“弧度制”课堂教学反思与重构

周建平

[摘 要]从引入、建构、抽象概括、提炼表述、应用理解、感悟等环节对《弧度制》一课进行教学反思与重构，能为教师的教学设计提供参考.

[关键词]弧度制;教学;反思;重构

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）14-0008-03

“弧度制”是继任意角后，对角的又一次深入学习与认识.弧度制的本质是用线段长度度量角的大小.这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位，为我们进一步研究三角函数奠定了基础.结合弧度制在教材中的地位和作用，从历史和知识本身的角度思考概念，进行文本解读，深刻领会其内涵，可以发现弧度制有着极高的教育教学价值.从引入、建构、抽象概括、提炼表述、应用理解、感悟思想等环节完整地体现数学概念的形成过程.借助教学内容，学生有自我发现、自主探究、合作交流、感悟知识和方法的获得过程.可以说其是发展学生数学核心素养的极好素材.

一般来说，概念作为最基本的数学知识，它的教学通常分为三个环节.第一，认识概念的来源.即根据学生已有的知识和经验来建构学生知识理解的认知基础.这一环节通常伴随着直观感知、模型想象的思维活动，指向了数学核心素养中“直观想象”素养的发展.第二，概念的抽象.即在概念对象原型直观感知的基础上抽象和概括出概念的特征、要素、关系以及数学表示方法，从而建立概念的认识.这一环节指向了数学核心素养中“数学抽象”素养的发展.第三，概念的应用.这一环節的应用不是在复杂情境的综合应用，而是针对抽象概念对象的原型的直接应用，进一步理解概念的本质，建立起对概念比较完整的认识和理解.

下面笔者就围绕对弧度制的理解，在上述教学三环节基础上来审视弧度制概念的教学，并就教学内容及其方法在反思的基础上做出重构.

一、创设情境，引入概念

弧度制如何有效引入？在教学过程中，如何让学生体会研究弧度制的必要性，明确概念发展的意义？部分教师在情境创设、课堂引入环节的做法需要我们分析和探讨.

1.教学现状及反思

情形1：通过系列探究问题引入新课.比如：

问题1：[30°+sin30°]等于多少？

意图：引发学生认知冲突，让学生意识到角度不是实数，不能在角度和角度的三角函数值之间进行运算.

问题2 ：你能找到一个合适的实数来度量30°角吗？

意图：让学生将30°角放在扇形中，围绕30°对应的弧长以及半径这两个量来思考探究，然后再一般化，形成相关结论.

分析：问题1揭示的现象正是弧度制产生的根源性问题.哪里来的这个问题？为什么要研究这样的问题？学生完全不清楚，被教师牵着鼻子走，没有体现学习自主性.问题2的探索，可以说学生完全没有方向，此时，将角放在扇形中来思考只是教师的一厢情愿.这种引入，没有为概念对象提供直观感知材料或想象的模型，后面概念的抽象也就无从谈起.

情形2：借助学生熟悉的自行车，将大小齿轮和连接的链条中蕴含的圆心角、圆心角所对的弧长和半径巧妙地联系在一起，使学生比较直观地看到同弧长时，半径和圆心角的关系（如图1）.半径相同（同一圆中）时，变化弧长，相应的圆心角也随之变化.进而引出本节课所要探究的问题：保持圆心角的大小不变，探究它所对的弧长与相应半径之间的关系.这样的引入，从生活中提炼数学问题，容易引起学生的共鸣，符合情境创设的原则.但遗憾的是它带来的问题并不是本课概念需要探究的问题，是一个间接性问题.这样从投入的时间和精力以及效率上来看得不偿失，值得商榷.

2.有效重构

有效的教学情境要包含数学问题，并且要有利于学生提出问题、解决问题.弧度是建立在扇形圆心角基础上，从圆心角、弧长、半径三者关系中分析抽象出来描述圆心角大小的概念，应该设计一个既包含圆心角、弧长及半径又符合学生认知规律的情境引入新课.

问题情境：按照国际标准，学校铅球场地投掷区是一个圆，落球区是一个以圆心为顶点的角（根据比赛对象的不同，在角内画出多条弧线），如图2所示.

问题3 ：现只有皮尺，你能测算出这个角的大小吗？

从学生小组的计算方案来看，他们都是采用弧长公式，从中解出圆心角的角度数[n=180lπr].各组将测量到的弧长及相应半径的值分别代入，计算出n的值分别大约为34.6，35.1，34.8，35，推断落球区角度应该约为35°，经查证与国际标准一致，误差是由测量引起的.

铅球比赛是学生比较熟悉的，提出的问题学生也比较容易联想到扇形中的弧长公式，达到了通过情境引出问题的效果.

二、经历过程，建构概念

这一环节是概念的形成阶段，在对原型直观感知的基础上抽象和概括出概念的特征、要素、关系以及数学表示方法，从而建立概念的认识.在概念知识对象的来源阶段，教师为学生提供的应该是包含圆心角、所对弧长及相应半径的一个扇形，通过适当的问题，引领学生探究交流.教师对知识的理解和把握往往制约着该环节的实际效果.

1.教学现状及反思

情形1：对上述情形1中问题2，在扇形中将角度一般化，如图3.教师引导学生思考：弧长l和对应半径r与圆心角[α]之间有怎样的关系？通过直观感知，学生基本能够确定单一的弧长l和半径r不能用来刻画角[α]的大小.接下来用弧长l和半径r的比值[lr]来确定角[α]的大小，学生茫然.有的教师利用扇形分别是半圆和圆周时比值[lr]是定值来推测，既没道理也不可能完成证明.学生无法完成概念的抽象，主要是缺乏有效的探究活动支撑.

情形2：有的教师启发学生：同一个圆心角，它所对的弧长与相应半径总是成对出现的，将以半径值和弧长值构成的数对对应的点放到平面直角坐标系中进行观察研究，你能发现什么？然后，通过多媒体技术发现所取的数对对应的点几乎都在过原点的同一条直线上，也就是说[lr]是一个定值.为了避免偶然性，教师再让学生设定一个半径的值，通过[lr]的值求出弧长l 的值，验证此时对应的点仍在直线上.这样的探究，我们认为教师的设计有引领过度的嫌疑，学生的参与是被动的，缺少他们自身的探究发现活动，对于[lr]是一个定值仍将信将疑.

2.有效重构

在数学概念建构过程中，教师把对知识的深刻理解，转化为教学设计，让学生经历归纳、概括的“数学抽象”过程，是发展数学核心素养的需要.

接上述有效重构，各组测量的弧长l及相应半径r的值均不同，为什么算得n的值却都相同？

学生观察式子[n=180lπr]，体会运算流程，抽象形成新的认识：[n=180π·lr]同一个圆心角，尽管 l与r不同，但对应的比值[lr]却都相同.也就是说，对于一个圆心角，它所对的弧长与相应半径的比值是一个唯一确定的值.获得这样的认识，是弧度概念形成的关键.有了较为有效的发现活动支撑，学生的抽象感悟对圆心角公式的结构特征有了进一步的认识.

问题4： 在上述认识基础上，大家还有什么想说？

生：对于其他扇形内的圆心角，相应的[lr]也都是定值.算出[lr]代入[n=180π·lr]后，得到了圆心角的角度数，表明算出[lr]后，圆心角的大小实际上已经确定了.

至此，本课最关键、最核心的认知已经形成.学生感悟到圆心角的大小其实可以用弧长与半径的比值[lr]来确定，可直接用[lr]来反映圆心角的大小.学生通过这次抽象获得了对弧度初步的认识.

考虑到概念蕴含的数学文化，介绍欧拉用半径来度量弧长，用[lr]表示圆心角的大小，并将这种度量角的方法称之为“弧度”.这不仅统一了角度和长度的单位，还蕴含着当[l=r]时圆心角的大小即为1弧度.用弧度度量角的大小的制度称为“弧度制”.

弧度制下，扇形的弧长公式和面积公式得以化简，将来也可以简化微积分中公式的计算，体现了数学的简洁美.进一步利用欧拉提出的圆周所对圆心角为2[π]弧度完成角度制与弧度制之间的换算，使角度与实数之间建立起一一对应关系，为学习三角函数奠定基础.至此，学生了解了弧度制的价值，增强了对弧度制本质的理解，建立起了对弧度概念完整的认识和理解.

三、应用体验，理解概念

要深刻理解概念，仅从对定义文字的阅读理解是远远不够的.还要创设合适的例题，将概念的理解置于数学问题的解决过程中，深化概念的内涵与外延，同时让学生再次经历从具体到抽象的思辨过程.这一环节的应用不是在复杂情境的综合应用，而是针对抽象概念对象的原型的直接应用，进一步理解概念的本质，建立起对概念比较完整的认识和理解.

1.教学现状及反思

在实际教学过程中，存在着对教材内容定位以及例题在概念教学过程中的作用理解不到位的现象.表现之一是将角度与弧度的换算理解为概念的应用.其实它仍是概念建构的重要组成部分.通过换算使学生明白角度与弧度其实就是对同一事物的不同的描述，任意角度与弧度之间可以进行互换，正是由于此，角度与实数之间就建立了一一对应关系.表现之二是例题功能发生偏离.如：已知扇形花圃的周长是20 m，求花圃的最大面積.例题已经指向运算技能的训练，没有指向概念理解的范畴.

2.有效重构

实际上，我们在概念建构环节就应该完成角度与弧度的换算，明确[1  rad=180°π≈57.30°]，[1°=π180  rad≈] [0.01745 rad].在此基础上设计例1，完成0°到360°之间特殊角的角度和弧度换算.意图是让学生正确进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数，观察发现特殊角之间的倍数关系.体现从特殊到一般、由未知向已知转化的策略.进而引导学生总结出，在弧度制下，角的集合与实数集R之间就建立的一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数;反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角（如图4）.为后面三角函数的学习做好铺垫.

我们可以回到情境创设的问题中，情境再现：铅球的落球区为扇形，沿着扇形的弧有一段防护网，如何计算防护网的长度？落球区是一块草坪，更换草坪需要知道草坪的面积，如何求出扇形的弧长与面积？

设计意图：

（1）在计算弧长的过程中让学生探究出弧长公式[l=αr].

（3）利用PPT展示，强化学生利用数学语言规范表达.

从概念理解的角度看，让学生了解弧度制的精髓、优势，感受弧度制在数学知识体系发展中的作用，切实发展学生的数学抽象素养.

每一个数学概念都是对客观事物本质属性的概括和反映，都有其产生和发展的自然性.“弧度制”概念也要遵循这种自然性，充分利用学生原有的知识经验，体验数学抽象概括的过程，在揭示概念本质、渗透数学思想方法上做文章，精心设计每一个教学环节.无论是概念的引入、概念形成时经历的概括过程，还是概念的理解，都应按照教材要求自然展开.

（责任编辑 黄桂坚）