求解高次方程

陈道蓄

方程是使用最为广泛的数学模型之一。尽管现在计算机越来越多地用于和日常生活相关的非数值计算，求方程的数值解仍然是极为重要的技术手段。其实解方程也与我们的生活息息相关，只是我们不一定知道，如天氣预报就离不开大规模方程求解。本文仅限于讨论利用计算机解一类相对简单方程的方法。

在初等数学中，大家都已熟悉一元多项式p（x）。如果式中x的最高次数是n（n是正整数），则称其为一元n次多项式。相应地，p（x）=0称为一元n次方程，下文中我们称之为“多项式方程”，该方程的解（根）也被称为相应多项式的根（或零点）。初中时大家就熟知一次和二次方程的解法。有简单的公式可以直接计算，解这样的方程也就只当作“验证性”作业而已。

中学里一般不讨论如何解更高次的多项式方程，较难的作业或者数学竞赛中可能出现一些特殊形式的三次或者四次方程，常常需要靠技巧，采用某种机智的变换方可求解。几百年前的数学家就推导出求解三次和四次方程的代数公式，但证明了当n>4时通过代数方法求解是不可能的。相关内容非常通俗的介绍可参考文献[1]。有了计算机，烦琐计算不再被视为畏途，我们可以通过“尝试”的方法找任意次多项式方程的近似解。

● 多项式求值

既然是“尝试”，就得拿“候选”的解代入方程看看是否满足要求，基本方法就是针对给定的x0值，考察多项式的值p（x0）。因此，我们首先给一个多项式求值的算法。

多项式本身似乎就提供了求值的“算法”。对于多项式a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，只需求出每项的值再求和即可。不过这个做法的效率明显不高，在逐项求幂值时会导致重复计算，而且不管是手工计算还是计算机计算，乘法的代价明显高于加法。

例如，给定多项式p（x）=x4-3x3+16x2+10x-24，取x=2，则p（2）=24-3×23+16×22+10×2-24=52，总共需要执行9次乘法、4次加法。如果我们对原多项式进行简单的代数变形，得到p（x）=x（x（x（x-3）+16）+10）-24，则p（2）=2（2（2（2-3）+16）+10）-24=52，只需3次乘法和4次加法。

一般而言，对于多项式p（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，可改写为公式p（x）=（x（x（…（x（a0x+a1）+…an-1）+an。这样，欲求该多项式在x=x0的值，将x=x0代入后者即可。这一方法称为Horn法则。这就是多项式求值算法的基础。下面我们看怎么实施。

首先定义表示多项式的数据结构。只需给出系数序列就可以表示多项式。为了避免歧义，0系数不可省略，多项式的次数即为序列长度减1。例如，上述例子为[1，-3，16，10，-24]，多项式3x7-11x6+5x3-4x-23对应的列表为[3，-11，0，0，5，0，-4，-23]。算法过程如上页图1所示。

每次循环执行乘法与加法各1次，因此算法的代价为O（n），n是多项式的最高次数。注意，Horn法则本身并不要求所有系数为实数。为算法实现方便，本文只考虑实系数方程的解，也就是说讨论的多项式系数一定是实数。

● 基于二分搜索思想的近似算法

二分搜索是一种效率非常高的搜索算法。可能读者没想过它能帮助我们解方程。我们首先回顾一点数学知识：

（1）任何一个奇数次实系数多项式至少有一个实根，这就是说，如果p（x）是奇数次实系数多项式，那么方程p（x）=0至少有一个实数根（解）。

（2）多项式一定是连续函数，函数图像是平面上的一根连续曲线。任取两个不相等的实数a，b，如果p（a），p（b）异号（不妨假设p（a）<0，p（b）>0），那么曲线在区间[a，b]上与x轴一定有交点，交点x_坐标值即p（x）=0的一个实数根（如图2）。

现在来讨论一个算法，对于输入的奇数次实系数方程p（x）=0，找出一个实数解（也可能实数解不唯一，算法只需找到一个即可）。其基本思想如下：随机选择一个整数a，计算p（a），再选择一个整数b，满足p（b）与p（a）异号（可能需要尝试多次）（注意：如果p（a）=0或p（b）=0，a或b就是一个解）。不妨假设p（a）<0，p（b）>0，则（a，b）中一定包含一个解，计算p（（a+b）/2），计算结果是0，则解搜索成功;否则根据结果的正负性，可以将下一个搜索区域缩小为（a，（a+b）/2）或（（a+b）/2，b）。用户指定一个允许误差值t，持续上述搜索过程，直到搜索区间长度小于t。这个方法只能给出方程的近似解，但可以使得误差小于任意指定的正值。

1.确定起始搜索区间

用随机的方法选择起始搜索区间的端点可能需要尝试多次，因为选定了一个端点a（这可以是任意的），很难确定再试多少次选到的b能满足p（a）和p（b）异号。

读者一定熟知偶次实系数方程未必有实数解，如x2+1=0。为什么奇数次就一定有实数解呢？为了将本文讨论限于中学代数课程范围内，我们利用函数图像简略解释，并在此基础上给一个确定起始搜索区间的算法。

学习初等代数时大家熟悉了p（x）=x3的函数图像，对任意正奇数n，幂函数xn图像的基本形态是一样的，只是曲线“陡峭”程度不同。一般的奇次多项式图像可能会复杂很多，但有一点基本特征是保持的，如果最高项系数为正，则基本形态如p（x）=x3，图像的左下方和右上方无限单调延伸;而若最高项系数为负，则基本形态如p（x）=-x3，图像的左上方和右下方单调无限延伸，如图3所示。

这就意味着，只要选择绝对值足够大的k，就可以使得p（-k）与p（k）异号。可多大才是“足够大”呢？

算法的基本思想如下：选择a=0作为算法工作区间的一个端点，然后根据多项式系数的特征确定另一个端点b。这样可以简化计算。我们知道，输入多项式p（x）的常数项值（an）即为p（0），如图3中的p（x）常数项为0，函数图像经过零点。假设输入的多项式系数中绝对值最大者为k，由p（0）以及多项式最高项系数的符号共同决定选b值为k或-k。此时，p（b）的符号将由最高项计算值的符号决定。（请读者思考其中的道理）

定义搜索区间为[low，high]，low

2.用二分搜索找多项式方程的近似解

有了起始的搜索区间，寻找零点的过程与本专栏第8期（文献[2]）介绍过的二分搜索基本上是一样的。算法过程描述如上页图5所示。

算例多项式：x5-6x3-19x2-9x-45=0。则起始搜索区间为（0，45）。算法执行结果如下表所示。

我们需要对“近似解”做一些解释。算法循环终止条件是即将处理的搜索区间长度已小于指定的误差上限。此时，区间的一个端点即上一循环中搜索区间的中间点x_坐标值，这也就是算法输出的方程实数根，此时区间内部任何点与此输出值的距离一定小于区间长度，那些点中至少有一个方程的实根（精确值）。注意，“误差大小”与用近似解x计算出的p（x）与0有多“接近”没有直接关系（下表只是一个特殊的例子，不该由此产生误导）。不熟悉无穷小理论的读者只需理解即使是“连续”的曲线，在不管多小的区间（只要严格大于0）仍可以有“很大的起伏”。

由于本文避免使用超出中学教学内容的数学知识，上述方法相对比较简单。在输入多项式最大次数与绝对值最大系数不是很大时能较好地求出一个实数解。如果要求找到所有解就比较困难了。另外，本文不涉及任何控制误差扩散的技术，当小数点位数较高时可能产生误差积累，计算出的p（x）可能出现偏差。

● 整系数多项式方程的有理数解

前面的算法只能帮我们寻找方程的近似解。在中学里开始学习解方程时，我们往往会希望能找到精确解。可是对于3次及3次以上的多项式方程，却没有一个很简单的通式。对于x3-2x2-5x+6=0这样的方程，有些学生可能会通过因式分解得到（x-1）（x+2）（x-3）=0，由此可得到三个整数根：1，-2，3。但面对60x3-19x2-23x+6=0，恐怕绝大多数学生都很难解出这个方程的三个有理数根：2/3，-3/5和1/4。

一个简单的数学定理可以帮我们将寻找整系数多项式方程有理数解的搜索空间极大地缩小，小到计算机能很容易实现穷尽搜索，这样就能够得到所有的精确有理数解，或者判定给定方程不存在有理数解。

设有多项式方程f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，若诸ai（i=0，1，…n）均为整数，则有理数p/q（p，q互质）是该方程解的必要条件是：q是a0的整除因子;p是an的整除因子。这个定理仅需初等数学知识便可证明，有兴趣的读者可参考文献[3]。

对于系数绝对值不是非常大，如24x5+10x4-x3-19x2-5x+6=0这样的方程，很容易建立可能的有理数解的集合（如下页图6）。

计算机便可对集合中的元素逐个验证是否为方程解。但为了实现相应算法，必须能够处理与分数有关的精确运算。可以采用两种途径解决这个问题。流行的程序设计语言一般可以提供实现分数操作的库函数，编程时可直接导入应用，也可以用整数的有序对表示分数，自行实现关键的函数，如约简、加法、乘法等。本文假设有相应函数可用，不再讨论实现细节，但强烈建议读者自行实现相应的函数与算法。

需要说明的是，当整数n的绝对值非常大时，找出n所有的整除因子并不容易。从2开始逐次判断某个k是否能整除n，计算代价很高。本文不考虑非常大的系数。

利用相关基本操作，很容易将前面的poly_value_by_horn改造為能对x_val为分数值的输入计算多项式的精确值。设poly_value_by_horn_plus（poly，x_val_tuple）为改造后的函数，第2个参数为有序对形式的分数。

定义函数divider（n），计算整数n的所有整除因子的绝对值，返回包含这些值的列表。算法输入的多项式poly形式与前面讨论的完全一样，只是所有项均为整数。算法过程如图7所示。

参考文献：

[1]Ron Irving.Beyond the Quadratic Formula[Z].the Mathematical Association of America， 2013.

[2]李晓明.查找问题中的算法[J].中国信息技术教育，2020（05）.

[3]余元庆.方程论初步[M].上海：上海教育出版社，1965.（此书出版过久，现在可能难以找到，不过读者只需在网络浏览器中输入“整系数方程的有理数解”，很容易就能找到相关论述。其中许多是中学数学教师写的，只需初等数学知识即可理解）

注：作者系南京大学软件学院原院长，计算机系原系主任。

勘误：本专栏文章“匹配市场算法”（2021年第5期26～30页），在第29页左列第三段中间“此时，记L和R…（到本段结束）”替换为“当然，我们现在不仅需要得知是否有了完美匹配，还需要在没有完美匹配的情况下确定出一个受限组和它的邻居集合。这可以通过局部修改最大流算法，让它同时也记住一次搜索过程在二部图两边发现的节点，一旦某次从s开始的搜索进行不到目标节点t，即预示着没有完美匹配，所发现的节点就构成了一个受限组和它的邻居集合。”