刍议类比思想在初中数学教学中的应用

曹君

一、导语

类比是初中数学教学中常用的教学方法，本质上建构主义的学习思维。所谓的类比是指让学生通过对相近公式、定律、例题等进行分析，比较两者之间的相似处和差异点，进而在此基础上由表及里、由此及彼推导出结论。初中学段尤其是公办初中，受制于學生学习能力、思维习惯和学习态度等方面的因素，总体而言，学生数学学习的动能相对薄弱，抽象思维、推导能力均明显不足。基于这样的学情，教师必须从学生能学、会学、善学的角度出发，遵循初中学生在数学学习中的认知规律，从学生有切身感知，有一定学习基础的方向入手，分阶段、有步骤地依据已经学过的知识顺理承接到新知识的学习中。只有这样，才能真正体现以学生发展为本的理念，才能真正实现新旧知识之间的无缝对接，也才能让学生在潜移默化间掌握新授知识。

《可化为一元一次方程的分式方程》是七年级数学第十章分式中重要内容之一，它既承接了“分式”，又联系了“方程”，通过类比“分式”和“整式方程”的知识来学习，不仅能加深学生对分式的理解，更能拓宽有关方程的知识体系，从而搭建新旧知识的思维联系，降低感知的难度，促进知识的有效迁移，从而达到调动学生学习的积极性，培养学生分析问题和解决问题的能力，真正做到提升学生的数学核心素养。换而言之，所谓的类比，一方面承上启下，在类比方法的运用中推动数学本体知识之间的融会贯通。另一方面，类比方法的运用是学生数学学科能力培养的重要载体，是知识建模、方法迁移、综合运用的有效途径，是落实学生学习中的主体地位，体现绿色生态课堂，落实数学学科核心素养的重要环节。基于此，教师依据学校学生实际情况，在《可化为一元一次方程的分式方程》一课中尝试运用类比方法，对“分式”和“整式方程”在性质、推论等方面进行对比分析，循循善诱，帮助学生找出两者的共同点和差异性，给予学生拾级而上的台阶，在相互比较中领会知识要点，加深对“分式方程”的理解和认识，通过对比，逐步实现单线知识向多维知识的转换和迁移，把握数学学习的一般规律，提升学生数学学习的能力和理解水平。

二、案例分析

（一）类比旧知，形成概念

数学的抽象性以及公办初中学生学力的相对薄弱性决定了在概念教学中，学生常常把握不住概念的内涵和外延，不能领会其本质属性，从而导致在具体的概念运用中理解不深刻、解题不准确。因此，从学情出发，从学生已有知识入手，运用类比的数学思想，通过已知概念架构新概念的模型，在相对紧密的新旧概念的对比分析中帮助学生厘清概念间的关系或联系，正确区分其中的差异，明晰两者之间的关联是数学概念教学中理解新知的较好方法。

在传授《可化为一元一次方程的分式方程》一课中，教师以类比切入，在引入分式方程概念的教学中，做了如下设计：

上述愿个式子具有典型特征，部分为方程，部分为代数式。教师设计的意图在于让学生在概念的学习中逐步通过观察、分类、归纳的学习方法，在类比分析中掌握分式方程的核心概念。其一，观察。教师引导学生观察例题中式子是否含有等号（即式子是否为等式）。此步骤目的在于让学生直观比较代数式与分式方程的差异性，形成思维概念。其二，分类。教师组织学生根据观察结果，逐步引导学生根据两者之间的差异进行分类，根据已学知识，自主将式子分为代数式和方程两类。在此基础上，教师进一步引导学生根据代数式分母的不同特性，以分母是否含有字母为分类依据再一次进行细分，划分为分式和整式两类。此种设计，其意图在于为后续分式方程和整式方程的精准划分提供参照依据和思维路径。其三，归纳。在完成分类的基础上，教师引导学生根据代数式分类的一般方法，对方程进行分类。此种设计，就是要求学生在观察、比较的基础上，找出学习规律和新旧概念之间的逻辑关系和内在联系，在邯郸学步和逐层深化过程中，对照旧知，逐步掌握分式方程与整式方程之间的差异。从而在思考、探究、实践的基础上，在自主学习中领会分式方程的基本概念。

上述教学思路笔者选取的是学生已掌握并熟悉的整式和分式的概念作类比，且与新授的整式方程与分式方程的概念在研究内容上具有趋同性、相似度。学生通过这一教学活动，既加深了被类比的“整式和分式”的概念的巩固，又实现了与之相对应的“整式方程和分式方程”的概念的形成、理解。

在上述教学活动中教师充分考虑了不同学生的能力水平，设计了圆分钟的小组讨论，一方面发挥团队合作的力量，让学生在思维碰撞和头脑风暴中加深对概念的认识，提升学习效率。另一方面，小组讨论的目的在于将学习基础相对薄弱的学生融入到集体学习中，通过小组成员的帮、扶、带帮助该部分学生提升学习自信。在此过程中，教师发挥“导演”作用，提供适当的引导和提示。此环节中，通过师生共同学习、相互促进作用的发挥，在互动交流和自主探究中，学生在潜移默化和环境浸润、实践操作中逐步构建了对相应并列概念的理解，同时既温故、梳理旧有知识，又构建完善数学的知识体系。

（二）类比方法，领会思想

数学学习不仅仅是学科本体知识的习得，更重要的是思想方法的传授和运用数学知识解决实际问题能力的培养。从这个角度讲，类比思想的运用就是数学学习从书本转向应用，从知识转化为能力的重要步骤。因此，在解题中应用类比，使新内容的引出显得自然合理，对同类问题进行纵横比较分析能加深对问题的理解和认知，不但可使学生温故知新，而且可以帮助学生更好地理解记忆和运用。

在探索“可化为一元一次方程的分式方程”解法教学中，教师做了如下设计：

显而易见，上述圆道例题中，例（员）属于整式方程，例（圆）属于分式方程。根据已学知识，有关含有分母的整式方程解法的关键就是去分母，其步骤为在方程两边同时乘以两边的最简公分母，将之转化为不含分母的整式方程后求解。此种解题思路同样适合于分母带字母的分式方程，其解题方法异曲同工。对此，教师在组织学生完成例（员）并分析其解法后，要求学生类比例（员）的解题方法，依样画瓢，联想分式方程的解法，尝试对例（圆）进行求解。一定程度上说，例（圆）是例（员）的变式，两者之间存在共同的解法特性。由于有了例（员）解题的逻辑思路，学生一目了然地理解了分母带字母的分式方程解法的一般方法，顺理成章地解决了教学中的难点，顺利完成了例（圆）的解题。同时，在此过程中，因为解决了理解上的堵点，学生学习的创造力被充分激发，思维深度得以进一步拓展，在例（圆）解题中，甚至有学生对分式方程的解法提出了更为大胆且理性的思考，即通过对角相乘，类比比例的基本性质（比例内项的乘积等于比例外项的乘积）得出问题的答案。这种通过类比整式方程解题方法，实现分式方程、比例性质等知识之间的互通对接，潜移默化间将所学数学知识融合成了整体，推动了“知识树”在学生思维中的形成，在类比中强化了学生运用各种知识一题多解，加深了学生对知识之间内在逻辑的认知。总体而言，取得了比较好的学习效果。

三、课堂渗透类比思想的思考

类比作为数学教学中常用的教学形式，本质上属于思想方法的传授。根本上来说，类比思想在教学中的应用是由表象到本质、由经验到方法、由单一知识到多维能力的过程。从这个角度讲，类比教學应该要充分考虑学生的认知能力，给予学生逐级而上的学习空间。在此基础上，帮助学生进一步厘清相近知识之间的关系和差异，在发挥学生主体作用、主动探究学习过程中，逐步渗透数学学习的思想方法。

（一）适当设置教学坡度，逐层降低学习难度

在《可化为一元一次方程的分式方程》一课，有关概念引入与解法教学的教学环节中，教师的设计意图是学生能通过类比旧知，易于转化总结新授知识。在概念引入部分，学生通过小组讨论的方式，将各式进行分类。在学生的小组活动过程中，教师对各个小组讨论的观察中发现，基础较好且观察分析能力强的同学很容易将各式按特征进行分类，而基础较薄弱且观察分析能力弱的同学则产生了一定困难。这就要求教师在运用类比思想进行设计教学环节时要充分考虑学生个体的差异，设置适当的铺垫，让各层次的学生都能进行自主探究活动。

因此，教师对引入部分的分组归类做了如下调整：其一，针对大部分学力基础尚可的学生，设置问题串，以可否按照式子中是否含有“越”号进行分类，以及是否可以按照分母中是否含有字母进行分类等问题引导学生进行思考分析。如此设置其目的在于引导学生观察重点，为其后的自主活动概念类比做铺垫。其二，针对小部分学习能力较为薄弱的学生，教师从概念入手，要求学生对“方程和代数式”“整式和分式”进行分类，由学生按概念进行类比分析，分类进行填空，在填空的过程中回顾方程、代数式、整式、分式的概念，思考其中的联系。如此设置将抽象的问题先具体化，学生通过按类填空再去观察类比，很大程度上降低了自主活动的难度。

课堂教学中渗透类比思想，首先要激活学生的观察能力，才能激发学生探索、研究新的知识的兴趣。在实际教学中，要根据不同学生的能力需要，设置合适的铺垫，让学生在自主探究、观察类比的过程中更具有指向性，真正意义上降低学习新知识的难度。

（二）厘清新旧知识，架构知识通路

从日常的数学教学中，教师认识到，部分学生在数学学习中仍然存在着较大的障碍。分析其原因，固然有学习基础和学习能力等方面的客观因素。但是，不可否认的是，学生数学学习方法的欠缺，思维能力的单一化、表象化，对比分析、观察差异能力的不足以及在数学学习中单方面地将各个知识点作为孤立的问题来学习，而没有将新旧知识很好地联系和衔接，从而产生学习上的“孤岛效应”是阻碍数学学习成效彰显的重要原因。

从《可化为一元一次方程的分式方程》一课的学习成效来看，本课运用类比方法传授新课，打通了新旧知识之间的壁垒，通过不断对旧知识的温故循序渐进渗透新知识，达到了比较好的学习效果。在后续的知识检测中，学生知识的习得水平都达到了较高水准。因此，在数学教学中，运用类比思想是帮助学生将原本看似独立的知识点联系起来，由点成线，由线成网，构筑出完整的数学知识体系的重要支撑力量，类比方法的运用深化了学生对知识的理解，加固了学生对知识的掌握。从这个角度而言，架构完整的知识体系需要将类比的思想点点滴滴地渗透到日常的教学中，而不是偶尔为之，在学生不断学习新知的过程中，运用类比思想能有效对旧知识进行梳理，更有助于学生对知识的内化和吸收，久而久之，学习新知对学生来说便会变得更简单，由此培养起来的自主探索的能力便展现为学习能力的增强。

（三）培养自主探究能力，内化思想方法

传统的数学概念教学，以教师的讲述传授为主，相对枯燥、抽象，不易于学生的理解记忆，学习效果不甚理想。本质上，以教师为主体的课堂教学无法激发学生学习中的探究欲望，学生处于被动接受的状态。因此，新时期的数学教学必须把课堂真正还给学生，让学生成为学习的主人，只有这样才能激发学习动力，让学生掌握学习主动权。本节课对于什么是分式方程这一概念教学，在教学理念上运用类比思想，通过具有规律性、相似性的概念对比，在体系上实现新旧知识之间的互联共通。在方法上采用小组合作、自主探究的形式。在思维上采用观察、对比、归纳的思路。通过搭建完整的通路体系，发挥主体作用的学习方法，阶梯式的学习步骤，让学生了解数学知识间的相互关系，使学生的数学知识逐渐形成网络，同时激发出学生主动探究的兴趣，更有利于提高学生的观察能力和借助已有知识解决新知识的学习能力，真正培养了学生的自主探究能力。

在解题方法的学习探索中渗透类比思想，通过类比含分母的整式方程的解法，联想分式方程的解法，归纳总结两类方程解法上的共通点———去分母，从而搭建新旧知识的思维联系，降低新授知识学习的感知难度，促进知识的有效迁移。数学有丰富的研究领域、问题和方法，形成了很多特点鲜明、作用不同的数学分支，但数学又是一个有机整体，拥有清晰的结构，通过类比思想的渗透，帮助学生有效地将旧知融汇于新知，通过对同类问题进行比较分析，不但加深对问题的理解和认知，而且可以帮助学生更好地记忆和运用。在注重素质教育的今天，教师在重教学结果的同时更要注重过程，学会了教学思想与方法，才能真正意义上提升学生的核心素养。

四、结束语

《可化为一元一次方程的分式方程》一课，教师在概念教学中渗透类比思想，帮学生巩固旧知，促进新知形成，将新旧知识很好地联系和衔接，构建完善数学体系；解题方法中渗透类比，帮助学生降低探究新知时的感知难度，促进知识迁移，深化理解解题的数学方法。从本课的教学中，教师深刻地认识到数学教学不仅仅是帮助学生学会解题，更重要的是学习能力的培养。所谓“授人以鱼，不如授人以渔。”教师不仅要教学生学会，更重要的是要学生会学。课堂中渗透类比思想，让学生通过观察归纳，通过类比、联想，从旧知去探索新知，让学生真正在探究中掌握数学学习的方法，这才是数学教学的真谛，也是数学学科核心素养达成的关键一步。