基于机制设计的价格歧视最优定价问题

高霁云,郭永江

(北京邮电大学 理学院，北京100876)

对于服装、鞋子等应季销售的商品而言，进入销售淡季会引起顾客的减少.这就导致了商家在销售商品的时候，会面临着商品过季而库存过剩的情况.但如果商家在淡季仍然采取旺季的销售定价，那么顾客的购买选择过于单一，降低了顾客的购买欲望.如何采取价格歧视的销售策略，以达到薄利多销、最大化收益的效果，是商家的首要问题.

本文考虑的顾客为策略型顾客，该类顾客在观测到商家的定价策略后，会得出自身购买商品的效用，并采取最优的选择.Wang[1]解决了亏损厌恶型企业向具有风险偏好和价值递减的策略型消费者销售季节性产品的联合库存与定价决策问题.Kinshuk[2]解释和比较最后时刻直接向策略型消费者销售与通过不透明中介销售的好处.Aviv和Pazgal[3]给出当卖家错误地认为顾客是非策略型时，潜在收入损失约为20%.

价格歧视(price discrimination)指商品或服务的提供者在向不同的接受者提供相同等级、相同质量的商品或服务时，在接受者之间实行不同的销售价格或收费标准.Bang[4]研究了在贝叶斯规则下，卖方反而给低类型的买家提供更高类型的商品，解释了这种反向价格歧视存在的可能性.Mussa[5]和Riley[6]解决了在不完全信息的环境下，个人约束中的价格歧视问题.价格歧视区分为三个等级.本文所采用的，是典型的三级价格歧视，即卖方能够观察到买方的支付意愿，并向高估值买方收取更高的价格.

激励相容约束(incentive-compatibility constraint)，以下简称为IC条件，和个人理性(individual rationality)，以下简称为IR条件，属于不完全信息静态博弈中机制设计问题，是当卖方在出售商品时，选择和设计的一种博弈规则.激励相容约束在存在道德风险的情况下，如何保证拥有信息优势的一方(买方)按照契约的另一方(卖方)的意愿行动，从而使双方都能趋向于效用最大化.个人理性是指买方仅依据自身状态和条件表现出来的符合某种逻辑或效用规定的行为方式.Acharyya[7]在不限制成本函数，消费者类型分布以及市场覆盖范围的情况下，垄断者的机制设计并不能使顾客分别选择自己的类型.本文也将采取这种机制设计，以达到对战略型顾客分类的目的.

关于对多类型顾客的综合考量，本文选取了高低两种类型顾客进行具体处理.Hahn[8]提出了一种基于消费者损失厌恶的价格歧视理论.卖方在两种消费者了解其支付意愿之前会提供捆绑菜单，并根据消费者购买效用指定相应的价格歧视策略.Yin[9]提出了一种零售商的博弈论模型，该零售商通过使用显示全部或显示一个两种库存显示方法之一，在有限的销售季节内向高低两种类型顾客销售有限数量的产品库存.结合前人的研究发现，采取高低两种类型的顾客选取方法是可行的.

在报童模型中，需求函数一直是一个非常难以解决的问题.Perakis[10]在分别假设需求分布中各个条件已知的情形下，得出最小后悔订货量，当分布函数有限定支持或分布匀称时，得出的最小后悔订货量和在市场需求满足均匀分布函数情形下的报童模型的传统最优订货量是相一致的.这为模型假设市场需求分布满足均匀分布函数提供了理论依据.在实际生产中，产品生命周期较短，可根据以往需求量推断大致需求区间的产品.因此本文在后续分析中，选取了均匀分布作为需求函数，进一步了简化模型结果.

本文也参考了报童模型(newsvendor problem)Porteus[11]的一些基本假设.Lariviere和Porteus[12]对报童的批发价格条件进行了较为详细的论述.之后Lariviere[13]研究了数量弹性条件，认为在该条件下分销商会更加努力预测市场需求，以期增加他们的期望利润.Nicholas[14]解决了决策者在一个销售周期内库存多少易腐产品的问题，并研究了一个同时设定库存数量和销售价格的报童问题的推广.

1 模 型

本文将介绍基础定价模型，模型以一个带有甩卖的报童模型为基础，由一个风险中性的垄断者和两种类型的消费者组成.垄断者向消费者销售一种商品，以寻求利润最大化.

在模型中，商家订购的商品边际成本恒为常数c，即每订购一单位的产品带来的总成本的增量为c.在0时刻，商家订购Q个单位商品，并决定好定价策略，在销售前，消费者并不知道商家的定价.在1时刻，垄断者对商品进行第一次销售，商品正属于销售旺季，垄断者决定以高价pH进行销售，此时商品品质较高，为qH.在2时刻，垄断者对商品进行第二次销售，此时已经进入销售淡季，垄断者决定以低价pL进行销售.随着时间推移，商品品质产生了下降，变为qL，qL≤qH.最后在3时刻，垄断者对剩余的商品以价格s进行清仓甩卖，且此次甩卖必然能将商品全部卖完.商家的时刻图如图1所示.

图1 时刻图

对于消费者而言，假设有一个单位的消费者，其类型θ(θ>0)衡量了消费者对商品品质的看重程度，θ={θL,θH|P(θ=θH)=α=1-P(θ=θL)}且θL≤θH，即高类型消费者的比例为α，低类型消费者的比例为1-α，α∈(0,1).消费者购买一个单位的商品获得的效用：商品的固定价值以及消费者对商品品质的认知附加值，即v+qθ.对于在2时刻购买商品的消费者而言，由于需要等待销售旺季过去，所以需要额外支付等待成本，设为W>0.不同类型的消费者在1、2时刻购买商品的效用如表1所示.

表1 不同顾客在不同时间购买商品的效用表

其中：{θL,θH,α,qL,qH}为共同知识.

设顾客的需求D是非负随机变量，分布函数为F(·)，概率密度函数为f(·).商家的总利润如下：

π(Q,PL,pH)=N1pH+N2pL+N3s-cQ

(1)

π(Q,pL,pH)包含四项，第一项是商家以价格pH卖掉的商品所获得的收入，时刻1卖掉的商品数量N1=min(αD,Q)，第二项是商家以价格pL卖掉的商品所获得的收入，时刻2卖掉的商品数量N2=min[Q-min(αD,Q),(1-α)D]，第三项是商家以价格s清仓所获得的收入，时刻3卖掉的商品数量N3=Q-min(αD,Q)-min[Q-min(αD,Q),(1-α)D]，即清仓前剩余的商品数量，最后第四项是生产这批商品的成本.

现在可以得出目标函数，即商家的期望利润：

[P]∶Π=E[π(Q,pL,pH)]

(2)

本文考虑以下两个问题：1)确定商家的最优定价；2)确定商家的最优订货量.

2 主要结论

此部分给出了商家在价格歧视策略下的最优定价，最后给出了歧视定价的最优订货量.考虑价格歧视，商家针对不同类型顾客进行定价.对于顾客而言，必须满足激励相容约束和个人理性.激励相容约束是指顾客倾向于购买与自身类型相匹配的商品，如高类型的顾客倾向于购买高品质、高价格的商品.个人理性是指每个顾客都有买与不买的自由，这个条件保证了每种类型的顾客可以接受他所对应的商品类型.因此，可以得到不同类型顾客的IC、IR条件：

v+θLqL-pL-W≥v+θHqL-pH

(3)

v+θHqH-pH≥v+θHqL-pL-W

(4)

v+θLqL-pL-W≥ 0

(5)

v+θHqH-pH≥0

(6)

其中：式(3)、(4)对应了低、高两种类型顾客的IC条件，式(5)、(6)对应了低、高两种类型顾客的IR条件.式(3)指对于高类型的顾客而言，购买低价格低品质的商品所获得的效用要不低于购买高价格高品质的商品.式(4)的含义与式(3)类似，是针对低类型的顾客，令其购买高价格高品质的商品.式(5)是指低类型的顾客可以接受低价格低品质的商品，即购买这种商品的效用不小于0.与之对应的高类型顾客限制条件，可得式(6).参数还需要满足以下条件：

s0

(7)

定理2.1(歧视定价策略下的最优定价).商家采取价格歧视的定价策略的最优定价为

(8)

证明：由式(4)以及θH≥θL可得

θHqH-pH≥θHqL-pL-W≥θLqL-pL-W

因此可以提高pH而不会破坏IC条件，增加pH直至式(4)取等号，可得

下证式(3)、(4)在上述条件下恒成立：

商家采取定理2.1的定价策略，那么就可以将顾客分为高、低两种类型，并且使高类型的顾客在时刻1购买高价格高品质的商品，使低类型的顾客在时刻2购买低价格低品质的商品.

定理2.2(最优产量一定存在).当需求D满足一般分布F(·)时，必然存在一个最优订货量Q*，使得商家的利润最大.

证明：对目标函数[P]进行分析

Π=E[N1pH+N2pL+N3s-cQ]

其中：N1=min(αD,Q)，N2=min[Q-min(αD,Q),(1-α)D]，N3=Q-min(αD,Q)-min[Q-min(αD,Q),(1-α)D].

对Π关于Q求一阶偏导：

F(Q)](pL-s)+s-c=[1-F(Q-α)]pH+

[F(Q/α)-F(Q)]pL+sF(Q)-c

对Π关于Q求二阶偏导：

由于一般分布的不确定性，这里很难给出最优订货量Q*的显性表达式.因此，接下来的命题中，本文以均匀分布为例，得出Q*并分析其简单性质.

命题2.1(需求函数为均匀分布下的最优订货量).当需求D是区间(a,b)上的均匀分布时，最优订货量

(9)

证明：因为D～U(a,b)，所以

将定理2.1的最优定价代入，可以得到的最优定价：

运用一个数值算例简单验证在上述情况下，即需求函数满足均匀分布，此时的商家期望利润与订购量之间的关系.假设前文的参数中，a=0,b=0,v=θL=qL=1,θH=qH=2,s=W=1/2，可以得出函数图像，见图2.

图2 Π与Q的函数关系

发现函数有且只有一个极大值点，即Q=18/31.将参数值代入命题2.1，所得到的Q*与极大值点相同，因此Q*的确是最优订货量.

结合上述定理结果，可以得到如下性质：

性质2.1当高类型顾客比例α越大时，商家倾向于订购更多的商品.

证明：显然最优订购量Q*随着α单调递增，易证.

高类型的顾客所占的比例越高，则商家的订购量也就越高，因为商家需要最大化自身的利润，那么尽可能的多销售pH价格的商品是必然的.而以pH卖掉的商品数量N1=min(αD,Q)，由于α的增大，商家为了使N1整体增大，也会同时增加订购量Q.因此可以发现，高类型顾客的比例增大时，同时扩大订购量是符合商家利益的.

性质2.2商家销售的商品质量越高，商家越倾向于订购更多的商品.

证明：运用数值算例验证这一性质.假设前文的参数中，a=0,b=0,v=θL=1,θH=2,s=W=1/2.

首先看qL与Q*的关系.不妨设qH=2，得图3(A)的关系图，可以发现qL越大，Q*的值也就越大，也就是说过季商品的品质越高，商家的订购量越大.接着看qH与Q*的关系.不妨设qL=1，得图3(B)的关系图，可以发现qH越大，Q*的值也就越大，也就是说当季商品的品质越高，商家的订购量越大.因此可以得出一个结论，当商品的总体品质越高时，商家更倾向于订购更多的商品.

图3 商品品质与Q*的关系

3 结 语

随着生产力的不断进步，同一种商品往往会有品牌、质量的贵贱之分.面对不同类型的商品，顾客的选择开始具有策略性.而贫富差距的出现，也导致了顾客产生了分化.面对策略型顾客，如何最大化自身利润，将是商家面临的巨大挑战.本文所考虑的，就是在两种顾客的情况下，商家如何采用歧视定价；继而进一步考虑商家的订货量，以获得最大的销售利润.

致谢：本文受国家自然科学基金面上项目：基于流逼近的排队网络的渐近震荡和优化分析(11871116)资助.