爆炸载荷特征参数对无限长圆柱壳弹性动态响应的影响*

张鹏宙，董 奇，杨 沙

（中国工程物理研究院化工材料研究所，四川 绵阳 621999）

爆炸容器作为一种具有特殊用途的密封压力容器，主要用来约束一定量的炸药等易爆物质在其内部爆炸后产生的效应[1]。这种形式的爆炸属于密闭空间爆炸，而密闭空间或半密闭空间的爆炸统称为有限空间爆炸[2]。爆炸容器按结构外形可分为球形和圆柱形爆炸容器，柱壳相比于球壳更易加工生产，因此柱壳的应用更广泛。

对爆炸或冲击载荷作用下爆炸容器的壳体响应，已进行了大量的研究。Baker[3]首先利用单自由度（single degree of freedom，SDOF）模型研究了内部中心受到三角脉冲载荷作用的薄壁球壳，对其径向位移进行了理论求解，得到了弹性动态响应的位移解析解，还获得了采用双线性等向强化材料的球壳在小应变条件下弹塑性动态响应的位移解析解。接着，有了很多SDOF模型应用：Ko等[4]利用SDOF 模型对多层弹塑性球壳受到内部轴对称脉冲爆炸载荷作用下的响应进行了研究；赵士达[1]在SDOF 模型基础上提出了动力系数法；Li等[5]、Dong 等[6]研究了采用弹塑性线性随动强化材料的球壳及平面应力、平面应变圆环，利用SDOF模型及能量方法对结构受到内部中心轴对称脉冲载荷作用后的动态响应进行了力学推导和数值模拟，发现了反直观现象的存在及其出现的临界条件。还有对爆炸载荷下首个脉冲载荷对结构影响的研究[3,7-8]。

孙琦等[9-11]在文献[12-14]基础上，考虑爆炸载荷准静态阶段的影响将爆炸载荷简化为含有三角脉冲阶段及后续准静压阶段的载荷，利用SDOF 模型研究了内部简化爆炸载荷作用下球壳的弹性及弹塑性动态响应过程：提出了球壳的径向位移解析解及其最大值；发现了影响位移最大值所处载荷阶段的临界时刻；分析了准静态压力对动态响应过程中最大位移及后期准静压阶段振幅的影响。并且当载荷分界点时刻晚于临界时刻时，获得了通过临界准静压用以判断径向位移最大值出现时刻的区域图。然而，该图仅适用于三角脉冲冲量恒定、且结构的几何、材料参数等均为特定值的情况，存在很大局限性。

关于球壳径向位移响应的解析求解[9-10]、平面应力、平面应变圆环的相关研究[5-6,15]均属于一维问题，有限长圆柱壳在两端面滑动-滑动边界条件下的响应[16]与轴向位置无关也属于一维问题。但有限长圆柱壳在两端面自由-自由、简支-简支边界条件下的响应[16]与轴向位置有关属于二维问题。考虑柱壳理论求解的可行性，本文中研究柱壳响应的一维问题，研究的对象为内部中心受到沿其轴向线性装药的无限长圆柱壳，属于平面应变问题。本文模型可等效为平面应变圆环[15]，或可等效为处于两光滑刚性墙体间的有限长圆柱壳即两端面受到轴向位移约束的有限长圆柱壳[16]，不考虑结构缺陷、屈曲和拉伸颈缩。

与文献[10]不同，本文中对无限长圆柱壳结构在内爆炸载荷作用下的动态响应进行研究。从准静压与三角脉冲峰值比和三角脉冲作用时间入手，并结合结构的呼吸频率，通过两个无量纲量获得径向位移最大值所处载荷阶段的分区图，适用性更广泛。从已开展的研究来看，三角脉冲载荷以及准静压载荷对结构动态响应的影响均较大，然而综合考虑这两者对结构动态响应影响的相关研究较少，本文中综合考虑载荷的三角脉冲载荷以及准静压载荷的影响，获得载荷参数及无量纲参数对结构弹性动态响应的影响规律，有助于深入认识爆炸载荷下圆柱壳的动态响应规律。本文的研究思路对于球壳的一维响应问题也有一定参考价值。

1 径向位移理论求解

考虑爆炸载荷准静压阶段对无限长圆柱壳动态响应的影响，采用球壳相关研究[9-11]中应用的爆炸载荷模型。图1（a）为简化爆炸载荷p(t)，含有三角脉冲阶段及后续准静压阶段：

式中：pm1为三角脉冲峰值，TL为载荷分界点时刻即三角脉冲作用时间，pm2为准静压，取λ=pm2/pm1，0≤λ＜1。考虑有限元建模因素，无限长圆柱壳也可等效为平面应变圆环，图1（b）为内部受到均匀分布式简化爆炸载荷的无限长圆柱壳横切面。无限长圆柱壳的几何尺寸为：中线半径r=41 mm，径向厚度h=2 mm；材料参数为：密度ρ=7 830 kg/m3，弹性模量E=200 GPa，泊松比µ=0.3。径向位移为ur，周向应力为σθ。

对于内部中心爆炸载荷作用下的无限长圆柱壳，SDOF运动方程为[5,15]：

式中：ω为呼吸振动频率，振动周期为T=2π/ω。

假定在弹性运动阶段结构变形小，因此无限长圆柱壳的中线半径变化微小，可认为振动频率ω近似为常量。由式（1）～（2），可得无限长圆柱壳径向位移响应的解析解：

式（3）在形式上与爆炸载荷下球壳弹性阶段的位移解[9]相同，但在球壳研究中ω2=2E/[ρr2(1−µ)]。

2 径向位移最大值响应分析

反映无限长圆柱壳结构几何及材料特性的有独立参数h、r、ρ、E、µ及相关参数ω，反映载荷特征的有独立参数TL、pm1、pm2及相关参数λ，这些均属于动力响应影响因素。本节中将针对径向位移最大值ur,max综合研究ω、TL、pm1、pm2及λ 等关键因素的影响规律。

2.1 径向位移最大值所处载荷阶段的判别

无限长圆柱壳与球壳同为对称结构，有相似之处。在球壳的相关研究中，孙琦等[9-10]通过式（4）～（7）给出了球壳的临界时刻tc及径向位移最大值。这些同样适用于无限长圆柱壳，但两者的呼吸振动频率ω 不同。对于本文结构，tc=18.0µs、TL=tc时径向位移最大值恰好出现在载荷分界点处，即三角脉冲与准静压阶段的交界处，在径向位移曲线上第一个波峰刚好出现在载荷分界点处：

无限长圆柱壳的径向位移响应也需根据TL与tc的关系，分三种情况。

（1）当TL＜tc即ωTL＜7/3时，径向位移最大值首次出现时刻处于准静压阶段，此时准静压阶段径向位移最大值为：

（2）当TL=tc即ωTL=7/3时，径向位移最大值首次出现时刻处于载荷分界点处，分界点处径向位移最大值为：

（3）当TL＞tc即ωTL＞7/3时，径向位移响应曲线在三角脉冲和准静压阶段均有波峰出现，三角脉冲阶段的径向位移最大值为：

因而，径向位移最大值为ur,max-qs和ur,max-tri两者中的大者。由此，孙琦等[9-10]提出了临界准静压pm2,c，当满足TL＞tc、pm2=pm2,c时ur,max-qs=ur,max-tri。图2为首个脉冲冲量恒定、不同pm1时的临界准静压曲线[10]，可以通过pm2,c判断TL＞tc时径向位移最大值首次出现时刻所处的载荷阶段：曲线上方区域Ⅰ，径向位移最大值出现于准静压阶段；曲线下方区域Ⅱ，径向位移最大值出现于三角脉冲阶段；区域Ⅲ内pm2＞pm1，不符合实际情况，不予考虑。图2 适用于结构几何参数r及材料参数ρ、E、v特定且首个脉冲冲量恒定的情况。

图2 准静态压力临界值[10]Fig. 2 Critical value of quasi-static pressure[10]

在无限长圆柱壳的研究中，当ωTL＞7/3时，如三角脉冲阶段与准静压阶段径向位移最大值恰好相等，由式（5）、（7）可得到：

式（8）以ωTL为自变量、λ=pm2/pm1为因变量。图3（a）为ωTL∈[7/3,25]时的λ-ωTL曲线：曲线上方区域ur,max-qs＞ur,max-tri，即准静压阶段径向位移最大；曲线下方区域ur,max-qs＜ur,max-tri，即三角脉冲阶段径向位移最大。不同类型炸药λ∈[0,1]，如TNT炸药λ≈0.1。对图3（a）曲线上、下方的有效区域进行分区，获得便于直观判断径向位移达到最大值时所处载荷阶段的分区图，用来判断当ωTL＞7/3时径向位移最大值首次出现时刻所处载荷阶段，如图3（b）所示。如点（ωTL,λ）处于图3（a）曲线上方，即图3（b）中绿色区域，则径向位移最大值出现在准静压阶段；如点（ωTL,λ）处于图3（a）曲线下方，即图3（b）中黄色区域，则径向位移最大值出现在三角脉冲阶段；如点（ωTL,λ）在图3（a）曲线上，则三角脉冲阶段的径向位移最大值与准静压阶段的相等。图3（b）适用于载荷参数和圆柱壳的几何、材料参数为任意值的情况，在后续动力响应分析中起到主要指导作用。

图3 当ωT L＞7/3时径向位移达到最大值时所处载荷阶段的分区Fig.3 Zoning diagram of theload stage when theradial displacement reaches the maximum value at ωT L＞7/3

2.2 径向位移最大值响应规律

确定径向位移最大值所处载荷阶段后，讨论ur,max的影响因素及其具体影响规律。本文中所用力学分析模型均已经过数值模拟校验。

如ur,max出现在三角脉冲载荷阶段，即ur,max=ur,max-tri，则ωTL∈(7/3,∞)。由式（7）可知，ur,max-tri与pm1成正比，与pm2无关。图4（a）为TL=50µs、pm2=10 MPa、pm1分别为50、75、100 MPa 时的径向位移曲线，对应的（ωTL,λ）分别为（6.461,0.2）、（6.461,0.133）、（6.461,0.1），这些点均处于图3（b）的黄色区域，所以径向位移最大值出现在三角脉冲载荷阶段。径向位移曲线的第一个波峰处于三角脉冲阶段，且该峰值为径向位移最大值，与pm1成正比。随着TL的增大，径向位移最大值ur,max-tri也增大。图4（b）为pm1=100 MPa、pm2=10 MPa、TL分别为30、40、50µs时的径向位移曲线，对应的（ωTL,λ）分别为（3.876 6,0.1）、（5.168 8,0.1）、（6.461,0.1），这些点均处于图3（b）的黄色区域，所以径向位移最大值出现在三角脉冲载荷阶段。径向位移曲线仅有第一个波峰处于三角脉冲阶段，且该峰值为径向位移最大值，随着TL的增大而增大，原因是三角脉冲阶段作用时间的增长导致相同时间段内圆环受到更大的冲量。

图4 径向位移曲线Fig.4 Radial displacement curves

如ur,max出现在载荷分界点处，即ur,max=ur,max-c，此时径向位移最大值ur,max=pm1/(ρhω2)，ur,max与pm1成正比，且与pm2无关。图5为TL=18µs、pm2=10 MPa、pm1分别为50、100、150 MPa 即ωTL=7/3时的径向位移曲线，三角脉冲阶段径向位移最大值与准静压阶段径向位移最大值相等。径向位移曲线的第一个波峰处于载荷分界点处，且该峰值为径向位移最大值，与pm1成正比。

图5 径向位移曲线Fig.5 Radial displacement curves

如ur,max出现在准静压阶段，即ur,max=ur,max-qs，由式（5）进行变换得到：

由式（9）可以看出：λ 为定值时径向位移最大值与pm1成正比；当pm1为常数时，dur,max-qs/dλ＞0，随着λ 的增大，准静压阶段的径向位移最大值也增大。图6为λ=0.2、TL＜tc和TL＞tc时径向位移最大值出现在准静压阶段时的径向位移曲线。图6（a）中，ωTL=0.6461＜7/3，因此径向位移最大值出现在准静压阶段。图6（b）中，对应的（ωTL,λ）均为（3.876 6,0.2），处于图3（b）曲线的绿色区域，因此径向位移最大值出现在准静压阶段。图6（a）中位移曲线的所有波峰均出现在准静压阶段，图6（b）中位移曲线第二个及其后的波峰均出现在准静压阶段，由于准静压阶段响应为弹性等幅振动，因此该阶段峰值均为径向位移最大值。

图6 径向位移曲线Fig.6 Radial displacement curves

3 准静压阶段振幅分析

准静压阶段的响应为弹性等幅振动，其振幅A为：

与球壳的解[9-10]形式一致，但球壳研究中通过枚举法讨论准静压对A的影响。因而，本文中从解析解入手，分析三角脉冲峰值pm1及准静压pm2对准静压阶段弹性等幅振动的振幅A的影响规律。

3.1 p m1对振幅的影响规律

如仅考虑三角脉冲峰值pm1对振幅A的影响，将式（10）展开可得：

式（11b）是以pm1为自变量的二次函数，其二次项系数非负，当且仅当ωTL=0时等号成立：

因此抛物线开口向上。式（11b）的对称轴表达式，同样也适用于式（11a）：

考虑pm1引起的λ 变化，即pm2为常数。图7（a）为以ωTL为横坐标、1/λ 为纵坐标时式（13）的曲线图，其中曲线下方为振幅A关于1/λ 的单调递减区域，曲线上方为单调递增区域；图7（b）对图7（a）中的有效区域进行了分区，其中红色区域内振幅A随着λ 的增大而增大，绿色区域内振幅A随着λ 的增大而减小。

图7 由p m1导致的准静压阶段振幅单调性分区Fig.7 Monotonic zoning diagram of amplitude in quasi-static pressure stage caused by p m1

为了确定具体工况下pm1对准静压阶段振幅的影响规律，先需要确定分区图7（b）曲线上的坐标，选取TL=5µs时举例说明，此时ωTL=0.646 1，在图7（b）对应为(ωTL,1/λ)=(0.646 1,1.309)，则λ=0.763 9。图8（a）为pm2=20 MPa、TL=5µs时振幅A随λ 的变化曲线：振幅随着[0,0.763 9]内λ 的增大而减小（见图7（b）中绿色区域），随着[0.763 9,1]内λ 的增大而增大（见图7（b）中红色区域）。图8（b）为[0.5,1]区间的振幅变化曲线，可明显看出λ=0.763 9附近的振幅变化过程。

图8 当λ 不同时准静压阶段的振幅变化曲线Fig.8 Amplitude variation curves of quasi-static pressure stage with different λ

3.2 p m2 对振幅的影响规律

如仅考虑准静压pm2对A的影响，由式（11a）、（11b）可得：

考虑pm2引起的λ 变化，即pm1为常数。如以λ 为自变量，式（14）的对称轴表达式为：

图9（a）为式（15）的曲线图，图9（b）为其有效区域的分区。其中，蓝色区域内，振幅A随着λ 的增大而减小；红色区域内，振幅A随着λ 的增大而增大；而黄绿相间区域内，振幅A随着λ 的增大会先减小（黄色区域）后增大（绿色区域）。

图9 由p m2 导致的准静压阶段振幅的单调性分区Fig.9 Monotonic zoning diagram of amplitudein quasi-static pressurestage caused by p m2

当ωTL＜7/3时，选取TL=10µs，则ωTL=1.292 2，在图9（a）曲线上确定坐标(ωTL,λ)=(1.292 2,0.469 0)，则振幅A随着(0,0.469 0)内λ 的增大而减小（见图9（b）中黄色区域），随着(0.469 0,1)内λ 的增大而增大（见图9（b）绿色区域）。图10为TL=10µs下由pm2引起λ 变化导致的准静压阶段振幅变化曲线。

当ωTL=7/3时，则TL=18µs，在图9（a）曲线上确定坐标(ωTL,λ)=(7/3,1)，振幅A随着λ 的增大而减小（见图9（b）中蓝色区域）。图10为TL=18µs下由pm2引起λ 变化导致的准静压阶段振幅变化曲线。

图10 当λ 不同时准静压阶段的振幅变化曲线Fig.10 Amplitude variation curves of quasi-static pressure stage with different λ

当ωTL＞7/3时，选取TL=35µs，则ωTL=4.522 7，在图9（a）曲线上确定坐标(ωTL,λ)=(4.522 7,−0.028 6)，振幅A随着λ 的增大而增大（见图9（b）中红色区域）。图10为TL=35µs下由pm2引起λ 变化导致的准静压阶段振幅变化曲线。

4 结 论

综合考虑了载荷的三角脉冲阶段以及准静压阶段对无限长圆柱壳结构弹性动态响应的作用效果，从准静压与三角脉冲峰值比λ 入手，并结合结构的振动频率ω 和三角脉冲作用时间TL，获得了关键参数对结构弹性动态响应的影响规律。通过力学分析获得可以直观判断径向位移最大值出现时刻所处载荷阶段的分区，还得到三角脉冲峰值和准静压峰值引起的准静压阶段振幅单调性变化分区。

（1）当ωTL＜7/3时，径向位移最大值ur,max出现在准静压阶段；当ωTL=7/3时，ur,max刚好出现在载荷的分界点处；当ωTL＞7/3时，存在两个无量纲量ωTL、λ，对ur,max所处载荷阶段产生决定性作用，受自身振动频率及载荷参数共同影响。

（2）若径向位移最大值ur,max出现在三角脉冲阶段，则ur,max与三角脉冲峰值成正比，且随着三角脉冲载荷作用时间的增加而增加，与准静压峰值无关。若ur,max出现在载荷分界点处，则ur,max与三角脉冲峰值成正比，与准静压峰值无关。若ur,max出现在准静压阶段，当准静压与三角脉冲峰值之比λ 为定值时，则ur,max与三角脉冲峰值成正比；当三角脉冲峰值为定值时，随着λ 的增大ur,max也增大。

（3）三角脉冲峰值、准静压以及TL均对准静压阶段弹性等幅振动的振幅变化规律有影响，导致其具有不同的单调变化区域。