有关除法竖式教学的深层思考与尝试

山东省东营市胜利第五中学 王霄燕

除法竖式的初步认识是小学数学二年级上册的教学内容，它看似是一个独立的知识点，与前面所学的加法、减法和乘法竖式的相关知识联系不大，是一个全新的式子。这个知识点对每一位学生来说都是一个很难跨越的难点，总是由初学时的茫然不解、困惑不已、无从下手、不断出错，到反复练习、不断纠正才能慢慢领会，这是一个非常困难的过程。为什么会出现这样的现象呢？有没有解决的办法呢？带着一系列的困惑，我对此进行了认真探究。

有资料表明，中国古代采用算筹来计算除法。用算筹来计算的除法竖式分三层，上层是商，中层是被除数（古称“实”），下层是除数（古称“法”），除数摆到被除数能够除的那一位之下，除完向右移动。这可能是除法竖式最早的一种表现形式吧！但是用算筹来计算的除法竖式只显示出了被除数、除数和商，也可以显示出余数，却无法体现出乘法计算和减法计算的过程。（如图1所示）

图1

到了17世纪，欧洲出现了竖式除法，经过逐渐演变和简化，形成了我们现在使用的方法。以“732÷6”为例，大致经过了如图2所示的四个阶段。

图2

通过分析与思考，不难发现除法竖式并不是一个全新的独立的竖式，它和前面所学的知识是紧密相连的，是建立在减法竖式和乘法计算基础之上的综合竖式，只是因为运算顺序和计算过程的需要，除法竖式的书写格式在不改变减法竖式的基础上，把除数放在了被除数的左侧，商写在了被除数的上方。由于教师对这一知识点缺乏足够的认识，没有弄清知识的前后衔接关系和内在联系，导致了教学中引导欠缺、教学学习生硬的情况，学生接受相关知识点比较困难。基于以上的学习与探究，我找到了针对除法竖式的教学依据和方法，重新进行了教学设计和大胆尝试。

一、复习减法竖式，巩固竖式的写法，为除法竖式教学做好铺垫

师：有11个苹果， 被小朋友分走了10个，还剩多少个？

同学们先口算：11-10=1（个），还剩下一个。

师：请同学们写出减法竖式。（学生在本子上写出减法竖式）

师：请同学们说一说，写减法竖式应注意什么？

生：要把原有的苹果数放在上面，分走的苹果数放在下面，而且必须做到相同数位对齐，然后再相减。

师：那么横线表示什么呢？（学生回答）对，在竖式中都是用一条横线来表示“等号”。

师：学会了减法竖式，除法竖式怎样写呢？和它有关系吗？我们一起来研究一下。

师：有11个苹果，平均分给2个小朋友。每个小朋友能分到几个？还剩下几个？

算式是：11÷2＝5（个）……1（个）。那么计算过程是怎样的呢？

生：先想，每人分5个，两个同学一共分走了10个，2×5得10。再算，从11个里面去掉分走的10个，最后还剩1个。

思考：在这个过程中，一共有几步计算？

生：两步计算，第一步是乘法计算，第二步是减法计算。先算2×5=10，再算11-10=1。

问题：那么剩下的这1个苹果还能继续分吗？想一想，先讨论，再汇报。

生：当然还可以继续分，每人还能分到半个苹果，所以每人一共分到了五个半苹果。

师：但是半个苹果怎么写呀？就写“半”吗？

师：因为我们现在还没有学半个苹果怎么表示，所以剩余的一个苹果就暂时不分了，以后学了再继续分。

二、学习怎样用竖式来计算除法

学生先自主探究，再集体反馈，展示不同算法。当发现无法用旧知迁移的方法进行学习和思考时，我继续带领学生一起研究、讨论除法竖式的写法。

我们先写出被除数“11”，那么除数2写在哪里呢？

（1）写在11的下面可以吗？（讨论：减法竖式中减去10是要写在下面的，所以下面的位置要留给减10用，不能写在下面）

（2）那么写在右面可以吗？（讨论：剩余的一个苹果，将来还要学习继续分，继续分时要写在右面。因为越往右，计数单位越小，所以右面也不可以写）

（3）我们只好再看看左面了，发现左面是可以写的。同学们一起确定了“除数可以写在被除数11的左面”。

为了把除数和被除数分开，数学中常用一条左斜线“/”来实现，但是在除法竖式中，斜线很容易和数字“1”混淆，所以就把这条左斜线写成了弯的“丿”，11除以2的竖式就这样写：“2丿11”，然后我们就可以进行计算了。

第一步，11÷2先商5，得数5写在哪里呢？

学生：下面、右面、左面都不能写了，最后只有一个选择了，就是写在“上”面。

因为得数5是一位数，所以要在被除数个位的上面对齐写5。写好后和学生一起把竖式读一读，这时发现还缺一个“等号”。

“等号”怎样写呢？学生猜测，大胆提出自己的想法。

我们仍然用一条横线来表示，因为得数写在了上面，所以就把它划在11的上面。（在被除数11的上面，用尺子画出一 条横线）

然后和学生一起把写出的这部分竖式读一读：11除以2商5……（以便加深记忆和理解）我们发现，到这里，计算还没有完成。

第二步，继续计算，两个小朋友一共分走10个苹果，2×5得10，怎样表示呢？

学生：因为要从11里面减去10，所以在11下面减10。和以前学的一样，用竖式计算11减10等于1。说明：在这里，为了让竖式更简洁，“减号”可以省略不写。

完成了竖式之后，学生能明确地看到：商是5，余数是1，分走了10个，还剩下1个。乘法计算和减法计算的过程以及最终的结果都呈现在了这个除法竖式中。

当师生通过共同探究、讨论完成了竖式计算之后，学生发现除法竖式并不难懂，就迫不及待地边说边写，自己把除法竖式写了出来，感到满满的自信，体会到了成功的喜悦，再经过几次练习，学生基本能当堂掌握除法竖式的书写和计算方法了。这次教学尝试感觉非常顺利和成功，学生面对除法竖式再也没有茫然、困惑和畏难的感觉了。

在这里，我认为除法竖式知识的生长点应该是减法竖式，以减法竖式为旧知，在此基础上构建除法竖式，并且还涉及了将来可以继续再往下分，会有更小的计数单位产生，要往个位的右面排，所以为后面知识的学习也做了相应的渗透，使得新旧知识实现了自然结合，学生不再是生硬地被动接受，能够感到“新知并不全是新”，而是“新旧结合，前后有联系”。

通过课堂教学的探索与实践，我发现只要符合学生的认知特点，顺应学生的思维发展，弄清每个知识点的来龙去脉，使学生能够理解和认识其中的规律，教学难点也就迎刃而解了。