由单调函数y=f(x)确定的数列x n+1=f(x n)收敛性

张友梅，吴邦昆

（合肥职业技术学院基础教育学院，合肥 238000）

若数列{xn}是由函数y=f(x)所确定的递推数列xn+1=f(xn)，n=0，1，2，…的形式给出，如果这类数列通项公式又不易求出，讨论它的收敛性，用传统的方法常常比较困难，甚至无从下手〔1-3〕。比如：

讨论这几个数列的收敛性用传统的方法就比较困难，研究发现如果函数y=f(x)是单调函数，这种由xn+1=f(xn)生成的递推数列{ }xn，它的收敛性在不求通项公式情况下就可以判别，且判别方法具有一定的规律性，容易理解，使用方便，不难掌握。

1 预备知识

定义1 方程f(x)=x的任一解称为函数y=f(x)的不动点〔4〕。

定义2 设函数y=f(x)在区间I上有定义，如果x0∈I，则xn+1=f(xn)∈I,n=0,1,2,…，则称函数y=f(x)在初值x0处可迭代，数列{}xn称为函数y=f(x)的迭代数列。如果对∀x∈I，函数y=f(x)在x处可迭代，则称函数y=f(x)在区间I上可迭代〔5〕。

以下给出几个基本事实〔6〕。

（1）以函数f(x)的不动点为初值产生的迭代数列{xn}是常数数列。

（2）在区间I上单调下降的函数f(x)至多有一个不动点，在(-∞,+∞)上连续下降的函数有且只有一个不动点。

（3）若数列{xn}为连续函数y=f(x)的迭代数列，则nli→m∞xn=A的必要条件是A为f(x)的不动点。

（4）若函数y=f(x)在区间I上单调上升，则迭代数列{xn}一定单调，其增减性由数列{xn}的前二项x0，x1即可确定。

（5）若函数y=f(x)在区间I上单调下降，函数f[f(x)]单调上升，这时数列{x2n}和{x2n+1}分别看成依初值x0，f(x0)通过f[f(x)]产生的迭代数列，则数列{x2n}和{x2n+1}一定都是单调数列。

2 研究结果

这里主要讨论由单调函数y=f(x)产生的迭代数列{}

xn收敛性的判别方法。

2.1 判界法

命题1 若函数y=f(x)在区间I上单调上升、有界且可迭代，则对任何初值x0∈I，f(x)的迭代数列均收敛。

证明：因为所设的条件是函数y=f(x)在区间I上单调上升、有界且可迭代，所以f(x)的迭代数列{xn}为单调有界数列，根据单调有界原理可知数列{xn}收敛。

2.2 不动点法 如果y=f(x)在区间I上单调上升或单调下降，但无法确定其是否有界，这种情况应该使用不动点法判别。

命题2 若连续函数f(x)在(-∞,+∞)单调上升且有唯一不动点a，数列{}xn是函数f(x)依初值x0生成的迭代数列，x1=f(x0)，那么

（1）当x0＜a时，若x0≤x1＜a，则数列{}xn收敛于a；若x1＜x0＜a，则数列{xn}发散。

（2）当x0＞a时，若a＜x1≤x0，则数列{}xn收敛于a；若a＜x0＜x1，则数列{xn}发散。分析：对单调上升函数f(x)，其迭代数列一定是单调数列。数列{xn}收敛性判别主要是通过比较x0与不动点a的大小。分两种情况：一种是数列{xn}在不动点a的左侧变化，另一种是数列{xn}在不动点a的右侧变化，再根据{xn}的单调性，若xn变化逐渐靠近a，则{xn}收敛于a，若xn变化逐渐远离a，则{xn}发散。

证明：（1）设数列xn+1=f(xn)，n=0，1，2，…。由于f(x)是单调上升函数，所以其迭代数列{xn}一定是单调数列，并且a是其唯一不动点。当x0＜a且x0≤x1＜a时，就有x1=f(x0)＜f(x1)=x2，用数学归纳法可知，数列{xn}是单调上升且以a为上界的，所以数列{xn}收敛于这唯一不动点a。当x0＜a且x1＜x0＜a，数列{xn}是单调下降不能收敛于a，而f(x)在(-∞,x0)上无其他不动点，所以数列{xn}发散。

对于（2）的证明与（1）相似，在此省略。

命题3 若连续函数f(x)在(-∞,+∞)单调下降且有唯一不动点a，函数f(x)依初值x0生成的迭代数列{xn}，那么

（1）不论x0＞a或x0＜a，当x0位于x2=f[f(x0)]与a之间时，则数列{xn}发散。

（2）如果a也为f[f(x)]的唯一不动点，不论x0＞a或x0＜a，当x2=f[f(x0)]位于x0与a之间时，则数列{xn}收敛。

分析：这种类型是针对连续函数f(x)在(-∞,+∞)单调下降且有唯一不动点a的情形。通过比较x0，x2=f[f(x0)]，a之间的大小，分两种情况：当x0位于x2与a之间和x2位于x0与a之间进行考虑。

证明：（1）当a＜x0＜x2=f[f(x0)]时，则数列{xn}满足：

…≤x2k+1≤…≤x3≤x1≤a＜x0＜x2≤x4≤…≤时，则数列{xn}与上述情况类似，因此数列{xn}发散。

（2）当a＜x2=f[f(x0)]＜x0时，则数列{xn}满足：则数列{x2n+1}单调上升有上界，数列{x2n}单调下降有下界，所以均收敛。

注1：命题2、命题3结论对在一般区间上也是成立的。

2.3 初始值法

命题4 若连续函数f(x)在(-∞,+∞)单调下降且f[f(x)]有唯一不动点a，则当且仅当

（1）x2=f[f(x0)]位于x0与x1之间时，迭代数列{xn}收敛。

（2）x0位于x1与x2=f[f(x0)]之间时，迭代数列{xn}发散。

注2：命题4的证明方法与命题3类似，不再重复。

3 具体应用

4 结论

有些数列是以函数y=f(x)所确定的递推数列x n+1=f(x n)，n=0,1,2,…的形式给出的，其通项公式一般不易求出，但当函数y=f(x)满足单调性条件时，即使没有通项公式，其数列{}x n的收敛性也可判别，本文深入探讨了这类函数对应的递推数列的通项公式的求法，总结了判别方法的一般规律，对该类问题的研究有一定的实际意义。