助推学生建构数学模型

顾绍志

[摘  要] 在小学数学教学中，应从学生的已有经验出发，助推学生建构数学模型，让学生亲身经历建构数学模型的全过程，并对数学模型进行解释与应用。

[关键词] 助推;建构;数学模型

数学模型，是指对研究对象观察到的现象，所归纳的数量关系、数学公式、空间形式、逻辑准则和具体算法。在小学数学教学中，应从学生的已有经验出发，助推学生建构数学模型，让学生亲身经历建构数学模型的全过程，并对数学模型进行解释与应用。

一、助推学生在简约事理中建构数学模型

生活常识、经历和经验，是学生建构数学模型的源头活水。助推学生建构数学模型，可以从学生的生活背景中甄别素材，让学生以数学活动的方式，概括数量关系，类推数学原理，提炼数学规律，生成解决数学问题的策略和思想，形成解决数学问题的模式和方略。

例如，教学“乘法分配律”时，出示这样一道题：“有一种课桌椅，每张桌子180元，每把椅子100元，学校准备买40套，一共需花多少钱？”让学生从这样的生活问题入手，围绕问题的实例，提炼基本内涵、概括本质属性、建构数学模型。

师：请说一说解题思路。

生：先分别求40张桌子和40把椅子的钱，再求40套课桌椅的钱。

生：先求1套桌椅（1张桌子和1把椅子）的钱，再求40套课桌椅的钱。

师：能用数量关系式表述吗？

生：1张桌子的钱×张数+1把椅子的钱×把数=一共需花的钱。

生：（1张桌子的钱+1把椅子的钱）×套数=一共需花的钱。

生：1张桌子的钱×张数+1把椅子的钱×把数=（1张桌子的钱+1把椅子的钱）×套数。

师：请列出算式。

生：180×40+100×40。

生：（180+100）×40。

生：180×40+100×40=（180+100）×40。

师：能列举类似的等式吗？

（生七嘴八舌，列举了好多等式。）

师：等式列举得完吗？等式有共同之处吗？等式能用字母概括式表达吗？

生（议论纷纷后）：a×c+b×c=（a+b）×c。

如此建构数学模型，做到了“三注重”：注重选取典型的生活实例，便于学生揭示，利于学生表述;注重在领略生活实例的事理向数学模型过渡的进程中，引导学生用列举实例的方式演绎领略到的算理;注重算理的表述符号化，字母概括表达式既简明扼要，又能帮助学生形成符号意识和代数思想。

二、助推学生在类比迁移中建构数学模型

有学习的地方就会有迁移，迁移对于建构数学模型具有独特的效用。助推学生建构数学模型时，可充分利用学生已有的建模经验，为学生创设迁移的操作平台和时空条件，让学生从既有的数学思想、技能和知识的迁移中类推、概括、提升新的數学模型。

例如，“整百数乘一位数”的口算，可以引导学生激活整十数乘一位数的口算方法、算理和推导，让学生运用迁移规律，自主探究整百数乘一位数的口算。

师：40×2=？

生（异口同声）：80。

师：是怎样算的？为什么？

生：40+40，因为40×2表示2个40。

生：8个10是80，因为40是4个10，4个10乘2是8个10。

生：4×2得8，再添一个0得80，因为2个4是8，2个40是80。

师：环形跑道长400米，小华跑了2圈，求小华跑了多少米，怎样列式？

生：400×2。

师：如何口算？

（生迁移40×2的口算方法。）

师：如果小华跑了9圈，求小华跑了多少米，怎样列式？

生：400×9。

师：还用加法算吗？

生：用加法算，太麻烦。先用4×9得36，再在36后面添两个0，得3600。

师：（投影呈现）将下列算式分类：3×6=18，4×9=36，7×5=35，3×60=180，70×5=350，300×6=1800，5×700=3500。

生：①3×6=18，3×60=180，300×6=1800;②7×5=35，70×5=350，5×700=3500;③4×9=36。

师：请说一说分类的依据。

生：第一类，口诀都是“三六十八”;第二类，口诀都是“五七三十五”;第三类，口诀是“四九三十六”。

师：根据4×9=36，能联想到哪些算式呢？

生：40×9=360，4×90=360，400×9=3600，4×900=3600，4000×9=36000，4×9000=36000，4×90000=360000……

学生借助整十数乘一位数的经验进行类推，不仅找到了整百数乘一位数的口算方法，而且联想到整千数乘一位数、整万数乘一位数的口算方法。显而易见，助推学生在类比迁移中建构数学模型，首先要确立学生的主体地位，激励学生主动探究、合作和交流;其次要为学生的迁移做好准备，唤醒学生迁移的意识，让学生在建构新的数学模型时找到相似的模型。另外要为学生当好向导，当学生在迁移中遇到困惑时，引领学生规避和排除负迁移的干扰。

三、助推学生在解题指导中建构数学模型

助推学生在解题指导中建构数学模型，可以培养学生的抽象概括能力，可以培养学生有效利用数学模型的意识，又可以减少学生解决实际问题的盲目性，还可以减少学生“就题论题”解决实际问题的片面性。

例如，在数学练习课上，出示这样一道题：“小明期终考试，语文、英语的平均分是92分，数学、英语的平均分是93分，语文、数学的平均分是97分， 小明语文、数学、英语三门学科的平均分是多少？”

师：请根据题意列式计算。

生：（92×2+93×2+97×2）÷2÷3=564÷2÷3=282÷3=94（分）。

师：请说说理由。

生：92×2是语、英分数的和，93×2是数、英分数的和，97×2是语、数分数的和，564是语、数、英三门分数的和的2倍，282是语、数、英三门分数的和，94是语、数、英三门的平均分。

师：有不同解法吗？

生：（92+93+97）÷3=282÷3=94（分）。

师：请说说理由。

生：我觉得这样列式计算的结果也是94，具体的理由说不出。

师：可以肯定，这种解法是对的。关于列式理由，可以先想想92分与语、英得分的和的关系。

生：噢！92分也是语、英得分的和除以2的结果。

师（先点头赞同，后板书，再提问）：（语+英）÷2=92，能把“÷2”转化成乘法吗？

生：除以2与乘0.5的结果是一样的。

师（先点头赞同，后板书，再提问）：（语+英）×0.5=92，能联想到乘法分配律吗？

生：语×0.5+英×0.5=92。

生：噢！92包含语文分的一半和英语分的一半。

生：同样，93包含数学分的一半和英语分的一半。

生：同样，97包含语文分的一半和数学分的一半。

生：噢！92+93+97的和282，包含“语文分的一半、数学分的一半、英语分的一半”的总和的2倍。一半的2倍，就是1倍。因此，282分就是三门得分的和。

就这样，助推学生在解题指导中建构了一个数学模型：（a+b）÷2=0.5a+0.5b。建构的这个数学模型，拓宽了学生的视野，让学生对两个数的平均数有了新的认识，帮助学生分析、理解和确认了（92+93+97）÷3的解法。

总而言之，为了学生的数学学习，应利用一切可能的机会，助推学生建构数学模型。