弄清问题 踩点得分

毛亚玲

围绕平行四边形知识点的考查，同学们在答题时时常会出现“会而不对”“对而不全”的现象。如何做到规范解答？跳步、漏步的原因是什么？怎样才能做到步步得分呢？下面我们结合具体题目，尝试用“踩点得分”的方式去分析问题、解决问题。

例 （本题满分8分）已知：如图，在?ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。

（本小题5分）（1）求证：四边形GEHF是平行四边形;

（本小题3分）（2）已知AB=5，AD=8。当四边形GEHF是矩形时，求BD的长。

【分析】条件有3个：?ABCD;G、H分别是AD、BC的中点;AE⊥BD，CF⊥BD。从第（1）问为5分来看，平行四边形的判定需两个条件，各2分，结论1分。从此入手，3个条件如何组合，可以得出平行四边形判定的两个条件呢？按照分类来看有三种可能，第一种和第二种我们可以用下面的框图来表示。

第一种：

第二种：

那么第三种情况：?ABCD与G、H分别是AD、BC的中点这两个条件的组合可以尝试吗？选择连接GH，设GH与BD相交于点O，这里容易产生的逻辑漏洞是直接得到点O是BD的中点，这也就是缺步骤、跳步骤的源头。正确的做法应该是继续连接BG、DH，去证明四边形BGDH是平行四边形，从而得到O是BD、GH的中点。进一步的证明可得到OE=OF，进而证得四边形GEHF是平行四边形。下面我们选取第二种组合来分析如何做到踩点得分，其他两种大家可以自主尝试。

（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°。（1分）

∵G、H分别是AD、BC的中点，

∴EG=DG=[12]AD，FH=BH=[12]BC，

∴∠GED=∠GDE，∠HBF=∠HFB。（3分）

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴EG=FH，∠GDE=∠HBF，

∴∠GED=∠HFB，

∴EG∥FH，（4分）

∴四边形GEHF是平行四边形。（5分）

【点评】第（1）问的证明分为四个逻辑块，也就是四句。第一句由垂直得直角，基于直角三角形的前提不能省;第二句里面有两个得分点，一个是线段相等，还有一个是角相等;第三句得对应边相等且平行;最后一句下结论得证。我们可以用同样的方法来解决第（2）问。

【分析】第（2）问强化了条件，四边形GEHF是矩形。我们先弄清BD的构成，BD=BE+EF+FD，发现BE和FD可以用全等三角形证明相等，而EF=GH，并且可以通过证明四边形ABHG是平行四边形得到EF=GH=AB=5。因此，问题的关键转化为求BE的长。

（2）解：连接GH，∴当?GEHF是矩形时，EF=GH。

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC。

∵G、H分别是AD、BC的中点，

∴AG=[12]AD，BH=[12]BC，

∴AG=BH，AG∥BH，

∴四边形ABHG是平行四边形，

∴EF=GH=AB=5。（1分）

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°。

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，∠ABD=∠CDB，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴BE=DF。（2分）

设BE=x，则DF=x，ED=5+x。

∴52-x2=82-（5+x）2，解得x=1.4，

∴BD=7.8。（3分）

【点评】由矩形想到对角线相等，这是从线段角度入手来解决第（2）问。将BD分解之后，逻辑块分成三句：第一句证明GH=AB=5;第二句证明BE=DF;第三句也是最难的，利用两次勾股定理构造方程求解BE。如果由矩形联想到的是直角，从角度入手的话，你会发现什么？提示一下，可以通過相似三角形来解决第（2）问。

（作者单位：江苏省南京市金陵中学仙林分校中学部）