类比动力学模型突破电磁学建模难点

黎就图

[摘   要]学生对抽象的物理情境建模需依托熟悉的情境模型。引导学生类比熟悉的模型对抽象的物理情境进行建模，将会收到事半功倍的效果，同时对学生创造性思维的培养也起到积极的作用。类比熟悉的力学模型对电磁学中的物理情境进行建模，可使电磁学建模变得更具体、简单，更有利于学生构建电磁学知识体系。

[关键词]电磁学;力学;类比;模型

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）17-0043-03

电磁学是高中物理的重要内容，在高考中的地位不言而喻，是高考考查的重中之重。但对电磁学的学习，高中生普遍感到非常抽象，难以寻找学习电磁学的规律，不易找到它与熟悉物理知识的联系。而解决物理问题常常要将抽象的物理情境转化成熟悉的物理模型，将复杂的物理过程简单化，将未知的物理关系具体化。倘若教师在教学中引导学生借助熟悉的力学模型对电磁学中抽象的物理情境进行建模，让学生找到熟悉的模型，激发学生的创造思维，将大大降低学生学习电磁学的难度，有效解决电磁学问题。本文从以下三方面谈谈如何类比熟悉的力学模型对一些电磁学中的物理情境进行建模。

一、类比熟悉的力学斜面模型

力学斜面模型是高中生熟悉的基本模型，把抽象的电磁学模型转换为力学斜面模型，符合学生的认知水平，即由抽象变为具体，将陌生变为熟悉，从而降低电磁学问题的学习难度。

1.光滑斜面模型

[例1]已知质量为m的带电尘埃沿平行板电容器极板中线，由边缘P点以初速度为零运动到边缘Q点，极板与水平面成[α]角，板间距離为d，板长为l，电容为C，不计边缘效应，如图1。求：（1）尘埃的电荷量q;（2）到Q点时尘埃速度的大小。

解析：（1）在垂直[PQ]方向，由于电场力等于重力在该方向的分力，故有：[q?Ud=mgcos α]

由电容器的知识有[U=q0C]，可得：[q=cmgdcos αq0]

（2）沿[PQ]方向有[mgsinα=ma]，[v2=2al] ，联立解得： [a=gsin α， v=2glsin α]

或由 [mglsin α=12mv2]   解得：[v=2glsin α]

评析：此题建模需要较强的立体空间想象能力，若将带电尘埃沿极板的中线由P点以初速度为0运动到Q点类比为一物体沿光滑斜面从斜面顶端由静止出发运动到斜面底端的力学斜面模型，带电尘埃受到的电场力等效于斜面对物体的支持力（如图2），此模型便转换成高中生熟悉的物体沿光滑斜面下滑的力学斜面模型，可让学生快速找到解决问题的切入点。

2.平衡状态模型

[例2]如图3，上端接电源和滑动变阻器R的宽度是d的平行导轨，导轨与水平面成q角。导电棒ab质量为m，放在导轨上，棒与导轨动摩擦因数是[μ]，可认为棒受到的静摩擦力等于滑动摩擦力。场强为B的匀强磁场垂直导轨平面向下。滑动[R]的滑片，保持棒不动，试分析流过棒的电流的取值范围。

解析：当棒受到沿导轨平面向下的静摩擦力达到最大时，棒受到沿导轨平面向上的安培力[F1]为最大值，此时棒的电流[Imax]最大;同理，当棒受到沿导轨平面向上的静摩擦力达到最大时，棒受到沿导轨平面向上的安培力[F2]为最小值，棒的电流[Imin]最小。两种情况下的受力图如图4所示。

情况一，对棒进行正交分解有：沿导轨平面方向[F1-mgsinθ-f1=0]，垂直导轨平面方向[FN1-mgcosθ=0]，又摩擦力[f1=μFN1]，安培力[F1=BImaxd]。

解上述方程得：[Imax=mgsinθ+μmgcosθBd]

情况二，对棒进行正交分解有：沿导轨平面方向[F2-mgsinθ+f2=0]，垂直导轨平面方向[FN2-mgcosθ=0]，又摩擦力[f2=μFN2]，安培力[F2=BImind]。

解上述方程得： [Imin=mgsinθ-μmgcosθBd]

则通过ab杆的电流范围为：

[mgsinθ-μmgcosθBd≤I≤mgsinθ+μmgcosθBd]

评析：此题可类比如图5所示的斜面模型，棒中的电流为[a→b]，棒所受的安培力方向沿导轨平面向上（类似物体受到沿斜面向上的拉力[F]）。当流过棒的电流为最大值[Imax]时，安培力达最大值[F1]（拉力[F]达最大值），此时棒受到沿导轨平面向下的静摩擦力（物体受到沿斜面向下静摩擦力）也达到最大值;当电流为最小值[Imin]时，棒受到沿导轨平面向上的最大静摩擦力（物体有沿斜面向上的最大静摩擦力），此时安培力记为[F2]（拉力[F]达最小值）。截面图如图4（a）、（b）。

二、将电磁场中的旋转类运动模型与匀加速直线运动模型及圆周运动模型类比

带电粒子在电磁场中的旋转运动对高中生来说是很抽象的问题，若能把此类问题类比转换为学生熟知匀加速直线运动模型，定会起到化繁为简、化曲为直的效果。

[例3]如图6甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小为[B]的匀强磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为[r]的圆环形光滑细玻璃管，环心[O]在区域中心。一质量为[m]、带电量为[q（q>0）]的小球，在管内沿逆时针方向（从上向下看）做圆周运动。已知磁感应强度大小[B]随时间[t]的变化关系如图6乙，其中[T0=2πmqB0]，设小球在运动过程中电量保持不变，对原磁场的影响可忽略。

（1）在[t=0]到[t=T0]这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，求小球的速度大小[v];

（2）在竖直向下的磁感应强度增大的过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。试求[t=T0]到[t=1.5T0]这段时间内：①细管内涡旋电场的场强大小[E];②电场力对小球做的功W。

解析：（1）对小球，有[qvB=mv2r]，故有：[v=qB0rm]

（2）①磁场变化引起圆管处产生匀强电场[E=Ud=B0rT0]，由法拉第感应定律得电势差[U=ΔφΔt=2B0-B0×πr21.5T0-T0=2B0πr2T0]，又[T0=2πmqB0]，所以[E=qB20r2πm]

②小球加速度为：[a=Fm]，又[F=Eq]，小球在[T0-1.5T0]时间为做内加速直线运动，末速度为：[v=v0+at]

小球做功为：[W=12mv2-12mv20]

故电场力做功为：[W=5q2B20r28m]

评析：此题（2）①问中，在[T0-1.5T0]时间内，产生的涡旋电场（圆环形的场）可等效为平行板匀强电场，把抽象的曲线模型转化为直线模型，转化为熟悉的力学模型（匀强电场的受力），学生对这样的问题便能迎刃而解了;②问中，在[T0-1.5T0]时间内，小球在圆环形光滑细玻璃管内，在感生电场力的作用下被加速，其运动可以运用化曲为直的思想，把小球的运动等效为匀加速直线运动模型，加速度的大小为：[a=qEm] ，最终速度为[v=v0+at]，电场力做的功为：[W=12mv2-12mv20]

[例4]两个D形金属盒放在磁感强度B大小不变、方向垂直于盒底面的磁场中，两盒与使盒间窄缝形成匀强电场的交流电相连，可让离子穿过狭缝时都得到加速。能射出比荷是[q/m]的离子源放于盒圆心附近，D形盒最大半径为[Rm]，其运动轨迹如图7，设两D形盒间的电势差为[U]，盒间距离为d，其电场均匀，求（1）离子最大速度为多大？最大動能为多少？（2）加速到最大动能所需要的时间。

解析：（1）已知D形盒最大半径为[Rm]，故有：[qvmB=mv2mRm]

所以[vm=RmqBm]，最大动能[Ek=12mv2m]，得[Ek=q2B2R2m2m]。

（2）粒子加速到最大动能所需要的时间可分为在两个D形盒中做圆周运动的时间和在缝隙中加速运动的时间。离子每旋转一周增加的能量为[2qU]，提高到[Ek]的旋转次数为：[n=Ek2qU=qB2R2m4mU]

在磁场中运动时间为：

[t0=nT=qB2R2m4mU·2πmqB=BR2mπ2U]

其中粒子在窄缝中的运动可等效为初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为[a=Uqdm]，粒子速度从零加速到[vm]的时间就等于粒子在窄缝中运动的时间t，[t=vma=RmBdU]。故加速到最大动能所需要的时间为：[t0+t=πBR2m2U+RmBdU]

评析：此题为复杂的曲线运动，粒子在两个D形盒中做周期性的圆周运动，其时间为旋转[n]周的时间;粒子在缝隙中旋转加速运动可等效为初速度为零的匀加速直线运动，这样时间的计算就变得简单了。此题的电磁学情境中旋转圆周运动和旋转加速运动模型，学生很难把握，具体解题时，需要把抽象的信息有效地提取出来并建模，转化为熟悉的初速度为零的匀加速直线运动和周期性的圆周运动模型。

三、将电磁学中的双杆运动模型与双球完全非弹性碰撞模型类比

两个小球在光滑水平面上发生完全非弹性碰撞的模型，学生较为熟悉，而电磁学中双杆运动模型与两个小球在光滑水平面上发生完全非弹性碰撞模型极为相似，两者进行类比，有利于学生借鉴已有的熟悉模型，构建电磁学双杆运动模型。

[例5]如图8，放在磁感强度为[B]的竖直向上的匀强磁场中的导轨由斜轨部分和水平部分组成（导轨的斜轨部分在磁场以外），其水平部分光滑且足够长，电阻可忽略，导轨间距为[L]。质量为m的金属棒a，从斜轨上高[h]处静止释放，质量为[m2]的金属棒b放在水平轨上，棒a、b不发生碰撞。求棒b的最后运动速度及损失的机械能。

解析：设棒a刚进入水平轨道时速度为[v0]，在水平轨道上，棒a受到水平向左的安培力，棒b受到水平向右的安培力，故棒a、b作为整体，在水平方向所受的合力为零，故整体动量守恒。设棒a、b运动的共同速度为[v]，根据机械能守恒定律有：[mgh=12mv02]

由动量守恒有：[mv0=m+m2v]

由功能关系有：[ΔE=12mv02-12m+m2v2]

解得：[v=232gh]，[Δ][E=13mgh]

评析：在水平轨道上棒[a]受到水平向左的安培力，棒[b]受到水平向右的安培力，故棒[a]、[b]作为整体，水平方向合力为零，整体动量守恒。[a]、[b]整体损失的机械能转化为电阻发热的内能。此过程可类比光滑水平面上发生完全非弹性碰撞的两个小球模型，两球碰后以共同速度一起运动，系统损失的机械能转化为内能。如图9，质量为[m1]、[m2]的两个大小相同的球， [m1]静止在光滑水平面上，[m2]以速度[v0]沿同一直线运动，两球碰撞，碰后黏合在一起以速度[v]一起运动。

碰撞前后动量守恒，故有：[m2v0=（m1+m2）v]

碰撞后系统损失的机械能为：[ΔE=12mv02-12m+m2v2]

由此可见，此题就是典型的“完全非弹性碰撞”模型。两物体完全非弹性碰撞过程具有以下特点：①相互作用后两物体具有共同速度;②作用前后系统动量守恒;③作用后系统有机械能损失，损失的机械能转化为其他形式的能。

因此，类比熟悉的力学模型，对电磁学中抽象的物理情境建模，可让学生快速解答相关电磁学问题，也有利于学生构建电磁学知识体系，进而提升学生解决电磁学问题的能力。

[   参   考   文   献   ]

[1]  朱联星.2012年福建高考理综物理题压轴题的鉴赏与另解拓展[J].中学物理，2012（11）：57-58.

（责任编辑 易志毅）