基于彩虹技术的雾化液滴群粒径分布测量

方 兴，王大林，张 彪，许传龙，李 健

(1.浙江省空气动力装备技术重点实验室，浙江 衢州 324000;2.北京航天自动控制研究所，北京 100854;3.火电机组振动国家工程研究中心(东南大学)，江苏 南京 210096)

雾化是将连续相流体破碎成微小液滴的过程，目前已广泛地应用于化工、动力、能源、环境、轻工、农业等领域。雾化液滴的参数对产品质量、生产效率、环境污染控制等各方面都有着重大的影响[1-3]。如汽轮机中的液滴会对叶片造成水蚀和损伤，对机组的运行可靠性和使用寿命有着较大的影响[4]。在农药喷洒中，液滴过量会产生浪费和环境污染，不足则会引起作物的病虫害[5]。在动力设备的燃油雾化燃烧过程中，若油滴粒径过大，则会导致燃烧不完全，从而降低了设备的热效率，并增加了污染物的排放[6]。

目前，各种用于计算和预测雾化液滴粒径等过程参数的理论模型，广泛地应用于各个领域。与此同时，通过各种实验测量手段，对各理论模型进行验证也是不可或缺的一个环节[7]。因此长期以来，液滴测量技术的研究及在线仪器的开发，在工业生产各部门越来越受到重视，并逐步发展为现代测量学中一个重要分支[8]。光学测量技术作为测量领域的重要分支，长期以来被众多专家学者深入研究，各种光学测量技术不断地被提出[9]。上世纪80年代诞生的彩虹技术是一种基于光散射原理的液滴参数测量技术，其优点为非接触、实时快速、测量精度高、自动化程度高等[10]。

本文基于彩虹技术，对雾化液滴群的粒径分布测量分别进行了数值模拟和实验研究。在数值模拟中，利用Nussenzveig理论建立正向求解模型，通过Mie理论计算获得的雾化液滴群彩虹光强角分布作为测量值，分别利用截断奇异值法和量子微粒群算法反演了液滴群粒径的单峰及双峰分布，并考察了测量误差的影响，最后设计搭建了雾化液滴群彩虹测量系统实验台，利用量子微粒群算法反演了雾化液滴群的粒径分布。

1 彩虹散射原理

1.1 几何光学理论

图1 液滴彩虹光强角分布示意图

自然界中常见的彩虹主要是由入射光在液滴内经历一次内反射后，形成的散射光，即n=2。根据几何光学的原理可以得出，一阶几何彩虹散射角公式[11]

θ=π-4β+2α

(1)

sinα=m·sinβ

(2)

由上式可见，一阶几何彩虹散射角与入射角及液滴的相对折射率有关，在一阶几何彩虹散射角附近，有大量密集的光线被一次内反射后折射出射，一阶彩虹的光强主峰位于一阶几何彩虹散射角附近，代入纯水的折射率m=1.33，得到一阶几何彩虹散射角的大致范围为138°～140°之间。

1.2 Mie理论

麦克斯韦电磁波理论诞生后，彩虹散射光强分布的计算可等同为一个计算电磁平面波被一均匀球体散射的问题。利用光的电磁波性质，可应用麦克斯韦方程对散射颗粒形成边界条件，求得振幅函数和散射函数，从而得到关于粒子散射的全面严格的数学解。Mie理论给出了均匀平面电磁波被球形均匀介质散射的精确描述，其中包含了各种散射光线对散射场的贡献。利用Mie理论计算得到垂直于散射面和平行于散射面的光强分别为[12]

(3)

(4)

式中I0——入射光强大小;

S1(θ)和S2(θ)——散射光振幅函数，其表达式为

(5)

(6)

(7)

(8)

式中an和bn——Mie系数;

πn和τn——角度系数;

ψn(x)和ξn(x)——半奇阶的第一类Bessel函数和第二类Hankel函数;

1.3 Nussenzveig理论

Nussenzveig理论又称为复角动量理论，是由Nussenzveig于1969年提出的，它是一种对球形颗粒的散射光强分布进行数学描述的一种散射理论。Nussenzveig理论引入各种近似解析求解来取代无穷级数的计算过程，由此可以显著地减少散射光强分布的计算量。为了描述的一阶彩虹的峰值，Nussenzveig通过分析一致逼近的角度范围，限制了接近和远离彩虹的角域范围，从而得出在外表面直接反射的光线和经一次内反射的散射光线分别对一阶彩虹光强分布的贡献[13]

f0=-d·exp[-2i·x·sin(θ/2)]·

(9)

(10)

式中f0和f2——n=0和n=2时的彩虹光强;

e——相对散射角,e=θ-θrg;

θrg——一阶几何彩虹角;

d——液滴的直径;

A、B、C、c、s——仅有折射率决定的系数。

2 反问题模型

2.1 截断奇异值分解(TSVD)

对矩阵A进行奇异值分解[14]

(11)

式中 左奇异向量ui和右奇异向量vi——矩阵U∈Rm×m和V∈Rn×n的正交列向量，奇异值σi满足σ1≥σ2≥…≥σm。从而有

(12)

由于小的奇异值会对误差进行放大，因此必须对其截断，即所谓的TSVD

(13)

其中，k起到截断奇异值的作用。

2.2 量子微粒群算法(QPSO)

量子微粒群算法是由Sun在2004年首次提出[15]。量子微粒群算法将PSO系统看成是一个量子系统，每个粒子具有量子行为，量子的状态由波函数ψ决定，|ψ|2为粒子的位置Xi=(xi1,xi2,…,xij,…,xiN)的概率密度。在第t次迭代中，粒子i在N维搜索空间内以粒子的局部吸引因子Qi=(qi1,qi2,…,qij,…,qiN)为中心在领域内搜索。

用蒙特卡洛法模拟后，位置Xi=(xi1,xi2,…,xij,…,xiN)可由下式表示

(14)

(15)

Lij=2α|pm,j-xij|

(16)

(17)

式中R、R1和R2——[0,1]区间内服从均匀分布的随机数;

C1和C2——加速系数;

pij——粒子i的个体历史最优位置在第j维上的坐标;

pg,j——群体历史最优位置在第j维上的坐标;

α——吸引扩散系数，在α<1.781时可以保证量子微粒群的全局收敛。

3 结果与讨论

3.1 液滴群粒径分布测量的数值模拟

为了验证Nussenzveig理论的计算精度，以单个液滴为例，假设液滴粒径d=100 μm，折射率为m=1.33，激光的入射波长为λ=0.532 μm。Nussenzveig理论只计算n=0和n=2时的液滴彩虹散射光在135°～142°内的光强角分布，计算结果如图2所示。从图中可以看出Nussenzveig理论由于引入了部分近似，导致计算结果有一定的误差，但是它仍然能够体现出液滴彩虹低频的Supernumerary结构和高频的Ripple结构，它的绝对平均误差为0.047。Nussenzveig理论的计算效率约为Mie理论的60倍，而且这个效率差距随着粒径的增大有更明显的增加。因此，Nussenzveig理论在雾化液滴群粒径分布的反演中适合作为彩虹散射光强的求解模型。

图2 Nussenzveig理论计算结果验证

当激光照射液滴群时，忽略液滴之间的多次反射，假设单个液滴形成的彩虹能够简单线性叠加，则一阶全场彩虹的表达式为

(18)

式中Ig——全场彩虹光强;

I——直径为di的单个液滴彩虹光强;

f(di)——粒径为di的液滴体积频率密度;

Δdi——粒径为di的区间宽度。

假设一个粒径服从单峰对数正态分布的液滴群，其分布函数关系式如下式所示，它的粒径范围为0～400 μm，液滴折射率为m=1.33，激光的入射波长为λ=0.532 μm，将液滴群粒径分成40个均匀的子区间，利用Mie理论计算液滴群的一阶彩虹光强角分布作为测量值，Nussenzveig理论作为正向求解模型，分别通过量子微粒群算法在非独立模式下和截断奇异值分解法在独立模式下反演了液滴群的粒径分布，反演结果如图3所示

图3 无测量误差时单峰对数正态分布反演结果

(19)

从图中可以看出，两种算法粒径分布的反演结果基本反映了真实分布的主峰位置和分散宽度，但QPSO算法的精度要更高，且TSVD算法在小粒径部分的反演结果出现的了震荡，且存在粒径频率密度为负值的现象。

通常测量时会含有一定的测量误差，为了验证TSVD和QPSO算法的抗噪能力，在Mie理论的计算结果上加上10%的随机误差，它们的反演结果如图4所示。从图中可以看出，QPSO算法仍然具有较好的反演效果，而TSVD算法已经基本失真，说明QPSO算法具有比较高的抗噪性能。

图4 含10%测量误差时单峰对数正态分布反演结果

假设一个粒径服从双峰对数正态分布的液滴群，其分布函数关系式如式(20)所示，它的粒径范围为0～400μm，其他粒径参数和实验条件同单峰分布。分别通过TSVD和QPSO算法反演液滴群的粒径分布，结果如图5所示。从图中可以看出，QPSO算法粒径分布的反演结果基本反映了真实分布的主峰位置和分散宽度，TSVD算法也反映了主峰位置和分散宽度，但是精度明显较差，且同样在小粒径部分出现了震荡和负值。

图5 无测量误差时双峰对数正态分布反演结果

(20)

3.2 液滴群粒径分布测量的实验研究

为了对基于彩虹技术的反演算法进行实验研究，本文设计搭建了雾化液滴群粒径分布测量实验系统，如图6所示。系统主要包括喷雾发生器和光学平台以及布置于其上的光学支架、激光器、平面镜、接收透镜组、CCD相机等。激光器(波长0.532 μm、功率14 μW)发出的平行光经平面镜反射后，照射到喷雾发生器产生的液滴群后发出散射光线。平面镜被安装在带有角度刻度的可旋转底座上，主要作用为调节被测对象的入射光与接收透镜组、CCD相机所在滑轨的夹角，从而调整CCD相机拍摄不同折射率液滴时的散射角域。接收透镜组主要用于汇聚被测对象发出的散射光线，使其能被CCD相机接收。线阵CCD相机的分辨率为2 048×100像素，每个像元的大小为14×14 μm，具有12位数据输出精度，最大线扫描率为68.5 kHz。

图6 雾化液滴群彩虹测量系统图

由于彩虹测量技术中，需要获取彩虹的光强角分布，因此在测量之前需要对CCD像素和散射角度之间做一个对应的标定实验。保持平面镜位置和角度不动，在喷雾处安装一个带旋转底座的平面镜，通过旋转平面镜将激光光斑在CCD上的成像从左侧移动到右侧，记录其中等刻度的6组角度位置，从照片上找到相应的光斑成像像素中心，线性拟合得到CCD像素编号与散射光线角度的如下函数

θ=0.004 3×np+136.822 0

(21)

保持压力打开喷雾发生器，待喷雾稳定后利用线阵CCD相机采集，液滴群的一阶彩虹图像，如图7所示，从图中可以看出相机获得了明显的具有明亮相间的彩虹条纹，相比较单液滴或液柱的彩虹来说，液滴群的彩虹不是很整齐。

图7 雾化液滴群彩虹图像

由于彩虹不是很整齐，这里取中间一层像素的彩虹图像灰度值进行归一化，根据像素和散射角的拟合公式，得到雾化液滴群彩虹光强角分布曲线，如图8所示。利用实验采集得到的液滴群彩虹光强角分布通过量子微粒群算法反演了液滴群的粒径分布，如图9所示，反演的残差为6.7×10-3，说明量子微粒群算法具有良好的精度，本系统的喷雾发生器所产生的雾化液滴中心粒径为68.146 μm，分散系数为31.243。

图8 彩虹光强角分布曲线

图9 雾化液滴群粒径分布反演结果

4 结论

本文利用彩虹现象对雾化液滴群的粒径分布测量分别进行了数值模拟和实验研究，得到如下结论：

(1)对比了Mie理论与Nussenzveig理论对纯水液滴群彩虹光强角分布的计算，它们吻合的很好，但Nussenzveig理论的计算效率要远远大于Mie理论，因此在后续反演中利用Nussenzveig理论建立了雾化液滴群的彩虹散射光强求解模型；

(2)分别利用TSVD和QPSO算法在独立和非独立模式下反演了液滴群的粒径分布，对于单峰分布而言它们都具有较好的反演效果，但是当增大测量误差时QPSO算法表现了更高的抗噪性，而且它对双峰分布的反演也具有很高的精度；

(3)设计搭建了雾化液滴群彩虹测量系统实验台，利用量子微粒群算法反演获得雾化液滴群的粒径分布，实验中量子微粒群算法反演残差为6.7×10-3，表明测量结果具有良好的精度。