基于平行互质虚拟阵列的低复杂度二维DOA联合估计算法

李 林 余玉龙 韩 慧

①(电子信息系统复杂电磁环境效应国家重点实验室 洛阳 471003)

②(西安电子科技大学电子工程学院 西安 710071)

1 引言

波达角(Direction Of Arrival， DOA)估计是阵列信号处理中的一个重要研究课题，在无线通信、雷达和医学成像等许多领域中有广泛的应用。在阵列结构方面，平面阵的应用最为广泛。在过去的几十年中，国内外学者已经提出了许多基于平面阵列结构的DOA估计算法，包括面阵[1，2]、L型阵列[3]和平行线阵[4]等。平面阵列通常由几个均匀间隔的线性子阵列构成，具有有限的自由度，例如含 M个阵元的L型均匀线阵阵列，最多可以估计M -1个入射信号角度。

近年来，稀疏阵列由于能够有效提高阵列的自由度而受到广泛关注，例如最小冗余阵列[5]、嵌套阵列[6]和互质阵列[7]等。与传统阵列相比，稀疏阵列可以在保证性能的前提下充分地减少阵元数，或在阵元数相同的情况下，拥有更大的阵列孔径、更低的旁瓣级，通过对阵元位置和加权的解算改善测向算法的精度、分辨率和自由度。在稀疏嵌套阵列方面，文献[8]和文献[9]将嵌套阵列从1维DOA估计推广到2维DOA估计，提出了一种包含两个均匀间隔线性子阵的2维嵌套阵列。在L型互质阵列方面，有基于迭代最小化和离网格稀疏学习[10，11]。在平行互质阵列方面，文献[12]首次提出了利用平行互质阵列的互协方差矩阵构造1维向量，通过稀疏重构和最小二乘法得到相互匹配的DOA估计，提升了阵列的自由度，但是在小快拍情况下精度较差，且算法复杂度较高。文献[13]和文献[14]针对复杂度较高问题，将2维DOA估计问题转化为1维表示，利用互协方差矩阵和压缩感知方法进行角度估计，一定程度上提高了估计精度。上述算法主要利用了平行互质阵列的互协方差矩阵，文献[15]和文献[16]使用平行互质阵列的协方差矩阵，采用1维DOA估计结合功率进行匹配实现俯仰角和方位角估计，但是容易出现失配现象。

可以看出，现有平行互质阵列DOA估计算法只利用了阵列的协方差矩阵或互协方差矩阵，需要网格搜索和匹配，存在着计算复杂度较高、算法精度不足、容易出现失配等问题。针对现有算法的不足，本文提出了一种新的基于平行互质线阵2维DOA估计算法，利用两个线阵的协方差矩阵和互协方差矩阵构造新的DOA估计矩阵。在此基础上，利用SVD和ESPRIT算法，根据特征值和特征向量得到相匹配的方位角和俯仰角。与现有算法相比，本文算法充分地利用了自相关和互相关矩阵信息，可以估计更多的信源数，精度更高。同时由于阵元孔径的扩展，算法的分辨能力较高，计算复杂度较低，且在低信噪比和小快拍的情况下性能较好。

文中符号说明：(·)T， (·)*， (·)H， (·)-1和(·)+分别表示矩阵转置、共轭、共轭转置、求逆和求伪逆；diag(v)表示以v 为主对角线元素的对角矩阵；vec(·)表示矩阵拉伸；⊗ 表示Khatri-Rao积； I表示单位矩阵；arg(·)表示取相位角。

2 信号模型

图1 平行互质阵列几何模型

3 基于平行互质虚拟阵列的低复杂度2维DOA估计算法

前文已指出，现有的2维DOA估计算法存在着计算复杂度较高、算法精度不足、容易出现失配等问题。针对这一问题，本文重点研究了2维虚拟阵列，提出了一种适用于平行互质虚拟阵列的2维DOA估计算法。

3.1 扩展矩阵构造

可见，矩阵 V1的尺寸为(MN +M)×(MN +M)。可以将V1表示为

其中，W 为对角矩阵，和信号的功率相关。 D中包含了入射信号与X轴的夹角信息。

同样，可以通过接收的信号，定义子阵1和子阵2的互协方差矩阵为

同理，剔除v2中的重复元素，并取其中连续的虚拟阵元，可以得到

与式(7)类似，构造互协方差矩阵，即对 v¯2中的元素重新排列，可得

由式(8)和式(12)，构造DOA估计的扩展矩阵

3.2 2维DOA估计

在3.1节中，通过子阵1的协方差矩阵及其与子阵2的互协方差矩阵，构造出DOA估计矩阵Rm。接下来，本文利用SVD和ESPRIT算法，由特征值和特征向量得到相匹配的方位角和俯仰角。

首先，对DOA估计矩阵Rm进行奇异值分解可得

其中，U1为信号子空间，U2为噪声子空间，则

其中，U11和U12的维度均为(MN +M)×K。

通过U11和U12的关系，构造矩阵 F，使得

通过对式(20)进行特征值分解，其对应的特征向量构成的矩阵为 T，通过(18)式有

通过联立式(21)和式(25)，可得到相互匹配的方位角和俯仰角，即

3.3 算法步骤

基于以上理论分析，这里给出本文算法的具体步骤。

步骤 1 根据实际应用，通过有限的快拍数对协方差矩阵和互协方差矩阵进行估计，即

本文所提出的算法，利用互质虚拟阵列的思想，对于2维平行阵列进行扩展，能利用有限的阵元估计更多的入射角度，同时由于阵元孔径的扩展，对入射角度的分辨能力更好，并且在低信噪比和小快拍的情况下精确度相对较高，且算法复杂度更低。

4 实验仿真

在本节实验中，令 M=3， N=5，则子阵1的真实阵元数为2M -1+N，即L=10，阵元位置为{0 3 5 6 9 10 12 15 20 25}。考虑多个入射信号的情况，假设信号源个数K=11，即入射信号大于实际阵元数。此时，传统平行线阵算法均已失效，而本文算法仍然可以有效地估计出入射角度，如图2所示。本文提出算法能很好地扩展阵列孔径，提高阵元利用率，最多可估计MN +M -1个入射角度，远高于传统算法。

为了进一步验证提出算法的高分辨性能，我们假设入射信号个数为2，入射角为(10°，11°)和(11°，12°)。此时，传统算法失效。本文算法的实验结果如图3所示，可以看出，虽然存在一定误差，但依然可以分辨出两个非常接近的入射角度。需要注意的是，由于角度较为接近，实验中需要较高的信噪比和快拍数。

为了衡量算法的估计精度，本文采用均方根误差(RMSE)准则，定义为

图4为快拍数对本文算法性能的影响，并与已有算法进行比较。其中，文献[4]基于平行线阵2维PM算法，文献[12]基于基于平行互质阵列算法。考虑现有算法的适用范围，这里对4个信源进行估计，入射角分别为(10°，10°) ， (20°，20°)，(30°，30°)和(40°，40°)。可以看出，本文算法在少量快拍下也有较好的估计性能。特别当快拍数P=10时候，本文算法依然可以实现有效DOA估计，可适用于小快拍场景下工作。

接下来，分析信噪比变化对图4中各种算法性能的影响。为了减小快拍数对不同算法的影响，实验中采用较大的快拍数，即P=1000。实验中入射信号情况与图4相同，实验结果如图5所示。可以看出，本文算法在低信噪比情况下依然具有较高的估计精度。

图2 K=11时算法估计结果(SNR=10 dB， P=500)

图3 高分辨率实验(K=2， SNR=20 dB， P=500)

最后，为了对不同DOA估计算法的复杂度进行比较分析，在相同硬件和软件条件下，进行1000次蒙特卡罗实验，统计各种算法的运行时间。实验中计算机的CPU为I7-8550U，内存为8 G。实验中入射信号情况与图3和图4相同，采样快拍数P =500，信噪比SNR=20 dB。实验统计结果如表1所示，可以看出，本文算法的计算复杂度优于文献[12]中的平行互质阵列算法，但略高于平行线阵PM算法。

5 结论

本文提出一种基于平行互质虚拟阵列的低复杂度2维DOA估计算法，将传统平行线阵与互质虚拟阵列相结合。本文采用扩展的DOA矩阵，在进行DOA估计时，通过奇异值分解并提取旋转不变因子，避免了传统算法的谱峰搜索，降低了算法复杂度，获得了自动匹配的DOA估计。同时，采用虚拟阵列扩展了阵元孔径，解决了传统DOA估计算法入射信源数小于真实物理阵元数问题。仿真实验结果表明，本文所提算法具有更高的分辨能力，可以分辨更多的辐射源信号，而且在低信噪比和小快拍情况下也优于传统DOA估计算法。

图4 不同快拍数算法性能对比(K=4， SNR=10 dB)

图5 不同信噪比下的性能分析(K=4， P=1000)

表1 不同2维DOA估计算法运行时间(s)