是“巧合”，还是“必然”？

张琳

摘 要：课堂教学是一个动态的生成过程，每个课堂既是一个已知数，又是一个未知数，已知在于预设，未知则为生成。无论预设多么精彩，難免也会出现“意外”。要把课堂上即时生成的“意外”当作一种宝贵的课程资源来开发利用，切不可废弃。

关键词：解题方法;反思提高;对比探究;创新意识

在最近的一次课堂教学中出现了这样“奇怪”的现象：老师在检测学生关于点线对称问题的练习时，有位学生却展示出“怪异”的解答，过程中看不出蕴含的解题原理，而答案却是正确的。带着这个疑惑笔者果断放弃了原先的教学预设，以此为契机，引领学生进行了“刨根问底”式的探究.

一、问题提出

题目1已知点P（5，3），直线的方程为x-y+2=0，则点P关于直线l对称的点Q的坐标为_________。

多数同学运用了联立方程组的一般解法，但同学甲的解法却十分“怪异”。为表述方便以下称之为“特殊解法”.甲同学的解答如下：用点P（5，3）中的横坐标5代换直线l方程x-y+2=0中的x，解出y=7，得点Q的纵坐标7.同样用点P（5，3）中的纵坐标3代换直线方程x-y+2=0中的y，解出x=1，得点Q的横坐标1，即得点Q的坐标为（1，7）。

这到底怎么回事？为了让同学们对该类问题有更加清醒地认识，笔者对甲同学的创新精神给予鼓励，并发挥了同学们的主体功能，在全体同学们的积极参与下进行一系列的变式演算，多次进行尝试性的对比验证，看看最终展现在面前的结果究竟是什么.

二、对比验证

题目2把点P的坐标由（5，3）改为（-3，5），直线l的方程还是x-y+2=0，其它条件不变，通过一般解法与特殊解法这两种计算方法对比，得出点Q的坐标都是（3，-1），结果相同.得出验证结论：甲同学的计算结果正确。

题目3把直线l的方程x-y+2=0更改为x-y-3=0，点P的坐标还是（5，3），其它条件不变，通过两种计算方法的对比得出点Q的坐标都是（6，2），结果相同。得出验证结论：甲同学的计算结果正确。

难道甲同学的特殊解法真的是“必然”现象？直觉告诉我们，验证有待继续推进。

题目4把直线l的方程x-y+2=0更改为3x-y+3=0，点P的坐标还是（5，3），其它条件不变，通过两种计算方法的对比，甲同学得出点Q的坐标是（0，18），其他同学的答案则是（-4，6），出现了两种不同的结果.得出验证结论：甲同学计算结果的正确性首次出现了危机。

题目5把直线的方程x-y+2=0更改为x+2y-10=0，点P的坐标更改为（1，2），其它条件不变，通过两种计算方法的对比，甲

同学得出点Q的坐标是，其他同学的答案是（3，6），结果再次不同.得出验证结论：甲同学的计算结果仍然不正确。

探究活动进展到这里，已经可以对甲同学的“特殊解法”贴上否定的标签了，但在一些情形下，该解法所得出的结果又是正确的，所以对此问题的探究还不到草率划上句号时候，否则将会失去一次绝好的探究机遇，造成资源生成上的浪费。接下来我们急需知道的是：在什么情形下甲同学的特殊解法是可行的？于是笔者欣然决定引导学生继续“余勇追寇”，向更深层推进.

三、深入探究

下面用一般方法求出已知点关于已知直线（不垂直于坐标轴）对称的点的坐标。由于已知直线垂直于坐标轴时，甲同学的特殊方法无法实施，显然没有对比验证必要，以下探究仅针对已知直线不垂直于坐标轴时的情形。

令点P的坐标为P（x0，y0），直线的方程为Ax+By+C=0（AB≠0），点P（x0，y0）关于直线l的对称点的坐标为Q（x?，

y?），M为线段PQ的中点，易求点M的坐标为，代入直

线l的方程中，得整理得Ax?+By?+Ax0+By0+2C=0  ①

因PQ⊥l，得

整理得Bx?-Ay?-Bx0+Ay0=0    ②

①×A+②×B  得

①×B-②×A  得

所以点Q的坐标为.

用甲同学的特殊方法易求出点Q的坐标为.

要使得两种解答方法所得出的结果相同，必需且只需满足条

件

观察对比（*）式的左右结构，容易分析出：A2=B2 且AB≠0正是满足条件（*）的解.

探究接近尾声，真相大白，水落石出.

水落石出

自此，让我们回到问题之初的题目1至题目7中，惊奇的发现，题目1至题目5均满足条件“A2=B2 且AB≠0”，导致甲同学的计算结果正确;而题目6与题目7则反之。

在解决上述点关于直线对称的类似问题时，先观察系数A、B是否满足条件 “ 且”，若满足可直接运用特殊解法，否则只能采用一般方法.甲同学的特殊解法只能有条件地使用，不能无条件地推广。