面向信息加密的有限域LDPC码设计*

李 广

（陆军工程大学，江苏 南京 210007）

0 引言

随着通信系统的飞速发展，人们的生活发生了翻天覆地的变化。各式各样的智能终端日益普及，基站、卫星星座等一系列通信设备的应用爆发式增长。从最初的短波电报通信到语音通话再到现在的高质量视频通话以及未来可及的三维全息投影通话，人们对高速率、高质量、高可靠性的通信需求从未停止过。目前，4G 通信技术早已全面商用；5G 通信基站正铺天盖地地建设中，已有部分投入商用；未来的6G 时代与5G 相比无论是速率、时延以及覆盖范围都会有质的飞跃。6G 将是一个地面无线与卫星通信协作的全连接、低时延、高可靠的网络。然而无论是星地信道，还是地面的异构网络都具有开放和广播的特性[1]，传输的信号中所承载的信息若不加防范，则很容易被人窃听[2]、伪造和篡改。传统的加密学通过增加密钥熵对通信进行加密，通常在网络层以上进行[3]，但是近年来随着计算力的大幅度提升，对无线通信的质量和速率的要求变得更加严格，传统的加密学已无法满足需求，上层加密面临着巨大的挑战和威胁[4]。

传统加密通信[5]如图1 所示，将加密放在上层，浪费了较多资源。

图1 传统加密编码

本文采用联合加密思想，将物理层信道编码与加密结合的方式对明文进行加密如图2，采用私有[6]低密度奇偶校验（Low Density Parity Check，LDPC）码的校验矩阵对明文加密，在不牺牲纠错性能的前提下提升了信息传输的安全性[7-9]。

图2 物理层联合编码加密

本文采用有限域两类子群混合构造准循环LDPC（Quasi Cyslic-Low Density Parity Check，QCLDPC）的校验矩阵[10]，并通过信源码的原模图外信息转移（Protograph Extrinsic Information Transfer，PEXIT）算法对校验矩阵进行掩模，使校验矩阵具有更低的译码门限，对码字信息位打孔后传输，提升了信息传输的安全性且译码性能不受影响。

1 面向信息加密的LDPC 码的设计架构

采用有限域设计LDPC 码，使得码字具有较低的错误平层，再通过PEXIT 算法对校验矩阵进行掩模，使得掩模后的矩阵具有较低的译码门限，瀑布区性能更好。编码后，将信息位打孔，只发送校验位。综上，面向信息加密的LDPC 码在保证通信系统可靠性的同时，增加了通信系统的安全性。

码字的设计流程如图3 所示，先根据有限域元素生成基矩阵B，再根据PEXIT 算法对基矩阵进行掩模确定基矩阵的连接关系，最后由掩模后的基矩阵散列成校验矩阵H。明文编码后，删除信息位传输得到非系统码的密文。

图3 LDPC 码设计流程图

1.1 基于基模图和有限域的QC-LDPC 跳码

LDPC 码是线性分组码，在数据传输上可逼近香农极限。最早由Gallager 在1962 年提出，随着计算机技术的发展，于1999 年MacKay 仿真出接近香农极限二进制对称信道（Binary Symmetric Channel，BSC）和二进制输入加性高斯白噪声信道（Binary Input Additive White Gaussian Noise，BIAWGN）信道容量的LDPC 码。但当时的码字缺乏结构性，不利于编译码的硬件实现。一种降低复杂度的方法是在LDPC 码校验矩阵中引入一些额外的有助于编译码的结构。基模图码[11]目前是最主流的结构化码字。它是采用小矩阵生成大矩阵，易于设计、实现和分析的LDPC 码。

1.1.1 基模图码

基模图码是一种通过小矩阵生成大矩阵的LDPC 码，基模图是小矩阵对应的Tanner 图。通过对图中的边进行复制-置换得到较大的图，使其具有一定的结构性，更有利于编译码器的硬件设计。图4 是小矩阵的基模图，通过对图中的边进行置换可得图5 的大矩阵，其中Pi,j代表置换矩阵。本文采用循环置换矩阵（Cyclic Permutation Matrix，CPM）来替代图4 中的边，即矩阵Pi,j为CPM，维度为q-1，循环右移pi,j，即循环移位因子为pi,j。

图4 基模图示例

图5 基模图扩展后得到的Tanner 图示例

1.1.2 有限域简介

有限域LDPC 码[12]是基于代数理论构造的一类码字。有限域GF(q)中含有q个元素，q为素数幂，设α为GF(q)的本原元，q个元素分别α-∞=0，α0=1,α1,…,αq-2。设有限域矩阵为B=[bi,j]，0 ≤i

2 面向信息加密的LDPC 码构造算法

2.1 基于有限域两类子群的QC-LDPC 跳码构造算法

基于迭代译码的码字的缺陷是存在错误平层，而文献[12]通过数值分析证明了基于有限域所设计的码字可以有效地降低错误平层。迭代译码的瀑布区性能与校验矩阵Tanner 的围长有关。围长是指Tanner 图中最小环长。环长定义为在由d个校验节点和d个变量节点所构成的集合中存在一条经过所有节点且只经过一次的闭合路径。根据外信息Turbo 原理可知，当迭代次数超过环长的1/2 时，外部信息的可靠度将会下降。增大围长可有效地增加外部信息的可靠性。

由基矩阵散列所得到的校验矩阵的环长与基矩阵中的循环移位矩阵的循环移位因子有关，文献[12]给出了围长为6 或8 的基矩阵的充要条件。

定理1 2×2SM（SM，Submatrices）约束（Tanner图围长为6 及以上原理）：基矩阵B中每个2×2的子矩阵中包含至少一个0 项或为非奇异矩阵。

定理2 3×3SM约束（Tanner 图围长为8 及以上原理）：在基矩阵B中在每个2×2 和3×3 的矩阵中不存在相同非0 的行列式展开项。

采用有限域的乘法群和加法群可以很容易的构造出满足上述定理的基矩阵。

设有限域为GF(q)，其本原元为α，则基矩阵B(S1,S2)所散列矩阵的Tanner 图围长至少为6，B(S1,S2)定义如下：

式中：η为GF(q)中的非0 元素；数组S1、S2分别为，其中1 ≤m，n

通过计算机搜索可以找出满足3×3SM约束的基矩阵B(S1,S2)，这样其散列的校验矩阵围长至少 为8，增加了迭代译码的可靠性。

由于系统码在高信噪比区很容易暴露明文，因此本文拟采用非系统码传输信息，通过对系统码信息比特打孔的方式来生成非系统码。例如将1/3 码率系统码的信息位全部打孔，只传输校验比特，即打孔后的码字码率为1/2。

码字打孔会影响译码的性能，本文采用PEXIT掩模算法来计算打孔后的译码门限，同时通过该算法对校验矩阵进行掩模，使得校验矩阵更加稀疏，连接性更好，译码性能更优。

2.2 PEXIT 掩模算法

作为密度进化的另一种形式，不规则外信息转移（External Information Transfer，EXIT）图[13]是用以估计译码门限的一种图形方式，但是这种方式只考虑了矩阵的变量节点和校验节点度分布，并未考虑矩阵的连接性，因此文献[14-15]提出了基于基矩阵的多维EXIT 算法即PEXIT 算法。PEXIT 算法不仅考虑了矩阵的链接性，还可以用以分析打孔和收敛失败的节点类型，如度为1 或2 的变量节点。该算法一般用以估计基矩阵的译码门限，在码率设计上具有较大的优势。因此本文采用该算法来对有限域LDPC 码的基矩阵掩模。设掩模矩阵Z为：

式中，当zi,j=1 时代表“类型i”校验节点和“类型j”的变量节点之间存在一条边，当zi,j=0 时代表“类型i”校验节点和“类型j”的变量节点之间不存在边。

因为J(σ)的近似表达式为σ的单调函数，所以其反函数J-1(*)的闭式表达式一定存在，如下：

采用这种近似计算方式与密度进化计算的门限差距在0.05 dB 之内。其中，式（5）和式（6）中的参数分别如表1 和表2 所示。

表1 J(σ)中参数

表2 J -1(I)中参数

根据式（5）和式（6），可得PEXIT 算法如下。

（1）初始化“类型j”变量节点的对数似然信 息，0 ≤i

（4）计算累积变量节点的后验信息：

2.3 基于PEXIT 算法掩模的有限域QC-LDPC 码

根据码率、码长以及打孔的要求选取有限域的大小和基矩阵的维度，例如需要设计码率为1/2，码长约2 000 的LDPC 码，可以通过设计码率为1/3，码长为3 000 的LDPC 码，将信息位全部打孔只传输校验位。因此可选取有限域的大小为255，基矩阵的维度为8×12。采用2.1 节中的设计方式来确定基矩阵中的循环移位因子，再通过2.2 节中PEXIT 算法设计具有良好译码门限的掩模矩阵对基矩阵进行掩模。

信息位打孔比例和安全性有关，信息位打孔比例越高，通信系统更安全但是掩模矩阵越难设计，译码收敛速度越慢。

3 仿真与分析

本节将给出一个示例去解释上述构造的LDPC码的有效性和可靠性。令α为有限域GF(256)的本原元，随机生成集合S1和S2为：

根据式（1）可得基矩阵B(S1,S2)，其维度为8×12。通过PEXIT 算法设计维度为8×12 的掩模矩阵Z，对基矩阵B(S1,S2)进行掩模，散列后得维度为2 040×3 060 的校验矩阵H，生成码率为1/3、码长为3 060 的码字cunmp，再对cunmp的信息位进行打孔可得码率为1/2，码长为2 040 的码字cunmp。

通过Tanner 图环的深度优先搜索算法可知矩阵中不存在6 环，8 环的数目为2 050。在如表3 所示的仿真条件下，码字的性能如图6 所示。图中还包含两种较为常用的LDPC 码：cAR4JA[16]表示国际空间数据系统咨询委员会（Consultative Committee for Space Data Systems，CCSDS）标准中由AR4JA方式所构造的LDPC；cIRA为IEEE 802.16e 标准中由QC-IRA 所构造的LDPC 码[17]。

表3 仿真参数

从图6 中可以看出其中码字cAR4JA比码字cmp的性能略优0.5 dB，码字cmp与码字cIRA的性能几乎一致。但是由于码字cmp是非系统码，所以无论是在低信噪比区还是高信噪比被窃听的概率接近于0。

图6 跳码性能曲线

4 结语

本文将加密与信道编码结合，利用物理层的信号处理技术提升了通信系统的安全性。当窃听信道的信道质量比合法通信信道质量差时，通过提升保密容量来完成安全通信；当窃听信道质量优于合法通信信道时，采用非系统编码来对明文进行加密，提升了通信系统的安全性。