一种改进的双幂次指数趋近律的滑模变结构控制策略

林洁琼， 杨雪梅， 闫 东， 孟繁昊

(长春工业大学 机电工程学院， 吉林 长春 130012)

0 引 言

滑模变结构控制是众多非线性控制算法中的一种，能够根据当前系统的状态有目的性地改变控制器结构，使系统朝着预先设计好的面运动，最终维持在该曲面上，这也是保证滑模控制具有良好性能的根本依据。该控制算法性能明确、稳定性强、响应速度快等是变结构控制的优势，同时对参数变化以及外界扰动等是有适应能力的，且系统可以达到控制要求。与此同时，滑模变结构控制中仍存在一些问题，其中突出的是系统抖振问题[1]。因此，抑制抖振问题目前已经成为滑模变结构控制研究中的重要课题。

针对这一问题，国内外许多学者已经展开了广泛研究。文献[2]设计出一种新的滑模控制器，其方法是在系统没有干扰的前提下，使方向与位置跟踪误差可以在一定时间内收敛到0，但控制器输出变量仍然存在抖振现象；文献[3]采用模糊滑模控制调节参数，以此加快轨迹跟踪误差，虽然取得较好的结果，但系统中仍然存在抖振；Pandey等[4]提出一种新型自适应趋近律控制，目的是为了让系统到达滑模面的时间最短，这种方法可以忽略抖振现象。上述提到的方法大多都是以指数趋近律与等速趋近律方法结合起来抑制抖振现象、加快收敛速度，但在传统滑模控制中，存在的符号函数问题使抖振现象并不能够完全去除。Liu等[5]提出一种改进的指数趋近律方法(NERL)，该方法在加入幂次项同时，加速提高了系统的收敛性;20世纪80年代，高为炳[6]提出趋近律的想法,并设法构造出幂次趋近律,通过调节系统参数k和ε的大小，既可以保证滑动模态的动态品质，又可以抑制控制信号抖振频率较高的现象，但如果ε的取值较大，就会导致抖振现象的发生;传统的趋近律很难精确地控制到达滑模面的时间与速度,并且无法权衡趋近滑模面时间和抖振两者之间的矛盾关系[7];文献[8]提出一种对新型趋近律的积分模糊滑模变结构速度环控制器的研究方法,在滑模面设计中加入了误差信号积分项,由此降低控制量对加速度信号的需求;文献[9]在传统指数趋近律的基础上，加入了系统状态量与终端吸引子的幂次函数，提出一种新型指数趋近律,基于新型趋近律设计了滑模速度控制器;文献[10]提出一种增加衰减项的指数趋近律策略，并且与非匹配不确定系统相结合，从而达到削弱抖振并且确保系统平稳的性能要求;蒲明等[11]提出一种新的变指数趋近律方法，采用将有限时间收敛的幂次项与变指数项结合在一起的方法，进一步实现加快系统远离滑模面时的收敛速度;Pan等[12]采用等速趋近律和双幂次趋近律相结合的方法，从而加快实现滑模变结构控制全局的收敛性，但抖振现象仍然与等速趋近律在滑模面上间断性的现象共存。文献[13]以趋近滑模控制为例，在所设计的速度滑模控制器基础上搭建三相PMSM调速系统的仿真模型,从而改善了系统的动态品质。

文中根据滑模变结构特点，在对其进行深入研究的基础上提出一种双幂次制数趋近律控制方法，使其可以较快速地跟踪期望轨迹，减少系统响应时间，提高系统稳定性。另外，将单幂次指数趋近律控制算法与双幂次指数趋近律控制算法进行Matlab/Simulink仿真比较，验证了算法的合理性。

1 滑模控制的基本原理

1.1 滑动模态定义

图1 切换超曲面上的三类特征点

1.2 滑模变结构控制系统的抖动问题

器件的特性不理想是引起“抖振”的主要原因。延迟引起的抖振示意图如图2所示。

图2 延迟导致抖振示意图

运动点在靠近滑模面一定范围上下穿越产生锯齿运动，称为抖振。

理想滑动模态轨迹与实际滑动模态轨迹如图3所示。

图3 理想滑动模态轨迹与实际滑动模态轨迹

控制系统中期望轨迹是图3中的滑动模态轨迹。

在实际控制系统中，因为存在惯性，期望的继电器特性就会变成带有滞环特点的继电器特性，如图4所示。

图4 滞环型继电器特性

抖振对控制系统造成的不利影响：

1)削弱系统控制精度；

2)加大系统能量的消耗；

3)激发甚至诱发系统的高频未建模动态，容易导致系统振荡并且失稳；

4)磨损控制器各部件。

抖振的存在是目前滑模控制大量应用及进一步发展的严重障碍。因此，如何高效地抑制滑模控制系统的抖振已经成为滑模控制的研究课题。

2 滑模控制器设计

滑模变结构控制器设计包含以下两个步骤：

1)设计切换函数，使其可以确保系统的滑动模态逐渐趋于稳定，考虑单输入、单输出线性系统：

(1)

(2)

(3)

或者写成

(4)

式中:F1=〈cj,ai〉xi;

F2=〈cj,bk〉uk;

ai----矩阵A的列矢量,i=1,2，…,n;

bk----矩阵B的列矢量,k=1,2，…,m;

〈…,…〉----矢量的内积。

由式(1)分析可得

ueq=-(CB)-1CAx,

滑模方程为

(5)

如果选择C为三角阵

(6)

则方程(6)很容易联立求解，此时在第j个滑模面sj=0，对应于控制矢量u中的第(m-j+1) 个元um-j+1，依次组成在n,n-1,…,n-m维的超平面上。根据式(6)，把s=Cx=0代入

可得

其中，Am是一个m×m矩阵，且其元可由n×n矩阵A的元递推关系算出。假设滑动模态s1=0由第m个控制成分um控制，有：

(7)

(8)

式中:F3=〈aj,c1〉-c1j〈an,c1〉;

aj,bj----分别为矩阵A及B的列矢量;

〈…,…〉----矢量的内积，且不等于零。

将式(7)、式(8)代入式(1)，得到在滑动模态s1=0上的系统运动为

(9)

式中:x1,U1----分别为n-1及m-1维列矢量,x1=[x1,…,xn-1]T,U1=[u1,…,um-1]T;

A1,B1----分别为(n-1)×(n-1)及(n-1)×(m-1)维矩阵,其元各为

(10)

式中：F4=〈ai,c1〉-c1j〈an,c1〉。

再设同时在滑动模态s1=0及s2=0上系统的运动描述为(n-2)维方程

(11)

以此类推，同时在滑动模态s1,s2，…,sk上系统的运动由(n-k)维方程来描述

(12)

2)滑模控制律的设计，使其满足系统到达条件，确保滑模面上可以形成滑动模态区。

3 滑模变结构控制律设计

3.1 双幂次指数趋近律的提出

20世纪80年代，高为炳[14]提出趋近律的想法，并设法构造出幂次趋近律

(13)

当系统状态临近滑模面时，趋近速度会随着距离减小而减慢，这样有利于抑制抖振，但当系统状态离滑模面越来越远时，趋近速度小，趋近时间长的问题就会出现。为改善这一缺陷，更进一步抑制抖振现象，文中将提出一种改进的滑模控制方法，即双幂次指数趋近律的滑模变结构控制。

(14)

其中，0<α<1,β>1,k1>0,k2>0。

文中提出的滑模控制方法以|s|=1为分界点，将系统到达滑模面的过程分为2个阶段：

第一阶段：系统接近滑模面时动态品质，即|s|<1，此时由式(15)可知，ε1越大，趋近速度变快，但抖振也随之变大;α越小，抖振变小，但趋近速度却变慢。

第二阶段：系统离开滑模面时动态品质，即|s|>1，此时同样由式(15)可知，ε2越大，趋近速度变快的同时抖振也增大;β越小，抖振变小,但趋近速度却逐渐变慢。

由于当|s|>1时，-ε1|s|αsgn(s)所起作用越小，可忽略其对系统的影响；当|s|<1时，-ε2|s|αsgn(s)所起作用越小，可忽略其对系统的影响。这等同于将系统采用分阶段控制方法，这种方法会影响系统在分界点的平滑过渡，降低系统的动态品质。为改进这一缺点，文中加入了自适应项-k|s|λ，可以自适应地改变双幂次指数趋近速度，为了让被控对象可以及时地跟踪期望轨迹和靠近滑模面时可以具有较好的动态品质，文中又在双幂次指数趋近律的基础上增加了|s|λ项，因此定义|s|<1。根据项-k|s|λ可知，当λ变大时，被控对象趋近速度加快，系统响应速度也随之变快;当增大k时，被控对象接近滑模面的动态品质也逐渐提高。

3.2 滑模变结构控制的性质

3.2.1 滑动模态可达性

若运动点与远离切换面之间的距离较远时，应该使得运动点能够向靠近切换面的方向运动，就是启动条件是满足能达条件。因为

-ε1|s|α+1-ε2|s|β+1-k|s|λ,

(15)

所以式(15)满足条件。

3.2.2 系统到达滑模面时间有限性

假定初始状态s(0)>1，把系统到达滑模面的过程分为2个阶段：

第一阶段:当|s|<1时，项-ε1|s|αsgns起主要作用，忽略-ε2|s|βsgns，式(15)则可以写为

(16)

即系统从初始状态到达s(t)=1的过程，当s=1时有

(17)

式(17)两边同乘s-α，则有

(18)

令z=sλ+1-α,则

(19)

两边同乘1-α，得到

(20)

(21)

第二阶段：当|s|>1时，项-ε2|s|βsgns起主要作用，忽略-ε1|s|αsgns，式(13)可变为

(22)

因此，系统从s(t)=1到达滑模面平衡点的时间

(23)

结合式(21)、式(23)总的到达时间为

(24)

由式(23)和式(24)可以看出，系统到达滑模面时间同时还与k和λ有关。因此，改进的双幂次指数趋近律的滑模控制器可以在有限时间内到达平衡点。

4 仿真实验分析

通过Matlab/Simulink进行仿真实验，滑模控制器Simulink仿真结构如图5所示。

图5 改进趋近律滑模控制算法的Simulink仿真结构

基于改进趋近律的抖振跟踪曲线如图6所示。

由图6可知，采用单幂次数趋近律，刚到达滑模面时，抖振较大，且呈高频抖振，而采用双幂次指数趋近抖振频率明显优于单幂次指数。

基于改进趋近律的角度跟踪曲线如图7所示。

图7 基于改进趋近律的角度跟踪曲线

基于改进趋近律的角速度跟踪曲线如图8所示。

图8 基于改进趋近律的角速度跟踪曲线

由图7和图8可知,双幂次指数趋近滑模面的速度较快，在刚到达滑模面时的频率偏低，系统抖振比较弱，随后抖振又迅速减弱，最后逐渐趋于稳定。这表明双幂次指数趋近律方法明显降低了系统刚到达滑模面时的抖振频率,并且较好的抑制了抖振。

基于改进趋近律的角度跟踪误差曲线如图9所示。

图9 基于改进趋近律的角度跟踪误差曲线

图9中角度跟踪误差进一步验证了此结论。

5 结 语

针对单指数趋近律控制算法系统状态到达滑模面时抖振频率大与时间长的问题，对传统滑模变结构进行了改进，提出一种双幂次指数趋近律的控制策略，并进行分析验证。

根据改进趋近律完成了控制器的设计，最后将单指数趋近律与双幂次趋近律进行对比仿真，结果表明，改进后的滑模变结构控制算法有较好的系统动态品质，可以降低系统状态到达滑模面时的抖振频率，且最大限度地削弱系统抖振，快速跟踪给定的期望轨迹，提升了算法的动态品质。