初中数学速解动点问题的策略研究

谷琴

摘要：初中数学动点问题中的函数图象问题是学生学习的重点，也是难点，更是中考热点，通常多以选择、填空题的形式出现。大多数学生遇到这个类型的问题都束手无策。其实，只要我们通过大量的实例，分析其本质，问题就迎刃而解。如何速解初中数学动点问题中的函数图象问题呢？归根结底主要还应夯实学生的“四基”，培养学生的“四能”。本文将对初中数学动点问题中的函数图象问题的类型及速解策略进行探讨研究。

关键词： 初中数学; 动点函数;速解策略

初中数学动点函数图象问题主要考查学生的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验以及发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，旨在通过解决这些问题培养学生的各种能力，掌握解题的基本思想和速解策略。

一、中考动点问题中的函数图象问题的常见考查类型

1、分析实际问题判断函数图象

2、结合几何图形中的动点问题判断函数图象

3、分析函数图象，然后进行几何计算。

二、初中数学动点函数图象问题的速解策略

想要速解动点函数图象问题，应通过大量的实际例子，深入分析问题的本质，横向找联系和共性，纵向找本质的区别。具体策略如下：

1、分析题意，明确意义。明确横轴、纵轴上的两个变量所代表的意义、动点运动的方向、速度以及点在几何图形上运动过程中的特殊位置：起点、拐点和终点。

2、操作演示，找准对应。让学生实际操作，画出运动中的几种图形，然后，教师再借助于现代信息技术几何画板演示动点运动过程中所构造出的图形，找准动点在几何图形中运动的过程中特殊点（起点、拐点和终点）与函数图象中特殊点之间的对应关系。

例1：（2020·平顶山二模）如图①，在   ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（ ）

A.3 15      B.4 6       C.14      D.18

点评：本题中动点P在几何图形上运动的过程中分三种情况：⑴点P在BC上运动;⑵点P在CD上运动;⑶点P在BD上运动。运动中的这三种情况分别对应右图中的三段函数图象。其中点P在几何图形上运动的过程中有几个特殊位置：起点B、拐点C、拐点D和终点B，它们分别对应右图函数图象中起点（0，0）、拐点（6，a）、拐点（14，a）、终点（18，0）。找准了对应关系，结合两个变量的意义及所求的问题，列出符合题意的方程即可求解。

3、“动”中寻“静”，以“静”制“动”。例2：（2020·河南二模）如图①，在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE.点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C.图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象。当x=7时，y的值为（    ）

A.7         B.6        C.132       D.112

点评：本题是动点函数图象问题，我们要以不变应万变，以不动制万动，“动”中寻“静”，以“静”制“动”。其中点P在几何图形上运动的过程中有几个特殊位置：起点A、拐点D和终点C，我们可以把点P运动到几个特殊位置的那一瞬间的状态看成是静止的，它们分别对应右图函数图象中起点、拐点、终点。综合几何图形和对应的函数图象，分析点P运动到几个特殊位置的那一瞬间的已知量和未知量，然后建立方程，从而解决问题。

4、横纵对比，回归本质。例3：（2020·郑州二模）如图，在正方形ABCD中，边长CD为3 cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AC方向运动到点C停止.同时动点Q从点A出发，以1 cm/s的速度沿折线AB→BC方向运动到点C停止.设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），則下列图象能反映y与x之间关系的是（ ）

点评：根据点P、Q的运动速度和运动方向，可分两种情况：①当点Q在AB上运动时，此时?APQ的底AP和高EQ都是变化的量，因为三角形面积= ×底×高，所以?APQ的面积是自变量x的二次函数。②当点Q在BC上运动时，?APQ的底CQ是变化的量，而高AB是常量，所以此时?APQ的面积是自变量x的一次函数。所以选D。

例4.（2020·铜仁）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

点评：例4中，分两种情况①当点P在BC上运动时，此时?APQ的底AD和高AB都是常量，因为三角形面积= ×底×高，所以?APQ的面积仍是一个常量，此时函数是常数函数。②当点P在CD上运动时，?APQ的底AD是常量，而高PD是变化的量，所以此时?APQ的面积是自变量x的一次函数。所以选D。

归纳：对于动点问题中的关于三角形面积的函数图象的判断问题，我们可以总结如下速解策略：当三角形的底和高都是常量时，其面积也是常数，因此是常数函数。当三角形的底和高中有一个变化的量，则其面积就是自变量的一次函数。若那个变化的量随自变量的增大而增大，则面积也随自变量的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势;若那个变化的量随自变量的增大而减小，则面积也随自变量的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。当三角形的底和高中两个量都是变量，那么其面积一定是自变量的二次函数。若两个变量都随自变量的增大而增大或者都随自变量的增大而减小，则二次函数的二次项系数一定是正数，所以抛物线的开口向上;若两个变量一个随自变量的增大而增大，另一个随自变量的增大而减小，则二次函数的二次项系数一定是负数，所以抛物线的开口向下。 掌握了常数函数、一次函数、二次函数的本质特征，解决这些问题就易如反掌。

因此，教学中我们要引导学生去发现问题，分析问题，对遇到的问题进行探究，从而解决问题，总结解决问题的方法策略。作为教师我们更要努力成为研究型教师、专家型教师。

参考文献：

[1]王金铎，宋炳忠. 中考中的动点问题[J].中学数学杂志，2003（ 6） ： 46 - 47.

[2]徐建兵. 中考动点问题的教学实例[J].试题与研究： 教学论坛，2012（ 11） ： 47 - 48.

[3]施锦华. 动点问题教学之我见[J].中学教研（ 数学版） ，2010（ 6） ： 18 - 20.

[4]马涛.中考数学动点问题研究[J].数学学习与研究，2011（12）：47-48.