函数极限求解方法研究

摘要：极限是《高等数学》中的一个重要概念，是研究《高等数学》的重要手段，同时也是微分学和积分学的基础，很多概念都是由极限来定义的，比如导数定义，定积分定义等等。而函数极限的计算灵活多变，本文以一元函数为例，梳理了一元函数极限求解的思路，并且对一元函数极限的求解方法进行了全面的归纳总结。

关键词：高等数学;一元函数极限;方法总结

中图分类号：O171 文献标识码：A   文章编号：1003-2177（2021）02-0085-03

极限是《高等数学》中的重要概念之一。極限思想是近代数学的重要思想，是《高等数学》的灵魂，贯彻《高等数学》始终。很多概念都是由极限来定义的，比如导数，定积分，反常积分等等。因此，理解极限思想和掌握求极限的方法是学习这门课程的基本要求。但函数极限问题类型比较多，求解方法也灵活多变，学生往往对极限这一问题感到束手无策。另外，我国现在开设《高等数学》课程的高校使用的教材普遍理论性比较强，并不适合学生自学，像极限这样灵活多变的问题也没有系统的归纳总结过，若教师上课是照本宣科式的教学模式，那学生对极限这样的问题更是一头雾水，当然思路混乱了。因此，鉴于这种现状，笔者结合多年的教学经验和实践总结了求函数极限问题的一般思路，并且对函数极限问题进行了分类，给出了不同类型函数极限的求解方法[1]。

对于一元函数求极限的题目，我们可以按照以下思路进行：

（1）先化简（主要指利用无穷小等价代换）;

（2）利用极限四则运算法则，将自变量趋向的数值代入函数表达式计算，若能直接计算出数值，则该数值即为此函数的极限值;

（3）在过程2中，若不能直接计算出结果，则一定会出现几种特殊情况，判断类型，找对应的求解方法。

1化简计算

如果题目可以找到合适的方法进行适当化简，那将会起到事半功倍的效果，可以大大缩短做题时间，减轻计算量，这里主要指的是无穷小等价代换。在基本的无穷小等价代换公式的基础上，我们更应该熟记这样一类无穷小等价代换：

□→0时：

①

②

③

□里面可以是单变量，也可以是一个表达式，只要□内的整体趋向于0，就可以进行无穷小等价代换。值得注意的是，无穷小等价代换只能用于乘法或者除法中，不能用于加法和减法中。

例1

====

本题中，x→0时ecosx是非零因子，可以直接计算出结果，经过这样一次适当的变形后，将e1-cosx-1等价代换成1-cosx，等价带换成，而1-cosx又可以带换成，这样就大大简化了题目难度，直接得出极限值。

2利用函数极限四则运算法则带值计算

函数极限四则运算法则：

若，，（这里的x→*指6种极限状态中的任意一种）则：

①;

②

③若，则

例2

===

注：函数极限四则运算法则有2个前提条件：①函数是有限项的和;②函数中每一项的极限都存在。这两个条件中任意一个不满足就不能使用极限四则运算法则。例如，当说明这个

表达式有无穷项求和，若忽略这个条件，则会得到0+0+

…+0=0.但事实上并不是这样，=

=。

3判断类型，找对应方法

在上一步中，若利用函数四则运算法则不能直接得出结果，则一定会出现以下7种特殊类型，我们称之为“未定式”。在以下过程中，若在乘法或者除法中出现极限不为0的因子，我们要先计算出来。

（1）“”型

方法：①因式分解，约分化简;②洛必达法则;③带根号的要先有理化;④利用重要公式的推广形式：。

例3

===

·在这里1+cosx是个非零因子，可以先计算出来为2。由于x→0时，ln（1+x）可以无穷小等价代换为x;x→0时x2为无穷小，为有界函数。所以在x→0时为0.采用该类型的第4种方法求解。

（2）“”型

方法：①分子分母同时除以跟变量有关的最大项;②洛必达法则。

例4

令t=-x，则x→-∞时，t→+∞

原式==

==1.

此题属于“”类型的极限，采用方法一比较简单，自变量x<0，所以先做一次换元，将自变量x转化为正数，分子分母所有项中跟变量有关的最大项为t，所以分子分母同时除以t。当t→+∞时，为无穷小量，sint为有界函数，所有。

（3）“I∞”型

方法：①“凑e”（凑重要公式的推广形式：

或）;

②“取e”（借助指数函数的性质：）

例5 =

而==， ∴原式=。

此题属于“I∞”类型，采用方法1求解要构造出重要公式的形式，□内应构造出cosx-1。而对指数求极限过程中，将cosx-1等价代换成，ln（1+x2）等价带换成x2，恰好直接就可以计算出结果， 比较简单，另外，此题也可以采用“取e”的方法来求解，具体做法可以参考下面两种类型。

（4）“00”型

方法：“取e”（借助指数函数的性质：）

（5）“∞0”型

方法：“取e”（借助指数函数的性质：）

对于第（4）和第（5）种类型的求极限，我们给出相同的求解方法，均为“取e”，需借助数指函数的性质，将原式变为以e为底的函数，然后再对指数进一步取极限。

例6

==

而=

===0 ∴原式=e0=1。

此题属于“∞0”类型求极限，首先将原式转化为以e为底的形式，在对指数求极限的过程中发现指数部分为“”型极限，用洛必达法则分别对分子和分母求导数即可求出指数部分的极限值。

（6）“0·∞”型

方法：将“0·∞”型转化为“”型或者型

例7 =

=2=2=。

此題属于“0·∞”的类型。将用公式变为，由于在x→1时是非零因子，要先计算出来为2，从而化简了计算难度，将原题目转化为“”型的极限，在用洛必达法则来求极限。

（7）“∞-∞”型

方法：①通分化简; ②倒代换。

例8 ===

===

=。

此题为“∞-∞”类型。先将原式通分并用2倍角公式化简，从而将原题目转化为“”类型的极限，然后再用2次洛必达法则来求极限。

在前面我们介绍过只有有限项和或者差并且每一项的极限都存在时才能使用极限的四则运算法则。若将有限项推广到无限多项和或差的极限问题时，又产生两种常见解题思路。

4夹逼准则

如果函数f（x），g（x）及h（x）满足下列条件[2]：

①当时，g（x）≤f（x）≤h（x）;

②，

则存在，并且等于A。

例9

分析：

原式可以写成，在上述不等式中，对左侧的部分求和，即=，从

而=，同理对右侧的部分求和，即=，从而=。由夹逼准则知=。

在采用夹逼准则求无穷项和的极限问题时要采取合适的方法，对原式进行适当的放缩，使原式恰好夹在极限值相等的两个函数之间。寻找合适的放缩方法需要一定的经验和技巧。若每项的分子或分母都相同时，通常可以寻找两边的最大值和最小值来建立不等式;若每项的分子和分母都呈一定规律变化时，也可以固定分子和分母之中的其中一个，通过放缩另外一项来建立不等式。总之，放缩无定法，还需在实践中不断探索和总结，才能找到便捷之路[3]。

5定积分思想

由定积分定义：=可知，将[a，b]换成[0，1]。将[0，1]平均分成n份，即得到=。

例10

==

===。

利用定积分思想求极限难度较大，综合性较强，需要学生对定积分定义有深刻的理解才能从容应对这类题目。通常情况下，若函数表达式是无穷多项求和的形式，并且每项分子次数均为0次或者1次，分母的次数都是2次，就可以考虑用定积分的思想来求解，确定准变量和，将原函数表达式构造出乘积的和式形式，从而求解这个简单积分即可。

《高等数学》课程中关于极限的类型和求解方法有很多种，本文只对高等院校教学中常见的一些类型及其求解方法进行归纳总结，其他方法不再赘述。希望能带给广大师生一点思考和探索。当然，数学的学习是需要不断思考和总结的，在不断的思考和总结中探索出新的方法和技巧，体会数学的美与乐趣。

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学（上）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]张天德，蒋晓芸.吉米多维奇高等数学习题精选精解（第一版）[M].济南：山东科学技术出版社，2010.

（责编：杨梅）

作者简介：谭畅（1987—），女，黑龙江鹤岗人，硕士研究生，助教，研究方向：非线性动力学。