关于“烙饼问题”教材编写和教学的研究（一）

刘宪升

[摘 要]针对教材编写的烙饼问题存在的所答非所问、脱离实际且不科学、违背常识及不是最优方案等几方面问题，给出了六种既实用且更优化的烙饼方案，并论证了它们在生活中的实际应用。

[关键词]烙饼问题;优化;烙饼方案

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）14-0001-04

新课程改革以来，为了贯彻课改理念及其相关要求，“烙饼问题”作为“综合与实践”的内容编入了小学数学教材，人教版教材（简称教材）将其编排在四年级上册第八单元“数学广角——优化”的第二节。可以说，“烙饼问题”自编入教材起就成了广大教师钟爱的内容，如示范课、展示课或公开课，以及教研活动或写文章等，教师就常常选此内容。究其原因，教师认为烙饼的方法能让学生有耳目一新之感，不但能启迪学生的思维，完成渗透数学思想方法的课程目标任务，还能让学生在课堂上用纸片当作烙饼进行模拟操作，利于实施课程改革所提倡的探究式教学之目的。

自“烙饼问题”编入教材起，笔者就反复研读《义务教育数学课程标准（2011年版）》（简称《标准》）（包括之前的实验稿）、教材及其配套的《义务教育教科书教师教学用书数学四年级上册》（简称“教学用书”）不下十几遍，观看了上百个教学视频，阅览了上百份教学设计，读了上百篇教研文章。经过两年多的整理及反复修改，写出了该专题系列文章，主要针对一些争议问题或共性的问题，与广大数学教育工作者进行商榷。

由教材关于“烙饼问题”的图（图1）可知，教材展示的是“用圆形平底锅烙3张圆形的饼，且每次最多能烙2张饼，正反两面都要烙3分钟。怎样才能尽快吃上饼？”，通过给出探究的提示语和交替烙饼的最优方案，引导学生探讨烙4张饼、5张饼、6张饼……的方法，进而得出教学用书第191页上提出的规律： “如果要烙饼的张数是双数，2张2张地烙就可以了;如果要烙饼的张数是单数，可以先2张2张地烙，最后3张饼按上面的最优方法烙，最节省时间。”然而，单从教材内容的设计而言，存在着一些问题。

一、教材编写存在的问题

1.“烙饼问题”的编写所答非所问

教材中提出的问题是“怎样才能尽快吃上饼？”，而给出的烙饼方法回答的是烙完饼的时间，是明显的所答非所问，严格来说是错误的。关于这个问题，董桂云在文章《谈教学“烙饼问题”》中就指出：“生2说：‘为了能尽快吃上饼，烙好2张饼后，把这2张饼分成几小块，3个人先吃着，边吃边等第三张饼烙好，这样3个人能同时较快吃上饼。”可见，这是一个小学四年级学生都能发现的问题。

2.“烙饼问题”设计脱离实际

“烙饼问题”是作为“综合与实践”的内容编入教材的，那就要符合《标准》中对该部分内容的要求。《标准》（第4至第5页）在“（三）课程内容”中提出“‘综合与实践内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力”。教学用书（第188页）的教学目标中也提出“体会运筹学在解决现实问题中的作用……，凸显数学与生活的紧密联系”。可见，“烙饼问题”既然是解决生活中的现实问题，那么设计就应该符合实际。诚然，“烙饼问题”确实是生活中的实际问题，然而相关的条件、烙法等却脱离了实际。

（1）问题的条件脱离实际

在火焰大小一定的情况下，烙饼“每面3分钟”的条件就不切合实际。事实上，烙饼的正面3分钟能烙好，那烙好反面就不需要3分钟，烙饼不需要两面烙同样长的时间。因为一开始的锅和饼的温度基本都是一样的，而正面烙好时，锅和饼已经吸收了相当多的热量，具有了相当高的温度（一般200 °C左右），反面若再烙3分钟，供给同样多的热量，就会把饼烙煳。当然，数学毕竟不同于生活，作为问题的条件本身就是假设，虽然不太符合实际，还尚能说得过去。

（2）烙饼过程中的依据脱离实际且不科学

在火焰大小一定的情况下，从教材设计的烙饼之探究过程来说，设计提示语“为什么烙2张饼和烙1张饼都用6分钟？”的目的是促进学生思考与探究。既然如此，就不是后面“每次总烙（  ）张饼”提示语暗示的2张饼“一起烙”能简单解决的。这样的设计，限制了学生思考与探索的空间，因为烙好1张饼的一面需要用3分钟，那同时烙2张饼的一面用3分钟就烙不好;或烙熟1张饼用6分钟，同时烙2张饼用6分钟就烙不熟。其实，在一些数學课堂上就有不少学生提出6分钟烙不熟2张饼的问题，但都被教师选择性忽略了。因为，任何人都知道烙饼是需要一定热量的，火焰供给的热量只够烙好1张饼的一面或两面，那第2张饼需要的热量哪里来？这无论是从理论还是实践角度来讲都说不通。但从数学简化问题的角度考虑，虽存在问题，还可算作是比较合理的。

（3）交替烙法既脱离实际又违背常识

教材给出的交替烙饼优化方法存在以下问题：第二次烙饼时，1号饼的温度已达200 °C左右，3号饼的温度是室温，一起烙3分钟就会出现“1号饼的反面可能烙煳，3号饼的正面可能会欠火候”的现象。同样，第三次烙饼时，3号饼的温度达200 °C左右，2号饼的温度接近或略高于室温（因从锅里拿出来晾上3分钟会散发大量热量），就会出现“3号饼的反面可能烙或2号饼的反面可能欠火候”的现象。更为重要的是，拿出来“待命”的2号饼，没烙熟就拿出来，3分钟后再放入锅中烙，这张饼有可能会夹生——烙不熟。 “夹生馒头蒸不熟”可是我国劳动人民长期生活经验的总结啊！ 杨雨在《如此“烙饼”好吃吗》中就论述了这个四年级学生也知道的生活常识。董桂云在文章《谈教学“烙饼问题”》中也指出，亲自按教材的优化烙饼方法烙饼，烙出的饼确实夹生，且“课后让学生回家询问妈妈平时是怎样烙饼的，第二天反馈回来的信息是‘没有一个妈妈是用交替方法烙饼的”。笔者亲自询问过一些烙饼技术比较好的家庭妇女和烙饼店专门烙饼的多位师傅，他们都说生活中不会按教材上的所谓的“优化”方法烙饼。

3.所谓的“优化”烙饼方法并不是最优烙法

教材上所谓的“优化”烙饼方法不仅脱离实际，还不是最优的烙饼方法。这是因为，即使从数学的角度出发，在先不管所答非所问和夹生的问题，也承认1张饼的正反两面都烙3分钟，及烙1张饼和烙2张饼都用6分钟能烙熟之假设合理的情况下，教材给出的所谓“优化”烙饼方法，无论是单从节省时间上来说，还是综合节省能源来看，都不是最优的。因为，这种烙法本身就与教材“别让锅（空着）”的提示语矛盾——同时烙2张饼的时候锅至少空着一半。（既实用又更优化的烙饼方法，下文将进一步说明）

由上可知，教材设计存在诸多问题，若是脱离实际的问题，从数学的角度来说还可以理解，因为数学毕竟是对生活的抽象，不可能完全等同于生活，但所答非所问是不应该的，加之烙饼的“优化”方法并不优，那这个设计就有待商榷了，因为这是渗透统筹与优化思想方法的内容啊！

二、既实用又更优化的烙饼方案

稍微有点生活经验的人都知道以下烙饼常识：在每张饼的面团体积（质量）以及炉灶的火焰大小一定的情况下，烙饼的快慢主要取决于饼的厚度。当然，也与饼每个面的面积大小有关，因其决定了覆盖锅底面积的大小，进而决定饼吸热面积的大小（虽影响熟的快慢但非决定因素），以及锅底空余的多少（这决定了热量散发或燃料浪费的多少），而与饼的形状无关。一块面团，当擀成的饼面的面积越大时，饼就越薄，烙熟得就越快，热量散发就越少;当擀成的饼面的面积越小时，饼就越厚，烙熟得就越慢，热量散发就越多。

为方便论述，先做以下假设：用教材上图示的圆形平底锅（其大小不变）烙饼;图示3张圆饼的厚度相同（这是隐含条件，否则同时烙2张饼不可能同时烙熟），也假设饼的直径相同（当然可以不同），擀成饼的3块面团的质量或体积相同;因每次最多只能烙2张饼，故饼的直径d小于锅的半径R（再大了放不下2张饼），但大于锅半径的[43-6≈0.928]倍（当r=0.928R时，3张饼两两相切并都与锅的内边缘相切，可以同时放3张饼一起烙）。另外，炉灶的火焰大小虽然可调，但也假设是不变的，并假设所设计的圆饼每面烙3分钟，多张一起烙和单独烙1张的时间相同。

在上述假设下，基于烙饼常识，只要饼的厚度、每个面的面积大小及形状是可变因素，便可以给出既能节省时间又能大大减少燃料浪费地烙熟3张饼，并且在生活中可以应用的、最优化的烙饼方案。

1.饼的张数和形状不变情况下的烙饼方案

方案一：把3张饼都擀成和锅一样大的饼，一张一张地烙。这时，可计算出：每张饼的受热面积至少变为原来的4倍，厚度最多为原来的1/4。单从饼的厚度来说，理论上每张饼1.5分钟就可烙熟;若再考虑到受热面积的增大，实际上应少于1.5分钟就可烙熟1张饼。这样烙熟3张饼最多需要4.5分钟。

方案二：把3张饼仍擀成圆形且同时烙。把3张饼都擀成圆形，且使它们两两相切，并与锅的内边缘相切（此时饼的直径d最大为0.928R（锅的半径为R））。这时可计算出，饼的厚度最多为原来的1.16倍，理论上6.96分钟可同时烙熟这3张饼，还可减少锅空余造成的燃料浪费。

2.饼的张数不变而形状可变情况下的烙饼方案

方案三：把3张饼都擀成圆心角为120°，半径等于锅的半径的扇形饼，放在锅里一起烙（即将3张饼拼成和锅一样大的饼）。此时可计算出：每张饼的厚度最多为原来的3/4，受热面积最少为原来受热面积的4/3倍，理论上这3张饼一起烙，最多4.5分钟也可烙熟。

方案四：先烙2张，再烙1张;或先烙1张，再烙2张。把2张同时烙的饼擀成半圆（直径等于锅的直径）形。这时，每张饼的受热面积最少变为原来的2倍，厚度最多为原来的1/2，理论上3分钟就足以烙熟这2张饼。单独烙的1张饼擀成和锅一样大，由方案一可知理论上1.5分钟就可烙熟。这样， 4.5分钟也可烙熟3张饼。

3.饼的张数可变而形状不变情况下的烙饼方案

其实，实际生活中，烙饼一是考虑熟得快;二是考虑省燃料。因此，没有必要非得烙成3张饼，烙成1张饼或2张饼后再切开吃也是可以的。基于此，还有以下方案。

方案五：把3张饼的面团揉在一起，擀成和锅一样大的1张大饼。此时可计算出：饼的厚度最多为原来的3/4，受热面积为原先3张饼受热面积的4/3倍，理论上4.5分钟也可烙熟。

方案六：把3张饼的面团揉在一起，平均分开（此时每张饼的体积或质量为原来1张饼的1.5倍），擀成和锅一樣大的2张大饼（也可以擀成更多张饼）。此时可计算出：大饼的厚度最多为原来的3/8，每张饼的受热面积最少为原先1.5张饼受热面积的8/3倍，理论上2.25分钟足已烙熟一张饼，4.5分钟足已烙熟2张饼。

由上可见，若教材上的烙法能烙熟的话，上述方案中，除方案二外，其他方案理论上4.5分钟都足已烙熟饼。这不仅比教材上所谓的“优化”烙饼法的时间少了一半，而且都实现了饼对锅底的全覆盖（符合教材提出的“别让锅（空着）”），大大减少了热量的散发，至少比教材上的方法省一半多的燃料。

值得指出的是，一锅烙1.5张、2张或3张饼肯定比烙1张饼需要的热量多，方案二至方案六实际所需时间可能略多于理论值;最后一次烙完都损失一次热量，但前一张饼烙熟后，锅本身的热量可以使下一张饼烙熟得更快一些。故综合诸多因素来看，方案一应是最优的烙饼方案，方案六、方案四次之。

生活中，在烙3张饼且烙饼次数不限的前提下，应用方案一的人最多，应用方案四的也比较多，常出现在人们烙馅饼时，把面擀成一个圆饼，在一半放上馅后折叠过来捏好再烙。在烙3张饼且一次烙完的情况下，由于方案三所述的形状难以擀出，人们往往是将其适当变形，擀出面积尽量大的饼，使3张饼基本铺满锅，不太在意形状;在不限制烙饼的张数，但一次烙完的情况下，人们往往是按照方案五烙饼，然后切开吃;在不限制烙饼张数，也不限制烙饼次数的情况下，人们往往是按照方案一、方案六烙饼（当然饼的张数未必是2张、3张，可以更多）。

特别需要指出的是，上述方案都是给出的烙熟饼的方案，而不是尽快吃上饼的方案。若是尽快吃上饼，在方案一中，1.5分钟就可使一家三口人吃上饼——把烙好的第1张饼切成三份先吃着，接着边吃边烙。

综上可知，从节省时间和节约能源的角度给出的烙饼方案，都比教材上所谓的“优化”烙饼方法更优，且方法多样，真正贯彻统筹与优化思想，并都能在生活中得以应用。再者，上述方案中关于饼的厚薄、直径及每面面积的计算还应用了圆及圆柱等有关知识，体现了数学知识的综合应用，更符合“综合与实践”的内容设置及标准要求。反观原设计，基本没有涉及多少数学知识——只是简单的加或乘，体现不了数学知识的综合应用。

当然，有的人会说，教材上没说饼的厚薄、面积或形状可以变。是的，但教材也没有说不能变，况且方案一和方案二中每张饼的大小（体积或质量）及形状都没变。更何况，这些方案都符合教材“别让锅（空着），这样应该最省时间”的提示。再者，教材也没有说烙饼烙好一面可以拿出来等会再烙，但给出的烙法不照样将2号饼拿出来晾上3分钟再烙吗？何况这样烙的饼还夹生呢！难道比饼的厚薄、面积、形状或张数的变化更合理？只有抓住问题的可变因素进行处理，才能真正体现统筹与优化思想的内涵与实质（详见研究（二）的分析），如果问题的所有因素都不变，何来的统筹与优化呢？

综上，由于教材编写存在的一些问题，按教材进行教学不可能实现教学目标。上面给出的既实用且更优化的烙饼方案，既有利于学生感悟统筹与优化思想，有助于教师实现教学目标，更能说明数学确实“源于生活，又应用于生活”，还可避免课堂上教师面对学生质疑烙饼方法时，茫然无措或出现无法应对的窘相;避免用诸如“数学源于生活，但它高于生活”的大道理去应付学生的质疑。更何况，课程标准中指出的就是让学生学“有用的数学”“贴近学生实际”的数学;教材编写也贯彻课程改革的这一理念，且教学用书提出的教学目标（第188页）还要求“凸显数学与生活的紧密联系……增强应用意识和实践能力”。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 人民教育出版社，课程教材研究所.义务教育教科书·数学（四年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3] 人民教育出版社.义务教育教科书数学教师教学用书（四年级下册）[M].2版.北京：人民教育出版社，2016.

[4] 董桂云.谈教学“烙饼问题”[J].中小学数学（小学版），2011（5）.

[5] 杨雨，朱艳丽.如此“烙饼”好吃吗[J].中小学数学（小学版），2013（3）.

【本文系濱州市教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“小学数学‘综合与实践领域教材编写与优化研究——以人教版第二学段数学教材为例”（BJK13520-109）成果之一。】

（责编 金 铃）