基于图像灰度变换的OTSU阈值优化算法

娄联堂，何慧玲

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

图像分割是图像处理的重要环节，目的是要将目标区域与背景分离. 在图像分割中，当图像目标与背景像素的灰度分布十分明显时，可以采用适用于整个图像的单个阈值. OTSU算法[1]是图像分割中阈值选取的常用算法，该算法对双峰直方图图像有较好的效果，当原图像直方图为单峰分布或接近单峰分布时，OTSU算法的分割效果并不理想，此时可先对图像作灰度变换，如直方图均衡化[2]等，然后确定分割阈值. 但是，对于灰度分布极不均匀的图像，如X射线焊缝图像，此方法没有较好的分割效果. SUN等人提出了一种基于直方图规定化的动态灰度变换算法，人为地修正直方图的形状，改变图像灰度分布[3]. 此方法虽然可使原图像直方图变为双峰直方图，但实际操作过程中这种特定的直方图较难确定，从而影响分割结果. 文献[4-6]研究了分段灰度变换算法，该方法对路面混凝土裂缝分割效果好，但对焊缝裂纹的分割效果不理想. 此外，图像分割也可采用机器学习方法[7]，其准确率可以达到90%，然而此方法依赖大量的样本学习，耗时较长.

本文提出一种基于图像灰度变换的OTSU阈值优化算法. 通过引入灰度变换函数，在图像灰度变换与图像分割之间寻求一个最佳策略，找到在最大类间方差的意义下适用于X射线图像裂纹缺陷分割的变换函数及优化阈值，给出相关理论结论及实验结果. 在此之前，先对OTSU算法进行简单介绍.

1 一般灰度变换下的图像分割

1.1 传统OTSU算法

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

最佳阈值为：

(10)

当目标区域大于全图像的30%时，传统OTSU算法的分割效果接近最优值.当目标的相对区域减少时，OTSU算法的效果迅速降低[8].由于X射线焊缝图像中，裂纹只有几个像素，所占面积小，且裂纹与焊缝像素灰度分布不均匀，对比度低、边缘模糊，因此利用传统的OTSU算法不易获得理想的结果，但可以利用OTSU算法对X射线图像进行二值化，提取感兴趣区域[9]，即焊缝区域，选取如图1的两幅X射线裂纹缺陷图像进行实验，利用OTSU算法将其二值化，结果如图2所示.根据像素分布情况及裂纹缺陷可能存在的位置特征，得到图像感兴趣区域(其中对于原始图像(b)感兴趣区域为图2(b)中交叉的横向和纵向两部分，由于实验过程中未在横向部分检测出缺陷，故省略此部分的讨论)，以提高检测效率，缩短计算时间，如图3所示.

图1 原始图像Fig.1 Original image

图2 利用OTSU方法二值化处理后的结果Fig.2 The result of binarization by OTSU method

图3 感兴趣区域Fig.3 Region of interest

1.2 一般灰度变换下OTSU算法的极值问题

在图3所示的X射线焊缝图像中，目标与背景不是双峰分布，利用OTSU算法分割效果不理想，为此先对图像作灰度变换，变换函数f(i)满足以下条件:

(1) 保证输出灰度范围与输入灰度范围相同，即f(i)是{0,1,…，L-1}到{0,1,…，L-1}的一个映射；

(2) 保持灰度级的次序，防止灰度反变换时产生人为缺陷，即f(i)单调递增(或单调递减，本文只考虑单调递增的情况)；

(3)f(0)=0,f(L-1)=L-1.

可得以下命题：

证明基于OTSU算法，可得到灰度变换后图像相应的累积概率，用P0(T,f)及P1(T,f)分别表示为：

(11)

P1(minf-1(T+1)-1),

(12)

其中maxf-1(T)=max{i|f(i)=T};minf-1(T)=min{i|f(i)=T}.由灰度变换函数f(i)的性质知：

maxf-1(T)=minf-1(T+1)-1;

P1(T,f)=1-P0(T,f)=1-P0(maxf-1(T)).

类似地可以得到灰度变换后两类相应的平均灰度μ0(T,f)、μ1(T,f)及方差σ0(T,f)、σ1(T,f)等，其中类间方差表示如下：

(13)

最佳阈值为：

(14)

此时最佳阈值T*与灰度变换函数有关.

(15)

则μ(T,f)=

(16)

(μ0(T,f)-μ1(T,f))2P0(T,f)(1-P0(T,f)),

(17)

命题1得证.

在命题1中只对变换函数给出了基本的限制条件，得出的结论是平凡的，因此为了得到理想的分割效果，需针对具体图像增加额外的限制条件.

2 分段灰度变换下的OTSU阈值优化

为了分割X射线图像中的裂纹缺陷，防止出现命题1中的极端情况，添加如下限制条件：

(4)f(x)≥x或f(x)≤x，

可得以下命题：

证明不妨假设f(x)≥x，记T2=maxf-1(T)，

(μ0(T,f)-μ1(T,f))2P0(T,f)(1-P0(T,f))=

P0(T,f)(1-P0(T,f))≤

P0(T,f)(1-P0(T,f))=

((L-1)-μ0(T2))2P0(T2)(1-P0(T2)).

(18)

命题2相当于对图像部分灰度进行拉伸，适用于图像整体偏暗的情况.同理，可求出f(x)≤x时，相当于对图像部分灰度进行压缩，适用于图像整体偏亮的情况.

由上可知，OTSU阈值与灰度变换函数有关，如果选择的灰度变换函数不同，即使是同一图像也会得到不同的结果.因此，选择灰度变换函数应该根据图像的性质和处理的目的来决定.

为了增强图像的局部特性，准确地提取裂纹缺陷，本文采用分段灰度变换，将整个图像灰度分为目标段、过渡段和背景段三个部分，对各部分进行不同的处理——拉伸目标段、保持过渡段、抑制背景段.寻求在最大类间方差的意义下适用于X射线图像裂纹缺陷分割的变换函数及优化阈值，达到增强图像分割效果的目的.本文将灰度值高于阈值的像素作为背景，低于阈值的像素作为目标.

(1)f(i)是{0,1,…,a}到{0,1,…,a}的一个映射,f(i)≥i；

(2)g(i)是{b+1,…，L-1}到{b+1,…，L-1}的一个映射,g(i)≤i；

(3)f(i)、g(i)单调递增；

可得以下命题：

(19)

记T2=maxF-1(T)，同理有：

(1)当0

(1-P0(T2))，

(20)

(2)当a≤T2≤b时，

(1-P0(T2))，

(21)

(3)当b

P0(T2)(1-P0(T2)).

(22)

命题3得证.

3 实验结果与分析

裂纹图像感兴趣区域一般是长条形状(见图3)，由于裂纹缺陷较细，为防止图像过大或过小造成实验的不准确性，需选择合适大小的窗口对图像进行二值化处理，文中通过遍历长条形状感兴趣区域来确定二值化处理的窗口. 通常情况下，裂纹长和宽在一定范围内，记裂纹的包围矩形最短边长为l(文中实验l=3)，通过以下方式确定分割窗口：长条形状感兴趣区域为横向(纵向)时，窗口宽度(高度)为原始感兴趣区域的宽度(高度)，且不超过1000个像素，高度(宽度)为原始感兴趣区域的高度(宽度)的1/2，并每隔l个像素点从图像的左上角开始以纵向(横向)扫描的方式遍历，分别对这些窗口对应的图像进行二值化处理，由此实现裂纹图像的分割.图4给出了传统OTSU算法与本文算法的实验结果，结果表明，本文基于图像灰度变换的OTSU阈值优化算法成功地分割出了裂纹缺陷.

(a)图3(a)经传统OTSU算法处理后的二值化图像 (b) 图3(a)经OTSU阈值优化算法处理后的二值化图像

其中对图3(a)、图3(b)作的灰度变换分别为：

表1给出了传统OTSU算法与本文基于图像灰度变换的OTSU阈值优化算法对应的阈值及最大类间方差. 结果表明，OTSU阈值优化算法得到的图像类间方差较大，且两组图像优化阈值均小于传统OTSU算法下的分割阈值，这是由于裂纹灰度值比焊缝灰度值大，而传统OTSU算法将裂纹错分为焊缝，导致阈值偏大.

表1 两种算法下的相关数据对比Tab.1 Comparison of related data under two algorithms

4 结语

本文针对X射线图像裂纹缺陷分割问题，通过引入灰度变换函数，并对变换函数适当地加以条件限制的情形下，得到了OTSU阈值优化问题的理论解. 命题1和命题2的结果表明:存在一种灰度变换函数，使类间方差达到最大. 命题3的结果及实验数据表明：存在一种分段灰度变换函数，使OTSU算法类间方差达到最大，并能较好地分割裂纹缺陷.