非线性差分方程的几种特殊求法

◎ 王君玉

非线性差分方程广泛出现在自然科学领域，在物理学、化学、生物学、生态学、工程学中都有着重要的应用，因此如何求非线性差分方程的解是学者普遍关注的问题，对解常见的线性差分方程问题又较成熟的方法，笔者介绍非线性差分方程的几种特殊求法。

一、不动点法

若f(α)=α，则称α为f(x) 的不动点，用不动点法可把非线性差分方程化为等差、等比数列或某些可求解的递推关系，达到求解目的。

评注:分式差分方程由于它形式的特殊性，在求其通解时它的不动点也必定会有一些更巧的用处，我们可以找出不动点、xn和xn-1之间的等量关系，然后再由递归的方式来计算它的通解。

根据此类方法，笔者编出以下题。

二、取对数法

运用取对数方法，可将含有指数或根式的递推式转化为等差、等比等数列求解。

评注:对于指数式或根式的差分方程，两边取对数，可把其化为一阶线性差分方程，求得通解后再转化为题目所求数列的通项。

根据以上方法，笔者编出以下题

例4 解差分方程

解设zn=lnxn，两边取对数，我们得到

三、代换方法

1.三角代换

运用三角代换，可将差分方程中的分式或根式等化简，使问题便于求解。

评注:根据此类差分方程的特点，暗含某些三角公式的运算形式，应用三角代换后，可去除差分方程中的根式，类比公式即可得出所要求的通项公式。

根据此类方法，笔者编出以下题.

2.分式代换

运用分式代换，可以将复杂的差分方程转化为较简单的差分方程，以便求解。

根据此类方法，笔者编出以下题

评注:对于较复杂的差分方程形式，可将其用适当的分式代换，变为常见的差分方程形式予以解决。