根据问题条件，探求运算方向

高思远

【摘要】初中生常常会发生这样的情况：平时做题不会，有人点拨一下他就会，在考场上无人点拨时就凭经验做题，而无解决题目的方法和方向，最后导致解不出题，但出了考场有人一提示就恍然大悟.解题的价值不仅仅在于求出答案，而在于弄清“我是怎么思考的？”“为什么要这样做呢？”教师要让学生从技能向能力发展，而解决问题时分析法和综合法是不错的方法.

【关键词】分析法;综合法

初中生常常会发生这样的情况：平时做题不会，有人点拨一下他就会，在考场上无人点拨时就凭经验做题，而无解决题目的方法和方向，最后导致解不出题，但出了考场有人一提示就恍然大悟.解题的价值不仅仅在于求出答案，而在于弄清“我是怎么思考的？”“为什么要这样做呢？”教师要让学生从技能向能力发展，而解决问题时分析法和综合法是不错的方法.

一、什么是分析法和综合法

例1 如图1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC， AM⊥BC，垂足为 M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形 ABCD 是菱形.

从要解决的问题出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）为止，如要证明：P→Q（四边形ABCD→菱形）

Q←P1→P1←P2→P2←P3→…→得到一个明显成立的条件

我们把这种解法称为分析法.

从已知条件、定义、定理等出发，经过推导论证，最后得出所要证明的结论成立，如要证明：P→Q

P→Q1→Q1→Q2→ Q2→Q3→ … →Qn→Q

我们把这種解法称为综合法.（初中所学的证明都是按照此方法进行书写的）

二、运用分析法和综合法解决问题

在数学学习的过程中，“题海战术”是不可取的.数学教育家李士锜有研究结果表明，通过“题海战术”达到解题的熟能生巧后，也可能导致“熟能生笨”.因此，如何让学生学会思考问题，让学生在精练中提升解题能力，教会学生思考问题的方法就显得尤为重要.

例2 已知在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠B=∠D， 过点A 作AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，若CF=2，CE=5，四边形 ABCD的周长为 28，求 EF的长度.

解题分析 求 EF的长度，先观察EF落在哪个基本图形中， 方向一：△EAF;方向二：△ECF.

已知CF=2，CE=5，先试着考虑方向二.那么△ECF 是怎样的三角形？

若EF 求出是定值，则此三角形为定三角形，∠C一定是特殊角，则∠B一定是特殊角，从而找到解题思路：△ABE 与△ADF相似.

此题可利用分析法并借助基本图形探求运算方向.用分析法思考问题可以让学生大大提高解题能力，减少学生碰运气做题，或者无思路的情况，也解释了为什么要这么做.

在解决问题时，有时不能把分析法和综合法完全割裂开.在一个命题的论证或一个问题的解决中，往往同时运用这两种方法，有时甚至交错使用.在分析问题时，我们还常会用到合情推理中的“猜想”，但在书写的过程中，每一步的推理必须是严密的逻辑推理（即有根有据）.

例3 在等边三角形ABC中，以BC为弦的⊙O分别与AB，AC交于点D和点E，点F是BC延长线上一点，且CF=AE，连接EF.

（1）如图3，当BC为直径时，判断直线 EF与⊙O的位置关系，并说明理由;

（2）如图4，EF与⊙O交于点 G，EF=3，BF=6，求BC的长.

解题分析 第（1）小题，考虑到直线 EF与⊙O有公共点 E，所以直线 EF与⊙O的位置关系只可能是相交或相切，那么连接 OE，求出∠OEF的度数即可解决问题.

考虑到BC是直径，所以连接 BE，可以得到∠BEC=90°，再根据等腰三角形、等边三角形的性质，又可以得到∠ABC=∠ACB=60°，∠EBC=30°，AE=EC=FC.进一步求得∠OEF=90°，则可判断直线 EF与⊙O相切.

第（2）小题难度较大，其第一个关键点在于：能否根据第（1）小题中的特殊情况获得BE=EF的合理猜想，因此，本题在设计上是引导学生运用从特殊到一般的方法去探究问题，即特殊情况下所用的方法和获得的结论可以为一般情况提供猜想，使得一般情况的研究方向更为明确.如果直接从一般情况入手，显然对学生的运算能力、空间观念和推理能力等的要求非常高，学生需要具备熟练应用分析法和综合法去分析问题和解决问题的能力.考虑到求BC的长，显然需要求出⊙O 的半径和圆心角∠BOC的度数或圆周角∠BEC的度数.如果学生能获得BE=EF的猜想，就容易根据勾股定理的逆定理得出△BEF是等腰直角三角形，从而得到∠BEF=90°，∠EBF=∠F=45°，∠BEC=75°，那么连接 BG，可得出BG是⊙O 的直径，最后可求得BC的长.

其第二个关键点在于：如何证明 BE=EF？

法一 依据试题条件和图形直观，可猜想：△ABE≌△ECF（显然是不可能的）或△BDE≌△ECF.要证△BDE≌△ECF，只要证得 BD=CE，CF=AE=DE，∠BDE=∠ECF即可，连接 DE，BE，

容易证得△ADE 是等边三角形，即可得到 CF=AE=DE，BD=CE，∠BDE=∠ECF=120°.

法二 依据试题条件和图形直观，可得到BE=CD，并猜想四边形 DEFC是否为平行四边形. 连接 DE，BE，CD，

容易证得△ADE 是等边三角形，即可得到∠ADE=∠ABC=60°，CF=AE=DE，再推出 DE∥CF，

则四边形DEFC为平行四边形，从而得到EF=CD=BE.

数学问题的解决有时并不是很难，关键是平时在做题后要反思解题过程：解决问题的过程中，你是如何思考和分析的？分析解题思路时有何特点？为什么要这样想？结合平时做过的类似题型，归纳出思考过程的共性：分析法和综合法思考问题.数学学习是个动态过程，要提高教学质量，教师就要教学生思考问题的方法——分析法和综合法，才会使学生的数学能力得到较快提升.

【参考文献】

[1]刘娟.发展四种能力，提升复习质量：基于能力培养的初三数学总复习思考[J].数学教学通讯，2017（29）.

[2]郑志强.基于《初三数学总复习学案》的高效课堂实证研究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（10）.

[3]曹建英，唐珺.构建网络 提炼方法 关注解题：初三数学基础复习课构成[J].科学大众（科学教育），2018（07）.