刍议模型思想在数学教学中的渗透

周伊雁

【摘 要】模型思想在數学教学中无处不在。以“植树问题”的教学为例，在教学中一步步地通过感知模型、构建模型、应用模型这三个阶段来渗透数学模型思想，培养学生的数学素养。

【关键词】小学数学 模型思想 植树问题

模型思想是数学课程标准里十个核心概念中唯一以“思想”指称的概念，也是三种基本数学思想之一，它是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，这一定位充分体现了模型思想本身的重要地位，更显示了它在数学学习中的重要性。因而，数学课程标准明确指出“在数学课程中，要注重发展学生的模型思想。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义”。数学教学中应有意识地渗透学生的模型思想，培养学生从实际问题中提炼出数学信息的能力，帮助学生建立数学模型，找到解决问题的方法，并运用方法解决生活中的实际问题。

“植树问题”是五年级上册“数学广角”的教学内容，也是小学数学教材中渗透学生模型思想的重要素材。通过对“植树问题”这一典型情境的学习，建立数学模型帮助学生将来应用到其他同类模型的实际问题中去，触类旁通，举一反三。教材通过对两端都种、两端都不种和一端种一端不种三种情境的比较，对间距、间隔数、种植棵树等几个关键概念的理解，引导学生从具体的生活问题中抽象出数学信息，了解这类数学问题的基本特征，感知数学问题模型;并通过比较、分析，发现它们之间的变化规律，逐步得出解决这种数学问题的基本模型，提高学生的数学思维水平。

一、在情境中感知模型，培养建模意识

数学源于生活，又应用于生活。良好的情境能够引起学生讨论的兴趣，使学生带着饱满的激情参与到课堂探索中来。植树问题的数学情境在学生的生活中比比皆是，从学生喜闻乐见的生活中提取素材，让学生在解决问题的过程中发现规律，自主建模。由此展开教学，才能让学生深刻感受到建模思想的重要性，从而培养学生的建模意识。

师（课件出示学校操场旁的花坛）：为了绿化校园，学校要在一条20米长的操场旁种树。每隔5米种一棵，要种多少棵？

生1：4棵。

生2（哈哈大笑）：错了，应该是5棵。

师：哪种是对的？4棵？5棵？大胆地猜想一下，有没有3棵的？

师：种的棵数跟哪些信息有关？

生1：与全长有关。

生2：跟每隔几米种一棵有关。

师：数学上把它称为间距，表示每两棵树之间的距离。同样的总长度，同样的间距，为什么棵数不同呢？

渗透模型思想首先要培养学生初步的模型意识。面对生活中的实际问题，能剥离其非数学信息，抽象出数学问题结构及特征，初步感知并建立模型，是学生解决数学问题的前提。“植树问题”是相对独立的专题性知识，特征明显，模型清晰，学生自主建模难度不大。教材的编排顺序是先基本再变式，充分考虑了学生的知识基础、认知结构以及数学学习能力，由易到难，螺旋上升。针对如何让数学问题更接近学生的“最近发展区”，让每个学生学习“自己的数学”并顺利建构这一问题，课例选择了整体呈现，将三种情境通过一个常见的、开放式的生活问题，引导学生自主抽象出数学信息，发现“棵数”都是与“总长度”“间距”等有关，从而初步感知“植树问题”的整体模型，猜想“同样的长度、同样的间距为什么种植的棵数不同？”初步感知植树问题的三种基本模型。

二、在自主探究中构建模型，掌握建模方法

在教学中，为学生提供丰富的探究材料，让他们主动地参与到课堂教学中，经历操作、观察、对比、发现等数学过程。在探究活动中，启发学生发现问题和提出问题，由浅入深，由外到内，引导学生及时地对信息进行加工与整理，最后进行判断与归纳，逐步将数学问题模型化。这样才能让知识在头脑中完整地构建，建模思想也不断得到渗透。

师：在一条长20米的小路上，每隔5米种一棵，要种多少棵？请你当一个小小设计师，用自己喜欢的办法设计出植树方案，完成后可以与你的同桌交流。

生1：我是这样想的，用画图的方法，20里面有4个5，发现要种5棵树。

生2：我也认为是5棵，但我是用算式来计算的：20÷5=4（个），4+1=5（棵）。

生3：每隔5米种一棵，一个间隔对应一棵树，发现有4个间隔，4棵树，最后还多了一棵树，所以还要再加1。

数学课程标准指出，不同的学生学习不同的数学，不同的学生在数学上得到不同的发展。面对同样的数学问题，引导学生用不同的方法来解决问题，如摆一摆、画一画、算一算等，充分暴露学生的思维过程，这也是学生真实的课堂生成。荷兰数学家弗赖登塔尔说过：学习数学的唯一正确方法就是“实行再创造”，也就是由学生把要学的东西自己发现或创造出来。学生不同的解决方法，都是基于对问题模型的初步感知，教师的任务就是顺应学生的思路“往下走”，帮助他们进一步顺利建构模型。

师：这几个同学真了不起！不但得数统一，而且想法各不相同！他们长大了不但能当设计师，还能当数学家！在这么多种方法里，你更喜欢哪一种呢？为什么？

生1：我喜欢第一种。这种方法比较简单，一看就知道。

生2：我喜欢第二种。因为第一种方法太麻烦了，还要画图，第二种算一下就好了，比较简单。

师：你觉得算简单，他觉得画一下也很简单，是不是？有没有选择第三种的？

生3：第三种也要画，也麻烦。

生4：我也认为第二种比较好。这里是20米，如果是100米呢？难道你也画？

师（把目光转向生1）：你有什么想说的？如果100米呢？1000米呢？你还能画吗？（生1 不语）

生5：我认为两种方法都好。当数量大的时候，画的方法比较麻烦;但是数量小的时候，比如10米长，那画一画的方法更简单。

师：你还会根据不同的數据特点，选用不同的方法，更合理，更简便，真棒！那么算式最后的“+1”表示什么？

生6：表示从头到尾的最后一棵树或者从尾到头的第一棵树。这里的每一段都表示一棵树，所以最后剩下一棵树。

生7：因为两端都种，棵数要比间隔数多1。

在用不同的方法解决数学问题时，教师适时引导学生比一比：你更喜欢哪一种方法？为什么？从而引导学生用解决数学的一般方法——列式计算。算法优化的过程，实际也是一种数学归纳的过程，由直观到抽象，由千变万化的情境归纳到统一的数学模型中去，引导学生在解决问题的过程中感受建模的意义，并在一步步的探究中掌握构建模型的基本方法。

然后教师话锋一转，引导到了教学关键之处：怎样理解“+1”？这是本课的重点所在，也是学生的认知难点，更是教师施教的关键之处。

师：一定要“+1”吗？有没有不“+1”的？

生1：老师，我不但不“+1”，我还“-1”！

师（故作诧异地）：真的？可能吗？

生2：有可能。如果小路的两边都有房子，这样两端都不用种了，这时候只要种3棵就够了。

师：你们明白他的意思吗？是3棵吗？

生2：是的。刚才我们已经知道两端都种的情况下需要种5棵，现在两端都被房子占了，也就是少种2棵，就是5-2=3（棵），所以两端都不种只要种3棵就可以了。

师：还可以用我们刚才学的知识来解决新的问题，你真会学以致用。

生3：我是这样想的，两端都不种的情况棵数要比间隔数少1，所以20÷5=4（个），4-1=3（棵）。

师：看来刚才那位同学说的“-1”也是有道理的。

生4：老师，那我也可以一端有房子，一端没有房子，这样就可以不加不减，间隔数刚好等于棵数。

在重点研究了“两端都种”基本模型，理解“+1”的本质之后，教师紧接着引导学生思考能不能“-1”或者“不加不减”。在基本模型的基础上探究模型的另外两种变式，从基本模型的规律中推理出变式模型的规律，不仅建构起清晰的数学模型，而且在不知不觉中将这三种模型建立起联系，让学生认识到其实“两端都不种”和“只种一端”就是“两端都种”的特殊情况，从而理解植树问题模型的本质。

师：现在再来看刚才的问题，你发现了什么？

生：感觉老师故意下了个套。

（师生大笑）

师：说得好！这个套在哪里？

生：没有说明是哪种类型。

师：能不能用数学的眼光看看这三种类型有什么区别和联系？

生1：它们相同的地方都有20÷5=4（个），都要先求出间隔数。

生2：类型不同，要种的棵数也不同，如果两端都种，棵数=间隔数+1;如果一端种一端不种，棵数=间隔数;如果两端都不种，棵数=间隔数-1。

比较三种模型，也就是找到它们之间的共同点与不同点，让学生自主寻找其中的规律，把握植树问题的本质都是总长度÷间距，不同点就是起点与终点的情况，对应的算法就是+1、-1或者不加不减，在对比、汇报、交流、总结中完成从具体的现实植树情境到抽象的数学模型的转变，自主构建出属于自己的数学模型。

三、 在生活中应用模型，感受模型价值

数学课程标准中指出，教师应该充分利用学生已有的生活经验，指导学生把所学知识应用到生活中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。在学习植树问题后，让学生把构建好的模型应用到生活中的站牌设置、锯木头、爬楼梯、敲钟等具有现实意义的题目中去，促进学生展开多方面、多角度的思考。在应用模型的过程中发现这类题目的共同之处。这样的运用不仅可以巩固学生对“植树问题”这一模型的理解，而且能让学生深刻感受到模型的魅力和价值。

师：只要有一双善于观察的眼睛，你会发现在我们的生活中还有很多类似的问题。比如：我们每天都要爬的楼梯中也藏着植树问题呢，你能找出它吗？学校教学楼每层楼梯有24个台阶，老师从一楼开始一共走了72个台阶。老师走到了第几层？

师：思考一下，这是植树问题里的哪一种情况呢？

生：两端都种，72÷24=3（个），经过了3个间隔，应该爬到了第四层。

师：再看看锯木头又是什么类型。一根木头长10米，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？

生1：锯木头应该是两端都不种，因为木头的两端都不用锯。

生2：分成5段，有5个间隔，那么只要锯4次，每次8分钟，需要32分钟。

师：你能举几个生活中应用植树问题的例子吗？

……

师：是啊，在现实生活中，植树问题有着丰富的应用，比如：装路灯、剪绳子、敲钟等。我们要运用数学眼光找到它们的“总长度”和“间隔”，这样所有的问题就可以迎刃而解了。

模型思想在数学教学中有着广泛的应用，学生数学学习的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、掌握和应用的过程。在教学中，只有适当渗透模型思想，帮助学生将实际生活中的问题抽象成数学模型，经历感知模型、理解模型并应用模型的过程，才能更好地感受到数学的生命力，不断地提升学生的思维水平。