趣味数学——寻找完全数

陈新龙

在神奇的数学王国中，一些特殊的数字有自己的专属别称，比如水仙花数、阿姆斯特朗数、回文数……你可以通过上网查阅找到这些数字中蕴含的秘密，并用程序快速找到它们。今天我就用Scratch来研究一下完全数。

所谓完全数，又称完美数或者完备数，如果一个自然数恰好等于它本身以外的所有因子之和，那么这种数就叫做完全数。要认识完全数首先得理解因子这个概念，因子就是所有可以整除这个数的数，不包括这个数自身。而因数就是所有可以整除这个数的数且包括这个数自身。假如A*B=C（A、B、C都是整数）那么我们就称A和B是C的因子，注意只有两个因子都为整数时，此关系才成立。

6是最小的完全数，除去它自身的因子是1、2、3，三个因子1+2+3=6，刚好是该数的本身。而数字15的因子有1、3、5、15四个数字，除去15本身1+3+5=9，所以15不是完全数。现在了解了原理之后我們一起寻找1000以内的完全数吧。计算机求完全数最简单的方法就是使用穷举法，列出每个自然数，求出各因子的和，如果这个和等于该自然数，那么这个数就是一个完全数。

首先创建三个变量：“自然数”包括1-1000之间所有的自然数;“数字n”寻找每个自然数的因数过程中的除数，如果自然数能被数字n整除，那么数字n就是这个自然数的一个因数;“因子和”不包括它本身的所有因子的和。还要创建一个完全数列表用于存放找到的完全数。

整个程序采用双重循环的结构，外层重复执行到自然数等于1000时跳出循环，代表自然数从1-1000取值的过程，内层循环用于寻找完全数的过程，在内层循环中加入判断语句，如果自然数除以数字n的余数等于零（即整除时），将对应的因子进行累加。如果最终得出的因子和等于该自然数时说明我们找到了一个完全数，将结果添加到列表中。最终列表中的结果为6、28、496三个结果。如果我们耗费更长的时间，能找到完全数还有8128、33550336。截至2018年，相关研究者已经找到51个完全数。

其实在神奇的数学王国中还有很多类似完全数这样有趣的数字，后期我也会继续和大家分享更多有趣的内容包括北斗七星数、九九重阳数……