特别是三角函数，它是高中数学所学几大函数之中最重要的一个函数，而三角函数的最值问题更是三角函数中的重难点。所以，三角函数的解题过程中，需要一定的技巧，适当地掌握一定的数学解题技巧，就能够更快地处理数学问题。

一、高中三角函数最值问题的特点

根据函数名称，可以知道三角函数是与角度有关的函数问题。在学习三角函数时，要首先学习一些比较易于学生接受的三角函数，比如余弦函数、正弦函数、正切函数等较为简单的单一三角函数。在学生了解接受单一的三角函数后，教师要加大难度，将不同类型的三角函数融为一体，但在本质上它们仍然是三角函数。因此，只有当学生牢牢记住三角函数的相关概念及知识点，将其理解融会贯通，对于在试卷上出现的一系列三角函数的最值计算问题都能够迎刃而解，取到自己理想的数学成绩。三角函数运算是重要的一种数学综合运算，三角函数最值问题的难点是其在三角函数运算中的基本运算内容对三角函数的恒等式和变形运算能力及数学综合运算应用能力要求相对较高。解决三角函数最值这类问题的解题思路在于：一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等）;另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些学生平时所熟悉的一些函数（如：一次函数、二次函数等）最值问题。

二、三角函数最值问题解题方法

基于多年教学实践和经验总结，三角函数最值问题解题方法主要有以下几点。

1.假设法

在三角函数当中，正弦函数和余弦函数都具有其固定的最值区间。在解决三角函数最值问题的时候，可以结合三角函数固定的最值区间，来求解其函数的最值。将三角函数假设为未知变量，从而将三角函数转化为一次函数，便于学生理解计算。

例1.求函数y=sinx-1的值域。

解题思路：此为y=asinx+b型的三角函数求最值问题。设，由三角函数的有界性得t∈[-1，1]，则y=t-1∈[-2，0]。在该三角函数之中，将其转化为一次函数，方便学生进一步进行计算。

2.辅助角法

在三角函数最值问题的求解过程中，学生大多对于试卷当中出现不同类型的三角函数产生迷惑，导致最值求解错误。教师可以将不同类型的三角函数进行统一，转换为一种类型的三角函数进行最值的求解。将三角函数的名称统一，方便学生根据该三角函数的值域进行最值求解，在一定程度上简化了三角函数最值求解。

例2.求函数f（x）=3cosx+sinx的最大值。

解题思路：此为y=asinx+bcosx型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为y=Asin（wx+φ）+B的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征。一般可利用∣asinx+bcosx∣≤

a2+b2求最值可得例题中f（x）≤  32+1=  10。

3.配方法

在三角函数之中，当出现正弦函数和余弦函数的平方时，学生往往会陷入困惑。此时就可以借助sin2x+cos2x=1公式通过配方或者是转换函数的方式，将原有函数转换为二次函数来计算该函数的最值。

例3.求函数y=-sin2x-3cosx+3的最小值。

解题思路：利用sin2x+cos2x=1将原函数转化为y=cos2x-3cosx+2，令t=cosx，则-1≤t≤1，y=t2-3t+2.配方得：y=（t-    ）2-     ，因为t大于等于-1，小于等于1，所以当t=1时，即cos=1时，函数y的最小值为零。该题的重点在于借助公式转换原有函数，转换两个未知数为一个未知数，然后借助配方来算出函数y的最小值。

4.引入参数转化

引入参数转换法就是将三角函数统一，所以引入参数转换法，又被叫做换元法。在试题当中，学生最常见的三角函数最值问题就是将正弦函数与余弦函数混为一体，学生就会对该函数的区间以及最值产生该函数式二者分离的印象，不能够很好地对该函数进行最值求解。在试题之中，对于表达式中同时含有sinx±cosx与sinxcosx的三角函数，可以运用关系式（sinx±cosx）2=1+2sinxcosx，来进行进一步的引入、变换，但必须要注意转换变量之后该变量的取值范围。

例4.求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最小值

解题思路：解：令（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，设t=sinx+cosx，其中t∈[- 2，2]，y=t+         。当t=-1时，此时函数y的最小值为-1。在该题目中，借助函数的平方关系，通过换元转化，转化为一元二次函数。然后通过一元二次函数来求该函数的最值，就可以得出y的最大值是

+ 2。

5.利用函数在区间内的单调性

三角函数在一定的条件下具有增长或减少的规律。三角函数只有能够判断出其在区间内的单调增减性，才能够在区间增减的基础上，判断出该函数的最值。在试题当中，学生往往会因为三角函数而忽略了其在区间内的单调性，此时将三角函数看作一个未知数，将三角函数转换为二次函数，更直观地判断三角函数的区间，在区间的基础上来解出该三角函数的最值。

例5.已知x∈（0，π），求函数：y=sinx+         的最小值。

解题思路：此题为“ sinx+         ”型三角函数求最值问题，当sinx>0，a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设sinx=t.（0

在（0，1]上为减函数，所以当t=1 时即x=   ，函数y有最小值为3。在该类型题目之中，首先我们要牢牢地记住该类型的正弦三角函数，可以将正弦函数的值设为一个未知数，进行判断该函数的单调性，而后借助区间来求三角函数的最值。

综上，就三角函数最值问题提出了五种解决的方法，这些解决方法都有各自适用的范围与特点。在三角函数最值问题的解题过程中，应首先对题型进行判断，再选取恰当的方法进行解题。结合试题的实际情况，选择解题方法，进一步提高三角函数最值问题的理解，掌握答题技巧，提高数学成绩。

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