铁路建筑限界曲线加宽通用计算方法研究

赵振刚

(中铁工程设计咨询集团有限公司济南设计院，济南 250022)

1 现行铁路建筑限界曲线加宽规定、存在的问题及研究现状

目前，铁路行业建筑限界执行《铁路技术管理规程》和GB 146.2《标准轨距铁路建筑限界》的规定。计算车型为二轴车，车体长度l=26 m，车辆定距S=18 m，车辆前悬、后悬q= 4 m。规范规定了圆曲线地段内外侧限界加宽方法，即在直线-缓和曲线-圆曲线过渡段可采用阶梯型方式或曲线圆顺方式，虽给出了阶梯型加宽的具体方法，但未明确曲线圆顺加宽的具体方法。

目前，许多专家学者开展了相关研究，周兵和[1]创造性地绘出了缓和曲线内外侧限界加宽值分布示意图，提出了缓和曲线铁路建筑限界加宽方法，对加宽曲线中曲线部分采用了直线拟合的方式，车型采用铁路行业规定的计算车型。赵振刚[2]绘制了缓和曲线段加宽值曲线示意图，采用多项式拟合的方法对加宽值线的曲线部分进行拟合，分段给出了加宽值计算式。但仅适用于铁路行业标准计算车型。李长准、李明炜[3-4]利用数学分析方法，创造性地提出了不同车型参数，不同线路平面参数下，直-圆过渡段、直-缓-圆过渡段铁路建筑限界加宽计算方法，公式简单，方法明确，较好地解决了方法的通用性问题。但经验证，在小半径曲线条件下，在缓和曲线起点处误差较大。在缓和曲线与圆曲线连接处加宽值线与实际不符，误差值较大。张徐[5]利用MATLAB软件，分析了地铁车辆在圆曲线、缓和曲线及曲线过渡段的限界加宽量，绘制了内外侧加宽值曲线。温双义[6]通过几何分析方法，阐述了缓和曲线与圆曲线加宽值的比值成正比例关系，提出限界缓和曲线地段加宽计算的比值加宽法。

作为铁道行业基础性标准，对直-圆过渡段、直-缓-圆过渡段建筑限界加宽计算方法进行研究，明确过渡段加宽值变化规律，提出适应不同车型、不同线路平面参数的曲线加宽值计算方法是必要的。笔者利用VB软件编制了建筑限界曲线加宽值计算程序，可进行不同车辆尺寸、不同线路平面参数曲线内、外侧及超高加宽计算，可生成线路平面及车体动态中心线图解图形、内外侧加宽值曲线图形，导出各里程点的加宽值。

2 技术路线

2.1 研究目标

提出不同车辆定距、不同车辆悬长、不同曲线半径、不设缓和曲线或不同缓和曲线长度、不同计算里程共五个变量条件下，建筑限界曲线内外侧加宽值计算式。

2.2 技术路线

(1)不设缓和曲线时，结合站场手册规定的加宽公式，以计算机程序生成的不同计算条件的图解法大数据为基础，绘制加宽值曲线图，利用MATLAB软件分析总结各加宽值变化规律，提出不设缓和曲线时，曲线内外侧通用加宽计算式。

(2)设缓和曲线时，以计算机程序生成的图解法大数据为基础，绘制不同计算条件下加宽值曲线图，利用MATLAB软件分析曲线特征点(如交点)规律，提出特征点计算式；在特征点计算式基础上，结合参考文献中的资料，利用MATLAB软件，分段分析提出设缓和曲线时，曲线内外侧通用加宽计算式。

(3)与计算机程序生成的图解法数据进行对比，验证通用计算式的误差和正确性。

限于篇幅，本文间隔列出部分图解法基础数据和分析过程。验证不列具体过程，仅给出结论。为便于验证、理解，给出的计算式未化简。

3 建筑限界曲线加宽计算参数

3.1 计算变量及符号

包括曲线半径R、缓和曲线长l、车辆定距S、车辆悬长q、计算点里程x共5个变量。车型按二轴车，即不考虑转向架的曲线横向偏移量。

3.2 里程及单位约定

本文中以ZY点、ZH点里程为+000，ZY点、ZH点前里程为负值。除加宽值单位以mm计外，其他尺寸单位均以m计。

4 不设缓和曲线时建筑限界曲线加宽

4.1 不设缓和曲线时建筑限界曲线内侧加宽

4.1.1 图解法数据及内侧加宽值示意图

主要影响变量为车辆定距S及半径R。通过图解法数据，得出R=600 m、S=12 m；R=600 m、S=14 m；R=600 m、S=16 m；R=600 m、S=18 m；R=600 m、S=24 m；R=300 m、S=16 m不设缓和曲线时各点的内侧加宽值，如表1所示。以R=600 m、S=18 m为例绘制不设缓和曲线时内侧加宽值示意图，如图1所示。

图1 R=600 m，S=18不设缓和曲线时内侧加宽值示意图

《铁路工程设计技术手册 站场及枢纽》规定了不设缓和曲线时直线与圆曲线过渡地段变加宽计算方法：

(1)不设缓和曲线时曲线内侧变加宽(m)

以ZY点前18 m为里程0点，曲线ZY点前18 m至ZY点曲线内侧变加宽为：

(1)

ZY点至ZY点后9 m曲线内侧变加宽为：

(2)

(2)不设缓和曲线时曲线外侧变加宽(m)

以ZY点前22 m为里程0点，曲线ZY点前22 m至ZY点前4 m，曲线外侧变加宽为：

(4)

表1 不设缓和曲线时内侧加宽值表(mm)

(3)

ZY点前4 m至ZY点，曲线外侧变加宽为：

4.1.2 内侧加宽值特征点及分段分析

(1)根据图1和式(1)，特征点定为ZY点前定距点、ZY点和ZY点后1/2倍定距点。

(2)ZY点前定距点至ZY点：利用MATLAB软件辅助分析，将ZY点(即表1中里程为+000点)加宽值参照式(1)格式进行整理，如表2所示。

表2 不设缓和曲线地段ZY点内侧加宽值表

参考式(1)，可得出不设缓和曲线时ZY点前定距点至ZY点曲线内侧加宽计算式为：

(5)

经验证，采用式(5)计算结果与表1中各组合加宽值差值在0.045～-0.002 mm之间。

(3)ZY点至ZY点后1/2倍定距点

利用MATLAB软件，ZY点后1/2倍定距点处加宽值参照式(2)、式(5)整理，如表3所示。

表3 不设缓和曲线地段ZY点后1/2倍定距长处内侧加宽值表

参考式(2)、式(5)，可得出不设缓和曲线时ZY点至ZY点后1/2倍定距点曲线内侧加宽计算式：

(6)

经验证，采用式(6)计算结果与表1中各组合加宽值差值在0.069～0 mm之间。

4.2 不设缓和曲线时建筑限界曲线外侧加宽

4.2.1 图解法数据及外侧加宽值示意图

主要影响变量为车辆定距S、悬长q及半径R，通过图解法数据，得出R=600 m、S=12 m、q=4 m；R=600 m、S=16 m、q=4 m；R=600 m、S=18 m、q=4 m；R=600 m、S=16 m、q=5 m；R=300 m、S=16 m、q=5 m、R=300 m、S=18 m、q=6 m不设缓和曲线时各点的内侧加宽值，如表4所示。以R=600 m、S=18 m、q=4 m为例绘制不设缓和曲线时外侧加宽值示意图，如图2所示。

图2 R=600m，S=18，q=4 m不设缓和曲线时外侧加宽值示意图

4.2.2 外侧加宽值特征点及分段分析

(1)结合图2和式(3)，特征点定为ZY点前定距加悬长点、ZY点悬长点和ZY点。

(2)ZY点前定距加悬长点值ZY点前悬长点：利用MATLAB软件，将ZY点前悬长点加宽值参照式(3)进行整理，如表5所示。

参考式(3)分析整理后，可得出不设缓和曲线时ZY点前定距加悬长点至ZY点前悬长点曲线外侧加宽计算式：

(7)

经验证，采用式(7)计算结果与表4中各组合加宽值差值在0.007～-0.000 4 mm之间。

(3)ZY点前悬长点至ZY点：利用MATLAB软件，对ZY点前悬长点至ZY点外侧加宽值参考式(4)、式(7)整理，如表6所示。

表6 不设缓和曲线ZY点前悬长点外侧加宽值表

参考式(4)、式(7)分析整理后，可得出不设缓和曲线时ZY点前悬长点至ZY点曲线外侧加宽计算式：

(8)

经验证，采用式(8)计算结果与表4中各组合加宽值差值在0.018～0 mm之间。

5 设缓和曲线时建筑限界曲线内外侧加宽

5.1 设缓和曲线时建筑限界曲线内侧加宽

5.1.1 图解法数据及内侧加宽值示意图

影响变量为半径R、缓和曲线长l及车辆定距S。通过图解法数据，得出不同车辆尺寸、不同线路平面参数设缓和曲线时内侧加宽值如表7所示。以R=600 m、l=100 m、S=20 m为例绘制设缓和曲线时内侧加宽值示意图，如图3所示。

表7 R=600 m，S=12～24 m设缓和曲线时内侧加宽值表(mm)

图3 R=600 m，l=100 m，S=20 m设缓和曲线时内侧加宽值示意图

5.1.2 内侧加宽值曲线特征分析

(1)内侧加宽值曲线的交点

从图3可以看出，设缓和曲线时内侧加宽值曲线近似为反向曲线。经过对程序生成的内外侧加宽值曲线图形进行分析，中间一段可近似为直线。为便于分析，考虑平衡误差以及适应短夹直线的计算条件，按ZH点后1/2倍定距点(命名为内基点1)、HY点前1/2倍定距点(命名为内基点2)作为拟合该直线的基点。内基点1、2间直线与0加宽值水平线、圆曲线段加宽值水平线有两个交点，命名为NXJD和NSJD。从图3可以看出，确定NXJD、NSJD坐标即可基本确定加宽曲线形状。

图3中内基点1里程取+010，内基点2里程 为+090。经测量程序导出的加宽值线图形，下交点NXJD坐标为(-1.052,0)，上交点NSJD坐标为 (99.996，83.333)。

为分析NXJD和NSJD变化规律，测量得出其他计算条件下NXJD、NSJD坐标，如表8所示。

表8 内侧加宽曲线NXJD、NSJD坐标值表

利用MATLAB软件，结合其他计算条件图解法数据，分析下交点x坐标关于定距和缓和曲线长的变化规律，得出x坐标可近似为：

(9)

上交点x坐标与缓和曲线长差距小于0.1，经验证对加宽值曲线影响较小，上交点x坐标取为缓和曲线长。

xnsjd=1

(10)

(2)内侧加宽值曲线特征点

结合参考文献[3]，将内侧加宽值曲线分为5段，特征点有6个，如表9所示。

表9 设缓和曲线时内侧加宽值曲线分段表

5.1.3 内侧加宽值曲线分段分析

(1)第一、二段(从ZH点前定距点至ZH点、至ZH点后1/3倍定距点)

利用MATLAB、Excel软件，对参考文献[3]中两段计算式进行验证分析，经验证与表7中各组合加宽值差值在 0.000 5 mm～-0.000 4 mm之间。整理得出则第一、二段加宽计算式为：

(11)

(12)

(2)第三段(从ZH点后1/3定距点至HY点前1/3定距点)

根据图3及加宽曲线NXJD、NSJD坐标，采用内插法，得出第三段加宽式为：

(13)

经验证，采用式(13)计算结果与表7各组合加宽值差值在0.322 mm～-0.120 mm之间。

(3)第四、五段(从HY点前1/3倍定距点至HY点至HY点后1/2倍定距点)

参考前述分析，第五段加宽计算式应较第四段简单，因此先分析第五段。利用MATLAB软件，对HY点至HY点后1/2倍定距点内侧加宽值进行分析、按w=S2/8/R+a(x-l-S/2)3格式进行整理，如表10所示。

表10 不设缓和曲线HY点后1/2倍定距长点内侧加宽值表

从表10可以看出，a值与定距无关，与R、l成反比，对a值进行整理，初步得a=1/(12Rl)。

第四段，利用MATLAB软件，对HY点前1/3倍定距点至HY点内侧加宽值进行分析、结合初拟第五段计算式，按w=S2/8/R+a(x-l-S/2)3+b(x-l)3格式进行整理，如表11所示。

表11 不设缓和曲线HY点前内侧加宽值表

从表11可以看出，a值与表10中a值基本相同，b值与半径无关，约等于a值的-2倍，对b值进行整理，初步得b=-1/(6Rl)。

将上述a，b值进行第四、五段内侧加宽值验算，发现当半径、缓长取值较小时误差较大，如当R=200，l=20，S=18，x=14及20时，按该式计算加宽值为123.188 mm、187.313 mm，而图解法计算加宽值为146.064 mm、188.344 mm，误差值较大。说明a、b直接按与R、l取反比不严谨。因此利用大数据分析的方法，重新分析a，b取值。研究了半径采用R=200、300，l=20～100，S=18时a，b取值，如表12所示。

表12 设缓和曲线第四、五段a、b值表

利用MATLAB软件，分析a、b值规律，得出a、b值与R成反比，与l成非线性递减，b≈2a。拟合整理为：

(14)

则得出第四、五段加宽计算式：

(15)

(16)

经验证，采用式(15)、式(16)计算结果与表7各组合加宽值差值在0.018～-0.007 mm之间。与R=200、300，l=20～100，S=18时各组合加宽值差值在0.929～1.043 mm之间

5.2 设缓和曲线时建筑限界曲线外侧加宽

5.2.1 图解法数据及外侧加宽值示意图

影响变量为半径R、缓长l、车辆定距S及悬长q。通过图解法数据，得出不同车辆尺寸、不同线路平面参数设缓和曲线时各点的外侧加宽值，如表13所示。以R=600 m、l=100 m、S=18 m、q=4 m为例绘制设缓和曲线时外侧加宽值示意图，如图4所示。

表13 设缓和曲线时外侧加宽值表(mm)

图4 R=600 m，l=100 m，S=18 m，q=4 m设缓和曲线时外侧加宽值示意图

5.2.2 外侧加宽值曲线特征分析

(1)外侧加宽值曲线的交点

从图4可以看出，设缓和曲线时外侧加宽值曲线也近似为反向曲线,中间一段可近似为直线。与内侧类似，按ZH点(命名为外基点1)、HY点前1倍定距点(命名为外基点2)作为拟合该直线的基点。下部和上部交点命名为WXJD和WSJD。

图4中外基点1里程取为+000，外基点2里程取为+082。经测量程序导出的加宽值线图形，下交点WXJD坐标为(-8.672,0)，上交点WSJD坐标为 (91.393，73.333)。

为分析WXJD和WSJD变化规律，测量得出其他计算条件下WXJD、WSJD坐标，如表14所示。

表14 外侧加宽曲线WXJD、WSJD坐标值表

利用MATLAB软件，结合其他计算条件图解法数据，分析得出WXJD-x坐标可近似采用式(17)。上交点WSJD-x坐标可近似采用式(18)。

(17)

(18)

(2)外侧加宽值曲线特征点

结合参考文献[3]，将外侧加宽值曲线分为5段，特征点有6个，如表15所示。

表15 设缓和曲线时外侧加宽值曲线分段表

5.2.3 外侧加宽值曲线分段分析

(1)第一、二段(从ZH点前定距加悬长点至ZH点前悬长点、至ZH点)

利用MATLAB、Excel软件，对参考文献[3]两段计算式进行验证分析，经验证与表13中各组合加宽值差值在0.014 mm～ -0.209 mm之间。整理得出则外侧加宽第一、二段加宽计算为：

(19)

(x+q)3[-q≤x≤0]

(20)

(2)第三段(从ZH点至HY点前定距点)

根据图4及加宽曲线WXJD、WSJD坐标，采用内插法，得出第三段加宽计算式：

[0≤x≤l-S]

(21)

经验证，采用式(21)计算结果与表7各组合加宽值差值在0.322 mm～ -0.120 mm之间。

(3)第四、五段(从HY点前定距点至HY点前悬长点、至HY点)

与内侧类似，先从第五段分析。利用MATLAB软件，对HY点前悬长点至HY点外侧加宽值进行分析，按w=((S+2q)2-S2)/8/R+c(x-l)3格式进行整理，如表16所示。

结合表16和其他计算条件图解法数据，利用MATLAB对c值进行分析，得出c=1/(6Rl)。

表16 设缓和曲线HY点前悬长点外侧加宽值表

第四段，利用MATLAB软件辅助，对HY点前定距点至HY点前悬长点外侧加宽值进行分析、结合初拟的第五段计算式，按w=((S+2q)2-S2)/8/R+c(x-l)3+d(x-l+q)3格式进行整理，如表17所示。

表17 不设缓和曲线HY点前定距点外侧加宽值表

利用MATLAB软件，分析c、d值规律，得出c、d值与R、l成反比，c与R、l成线性递减，d与与R、l成非线性递减。拟合整理为：

(22)

则第四、五段加宽计算式为：

(23)

[l-q≤x≤l]

(24)

经验证，采用式(23)、式(24)计算结果与表13各组合加宽值差值在0.019 mm～ -0.000 2 mm之间。

5.2.4 运动附加超高

曲线内侧加宽还应考虑超高影响，在超高顺坡段起点，除线路超高外，还存在着运动附加超高。其影响变量为车辆定距S、缓和曲线长l及超高值h。

结合参考文献[2]，利用MATLAB软件辅助，对既有资料进行整理，得出设缓和曲线时各点的计算超高(已包含运动附加超高)值计算式为：

(25)

(26)

6 结束语

本次研究利用计算机程序生成的不同计算条件建筑限界加宽值图解法数据，绘制了不同车辆尺寸、不同线路平面参数的直-圆、直-缓-圆过渡段建筑限界曲线内外侧加宽值示意图，分析明确了各加宽值示意图的特征，提出了各特征点计算方法。在研究借鉴参考文献的基础上，完善、提出了建筑限界曲线加宽通用计算式，并与图解法数据对照，验证了通用计算式的正确性。本次研究针对铁道行业底层性、基础性的技术问题，研究成果可以推广至不同轨距铁路、地铁、市域铁路等轨道交通领域。