空间直线与平面的交点

朱鹏先 项巧敏

【摘要】本文致力于研究空间解析几何中直线与平面的交点问题，探讨直线方程分别是对称式和一般式的情况下，该直线与平面的交点坐标，并将求交点的方法应用到求点在平面上的投影.

【关键词】直线;平面;交点;投影

引 言

在本科高等数学的教学中，空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本文着重介绍了直线和平面的定义，直线和平面的方程，直线与直线、直线与平面的位置关系，但是直线与平面的交点问题涉及的并不多.本文将对直线与平面的交点问题进行归纳总结，给出交点坐标公式，同时将上述结果应用到求点在平面上的投影.该问题的研究不仅拓展了空间解析几何的教学内容，同时为考研升学的同学提供知识储备.

一、预备知识

定义1 设M0（x0，y0，z0）是平面Π上一已知点，n=（A，B，C）是它的法向量，则方程

A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0（1）

称为平面的点法式方程.

将方程（1）化简，得方程

Ax+By+Cz+D=0，（2）

则称方程（2）为平面的一般式方程.

定义2 方程组

A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，

称为直线的一般方程.

定义3 设空间直线l过定点M0（x0，y0，z0），且平行于非零向量s=（m，n，p）（向量s称为直线l的方向向量），则

x-x0m=y-y0n=z-z0p（3）

称为直线l的对称式方程，也叫作直线l的标准式方程.

在方程（3）中，如果令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t（-∞

x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt

叫作直线l的参数方程.

二、主要结果

1.情形一：直线方程为对称式

命题1 设直线l的方程为x-x0m=y-y0n=z-z0p，平面Π的方程为Ax+By+Cz+D=0，则

（1）当Am+Bn+Cp=0，即s⊥n时，直线与平面平行，无交点，其中，s=（m，n，p）为直线l的方向向量，n=（A，B，C）为平面Π的法向量.

（2）当Am+Bn+Cp≠0，即s=（m，n，p）与n=（A，B，C）不垂直时，此时直线与平面有交点P（x，y，z），且满足

x=x0-m（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp，

y=y0-n（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp，

z=z0-p（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp.（4）

证明 （1）结果显然可见.

（2）令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t，-∞

x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt.（5）

将方程（5）代入平面方程Ax+By+Cz+D=0可知，

A（x0+mt）+B（y0+nt）+C（z0+pt）+D=0.

从而解得t=-Ax0+By0+Cz0+DAm+Bn+Cp，将t代入方程（5），可得

x=x0-m（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp，y=y0-n（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp，z=z0-p（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp.

故原结论成立.证毕.

例1 判断直线l：x1=y+1-1=z-22与平面Π：2y+z+1=0的交点个数.

解 已知直线l的方向向量s=（1，-1，2），平面的法向量n=（0，2，1）.

因为1×0+（-1）×2+2×1=0，所以s⊥n.

故有直线与平面平行，无交点.因此，交点个数为0.

例2 求直线l：x-21=y+32=z-33与平面Π：x+y+z-1=0的交点坐标.

解 设交点为P（x，y，z）.

已知直线l过定点M（2，-3，3），方向向量s=（1，2，3），平面的法向量n=（1，1，1）.

所以x0=2，y0=-3，z0=3，m=1，n=2，p=3，A=1，B=1，C=1.

由公式（4），可得

x=x0-m（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp=2-1×（2-3+3-1）1+2+3=116，

y=y0-n（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp=-3-2×（2-3+3-1）1+2+3=-103，

z=z0-p（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp=3-3×（2-3+3-1）1+2+3=52，

故交点坐标为P116，-103，52.

2.情形二：直线方程是一般式

设直线l的方程为A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，平面Π的方程为Ax+By+Cz+D=0.直线l的方程无法唯一确定直线l过的定点M0（x0，y0，z0），从而由命题1的结论可得此类交点的表达式不唯一，因而我们给出求此类交点的一般步骤.假设直线l与平面Π不平行.

步骤：

（1）由直线l的方程确定其中一个直线l过的定点M0（x0，y0，z0）.取x0=k（k为任意实数），将其代入方程组A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，从而解得y0和z0.这里也可以取y0=k或者z0=k.

（2）求直线l的方向向量s=（m，n，p）.由向量积可得s=n1×n2=i[] j[]kA1[]B1[]C1A2[]B2[]C2，其中，

n1=（A1，B1，C1）是平面A1x+B1y+C1z+D1=0的法向量，n2=（A2，B2，C2）是平面A2x+B2y+C2z+D2=0的法向量.

（3）由公式（4）求交点坐标.

例3 求直线l：x+y+z+1=0，2x+y+3z+4=0与平面Π：x-y+2z-1=0的交点坐标.

解 设直线l过定点M0（x0，y0，z0），方向向量s=（m，n，p），平面Π的法向量为n=（A，B，C），交点为Q（x，y，z）.

令x0=1，代入题中方程组，得y0=0，z0=-2，所以M0（1，0，-2）.

s=i[]j[]k1[]1[]12[]1[]3 =2i-j-k，所以s=（2，-1，-1）.

已知平面Π的法向量n=（1，-1，2）.

运用公式（4），可得x=9，y=-4，z=-6.

故交点Q（9，-4，-6）.

点在平面上的投影可以看成过点且垂直于平面的直线与平面的交点，因此，点在平面上的投影问题就是直线和平面的交点问题.

命题2 设M0（x0，y0，z0）是平面Ax+By+Cz+D=0外一點，M（x，y，z）是M0（x0，y0，z0）在平面上的投影，则有

x=x0-A（Ax0+By0+Cz0+D）A2+B2+C2，y=y0-B（Ax0+By0+Cz0+D）A2+B2+C2，z=z0-C（Ax0+By0+Cz0+D）A2+B2+C2.（6）

证明 易知过M0（x0，y0，z0）且垂直于平面Ax+By+Cz+D=0的直线方程为

x-x0A=y-y0B=z-z0C.

则由命题1中的公式（4）可得公式（6）.证毕.

例4 求点M0（-1，2，0）在平面Π：x+2y-z+1=0上的投影.

解 设投影为M（x，y，z）.

由题意，可得x0=-1，y0=2，z0=0，A=1，B=2，C=-1.

运用公式（6），可得

x=-53，y=23，z=23.

故投影为M-53，23，23.

【参考文献】

[1]黄立宏.高等数学：下[M].第1版.北京：北京大学出版社，2018.

[2]同济大学数学系.高等数学： 下册 [M].第七版.北京： 高等教育出版社，2014.