关于小角度极限下卢瑟福散射公式有效性的讨论*

黄开智

(华中师范大学物理科学与技术学院 湖北 武汉 430079；江苏省姜堰第二中学 江苏 泰州 225500)

乔翠兰

(华中师范大学物理科学与技术学院 湖北 武汉 430079)

申 晨

(华中师范大学人工智能教育学部 湖北 武汉 430079)

许多教材在推导卢瑟福散射公式时(包括库仑散射公式)都做了一些假设，如只发生单次散射、核外电子的屏蔽作用可以忽略以及靶核静止等，从而在理论上得到了卢瑟福散射公式.但在实际操作中，却又发现不少实验结果与理论预测不相符，如本文所讨论的小角度散射,此时，卢瑟福公式会失效.对于这一问题，相关文献是如此表述的：“当瞄准距离b达到原子大小时，由于原子呈电中性，库仑散射就根本不会发生.因此，在小角时，不考虑核外电子屏蔽效应的卢瑟福公式不再正确.”[1，2]

本文通过理论推算和相关实验数据，发现在小角度散射时，卢瑟福公式失效的主要因素不是屏蔽效应，而主要是单次散射的假设不成立.

1 理论推算

1.1 卢瑟福散射公式

卢瑟福散射公式为

(1)

上式dN表示进入dΩ立体角接收器的α粒子数，N表示入射α粒子总数，n表示靶内原子数密度，t表示靶的厚度，E表示入射粒子的能量，Z1和Z2分别示α粒子和靶核的核电荷数，θ为散射角，e为电子电荷量.

图1 卢瑟福散射公式函数图像

1.2 θ0的确定

在忽略核外电子对核库仑场的屏蔽效应时，两个核的散射过程就是一个纯粹的库仑散射过程，由此得到库仑散射公式

(2)

上式中b表示碰撞参数(即瞄准距离)

对于一个靶核而言，其微分散射截面为

dσ=2πb|db|

(3)

截面为A的α粒子束轰击靶核时，散射核有Ant个.设靶核互不遮蔽，假定每个α粒子只经过单次散射，实际上也就是要求每个原子的散射截面没有重叠.为了能更好地说明，本文采用了如图2所示的靶核模型.共有Ant个靶原子均匀密排于平面内，达到了每个靶原子互不重叠的要求.

图2 未重叠的单层靶核模型

(4)

(5)

而最大的b0对应最小的θ0，将式(5)代入式(2)，有

(6)

(7)

当能量为7.68 MeV的α粒子轰击0.1 μm的金箔时，a=2.96×10-14m，且在常温时金原子的数密度为n=5.91×1028个/m3，代入数据可求得b0=0.065×10-10m以及θ0=4.55×10-3rad，可见θ0的大小还与入射粒子的能量大小有关.

1.3 考虑屏蔽效应时的散射角

以上所用的金箔厚度比原子线度还大了3个数量级(实际上0.1 μm的金箔已经十分薄了)，下面来估计在该尺度上屏蔽效应对散射角下限的影响.屏蔽库仑势为

(8)

由此得到玻恩近似微分截面[3]

(9)

(10)

又通过式(3)的简单运算，发现

(11)

(12)

上式表示的是在考虑屏蔽效应后，理论上粒子散射的总截面.由于在实际的散射过程中，重合的靶核散射截面S必定小于式(12)所求得的总截面σB，说明散射式(9)仍会有一个下限散射角θmin，于是只要求出θmin，然后与θ0作对比，便可得出结论.

将式(9)对θ在θmin～π进行积分，得到

(13)

(14)

(15)

将式(15)代入式(14)有

(16)

(17)

运用式(7)关系

将其平方后代入上式，得到

(18)

2 实验数据的验证

首先，对式(1)变形为

(19)

如果考虑屏蔽效应，则有

(20)

(21)

其中散射角相应的瞄准距离

从表1的实验数据来看，在考虑了屏蔽效应后，理论计算结果与不考虑屏蔽效应的计算结果相差不大，但却与实验结果相差较大，故这从侧面证实了小角散射时，卢瑟福公式失效的主要原因应该不是未考虑核外电子的屏蔽效应，而主要是入射粒子的单次散射假设不成立，也就是说，小角度时，入射粒子历经了重叠散射的过程.

表1 粒子散射实验的实验与理论计算结果对比

3 结论

在本文的理论推算部分，求得了屏蔽半径p与最大碰撞参数b0之间的关系为

p=0.12×10-10m>0.065×10-10m

(同时K比θmin和θ0小了两个数量级).p与b0对比如图3所示.

图3 屏蔽半径与碰撞参数的对比

通过图3，不难得出在小角散射时，卢瑟福散射公式的有效性主要是取决于单次散射假设的成立，而不是核外电子的屏蔽效应假设的成立.换句话说，在小角散射时卢瑟福公式的失效主要是由于单次散射的假定不成立，而非不考虑屏蔽效应.在本文的数据引用部分，也从侧面反映了这一点.另外，还有研究者认为，入射粒子在散射箔所展开的有效面积也是一个影响小角散射卢瑟福公式失效的因素[5]，这里就不再阐述了.以上这些结论对学生加深对卢瑟福散射公式的理解很有帮助.