远程火炮弹丸起始扰动的动力学特性

丁树奎，王良明，杨志伟，丁旭冉

(1.中国北方工业有限公司, 北京 100081; 2.南京理工大学 能源与动力工程学院, 江苏 南京 210094)

0 引言

远程火炮射击时弹丸出炮口的起始扰动是影响地面密集度的重要因素，减小弹丸起始扰动是提高武器系统射击精度的重要途径[1]。无论是火炮设计还是弹药设计，都不可避免地涉及到起始扰动问题。由于起始扰动理论研究的不足，常常对武器装备研制造成困惑。

弹丸起始扰动的形成与火炮振动和弹丸膛内运动密切相关，涉及火炮、弹药及弹与炮(简称弹炮)耦合作用等多方面的影响因素。要准确进行弹丸起始扰动的分析，需要建立复杂的动力学系统。目前主要有两类研究方法：一是对全炮系统动力学开展研究，采用多体系统动力学、结构动力学等方法，对火炮的振动特性进行试验和仿真分析，方法侧重火炮系统研究，多不考虑或简化弹丸的影响，此类方法可以得到火炮的跳动和炮口振动等动力学特性以及影响炮口振动的主要因素[2-8]；二是基于弹炮耦合作用，研究弹丸在膛内的运动规律以及弹丸引起的火炮振动，从而得出各种因素对弹丸起始扰动的影响[9-15]。其中，文献[10-12]从不同的角度对弹炮的相互作用进行描述，为弹丸膛内运动和起始扰动研究奠定了重要的理论基础。然而，由于起始扰动的复杂性，理论结果与实际情况仍存在较大差异，尚需继续开展系统深入的研究。

本文结合工程实际遇到的问题开展研究，重点研究弹炮间隙、弹丸质量偏心、膛内火药气体泄漏、炮架跳动、身管振动等对弹丸起始扰动的影响。首先，对火炮振动环境下弹丸膛内运动进行了描述，系统分析弹丸在炮膛内的受力情况，提出弹丸受力的表达形式，基于凯恩动力学方法建立火炮动坐标系下弹丸运动微分方程组，为分析各种因素对弹丸膛内运动规律和起始扰动的影响提供理论基础。然后，以某155 mm远程火炮为例，对弹丸起始扰动的形成过程和各种因素的影响进行仿真分析，得到影响弹丸起始扰动的主要因素，同时对本文提出的动力学模型正确性进行了验证。与现有方法比较，本文对弹丸在复杂环境下的运动进行了创新描述，提出弹丸膛内受力和力矩的新模型。本文首次实现了对膛内火药气体泄漏、弯曲身管以及身管弹性振动和炮架跳动等对弹丸膛内运动和起始扰动的影响进行仿真分析。

1 火炮动坐标系下弹丸运动微分方程组

1.1 坐标系定义

1.1.1 火炮坐标系Gxgygzg

如图1所示，原点G取为火炮身管理论轴线上的一点，Gxg轴沿身管理论轴线方向，指向炮口为正，Gyg位于铅垂平面内，并垂直于Gxg轴，指向上方为正，Gzg按右手定则确定。火炮坐标系与火炮身管理论轴线固连，随火炮和身管运动，能反映火炮的跳动和身管的后坐运动。对于刚性直线身管来说，火炮身管理论轴线即为实际身管轴线；对于弯曲或弹性振动身管来说，火炮身管理论轴线为所选定的某个参考直线，可用于描述火炮身管的弯曲度或弹性振动大小。

图1 坐标系

1.1.2 基准坐标系Exeyeze

与地面固连，假设为惯性坐标系。火炮射击前，基准坐标系Exeyeze与火炮坐标系Gxgygzg重合。任一时刻，火炮坐标系可视为基准坐标系按3-2次序转动φg1和φg2角后得到。

1.1.3 身管坐标系Axayaza

原点A取为任一时刻过弹丸弹带中心且垂直于火炮身管理论轴线的平面与火炮身管实际轴线的交点，Axa轴沿身管当地切线方向，指向炮口为正，Aya在铅垂平面内，垂直于Axa轴，指向上方为正，Aza按右手定则确定。身管坐标系可由火炮坐标系平移至点A后按3-2次序，转动φag1和φag2角后得到。对于刚性直身管，φag1和φag2为0 rad；对于弯曲或弹性身管，φag1和φag2为身管在A点的当地斜率。

1.1.4 弹轴坐标系Bxbybzb

原点B取为弹丸弹带中心，Bxb轴沿弹轴方向，指向弹顶为正，Byb在铅垂平面内，垂直于Bxb轴，指向上方为正，Bzb按右手定则确定。弹轴坐标系Bxbybzb可由身管坐标系按3-2次序，转动φb1和φb2角后得到。弹轴坐标系也可由基准坐标系按3-2次序，转动φ1和φ2角后得到。φ1和φ2为任一时刻弹轴与身管理论轴线的夹角，有

φ1=φg1+φag1+φb1，

(1)

φ2=φg2+φag2+φb2.

(2)

1.1.5 弹体坐标系Cxyz

原点C取为弹丸质心，可由弹轴坐标系平移至弹丸质心后绕Bxb轴转动γb角得到，γb为弹丸相对身管的自转角速度。

1.2 弹丸运动描述

弹丸在膛内的运动过程可分为全约束期、半约束期和后效期，这里暂不考虑后效期的影响。弹丸从开始运动至弹丸定心部脱离炮口时刻为全约束期；从全约束期结束至弹带脱离炮口为半约束期。膛内运动期间弹丸弹带受到炮膛的严格约束，弹带中心只能沿炮膛轴线运动。

全约束期内定心部受到膛壁约束，弹丸只能在弹炮间隙内运动，如图2所示。半约束期内定心部已脱离炮口，弹丸可以绕弹带中心作摆动运动，如图3所示。

图2 弹丸在全约束期内运动

图3 弹丸在半约束期内运动

因此，膛内运动期间，弹丸的运动包括：1)弹带中心沿炮膛轴线向前运动；2)弹丸在膛线导转下作自转运动；3)弹丸相对弹带中心作二自由度摆动运动。由于膛线的约束作用，弹丸的轴向运动和自转运动是不独立的。在全约束期内，定心部与膛壁的约束作用，可采用弹性接触模型来描述。因此，弹丸在膛内运动期间作三自由度运动。

任一时刻，弹丸质心的位置矢量R可表示为

R=rg+rb+rc，

(3)

式中：rg为火炮坐标系原点G相对地面基点E的位置矢量，rb为弹带中心B点相对G点的位置矢量，rc为弹丸质心C点相对弹带中心B点的位置矢量，可分别表示为

rg=xgie+ygje+zgke，

(4)

rb=xbig+ybjg+zbkg=

xbig+yajg+zakg，

(5)

rc=xcic+ycjc+zckc，

(6)

ie、je、ke为地面坐标系各坐标轴的单位矢量，ig、jg、kg为火炮坐标系各坐标轴的单位矢量，ic、jc、kc为弹体坐标系各坐标轴的单位矢量。假设弹带中心的横向位移与对应的身管横截面中心的横向位移相同，于是有yb=ya，zb=za.

设任一时刻，弹丸质心的速度v和弹丸总的角速度ω可分别表示为

v=vg+vbg+ωg×rb+ω×rc，

(7)

ω=ωg+ωag+ωba，

(8)

式中：vg为火炮坐标系原点G的运动速度；vbg为弹丸弹带中心B点相对火炮坐标系原点G在火炮坐标系中的相对速度；ωg为火炮坐标系的转动角速度；ωag为身管坐标系相对火炮坐标系的转动角速度；ωba为弹体坐标系相对身管坐标系的转动角速度。因此，有

(9)

(10)

(11)

ωg=ωgxig+ωgyjg+ωgzkg，

(12)

ωag=ωagxia+ωagyja+ωagzka，

(13)

(14)

ωba=ωbaxib+ωbayjb+ωbazkb，

(15)

(16)

(17)

式中：d为炮膛直径；η为膛线缠度。

对应于弹丸三自由度运动，可选取广义速度为

(18)

则弹丸的速度和角速度可分别表示为

(19)

vt=vg+vagt+ωg×rb+ωat×rc，

(20)

ωat=ωg+ωagt，

(21)

ωt=ωat，

(22)

(23)

(24)

式中：n为系统自由度，n=3；偏速度vp和偏角速度ωp(p=1,…,n)，具体为

v1=v1agx+(aηib+ω1agx)×rc，

v2=jb×rc,v3=kb×rc，

(25)

ω1=aηib+ω1agx,ω2=jb,ω3=kb，

(26)

(27)

(28)

弹丸的加速度和角速度加速度可分别表示为

(29)

(30)

式中：

(aηib+ω1agx)×(ω×ic)，

ω2=ωb×jb，

这里

ωb=ωg+ωag+ωbayjb+ωbazkb，

(31)

而

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

1.3 弹丸动力学方程

根据凯恩动力学方法，弹丸的动力学方程由(38)式确定：

(38)

fp=vp·F+ωp·Mc，

(39)

(40)

F和Mc分别为作用在弹丸上的合力和对质心的合力矩，

mpq=mvp·vq+ωp·I·ωq，

(41)

(42)

m为弹箭的质量，I为弹箭的惯性张量，对于旋转对称弹箭，可表示为

(43)

Ix和Iy分别为弹箭的极转动惯量和赤道转动惯量。

1.4 弹丸受力分析

作用在弹丸上的合力和对弹带中心的合力矩F和M可分别表示为

F=Fgas+Fair+Frl+Fbn+Fdn，

(44)

M=Mgas+Mrl+Mbn+Mbnu+Mdn，

(45)

式中：Fgas和Mgas分别为膛内火药气体产生的力和力矩；Fair为弹前压缩空气产生的阻力；Frl和Mrl分别为膛线导转侧产生的力和力矩；Fbn和Mbn分别为弹带径向挤压产生的力和力矩；Mbnu为弹带阻止弹丸摆动的扭摆力矩；Fdn和Mdn分别为弹丸定心部与膛壁接触碰撞时产生的力和力矩。

作用在弹丸质心上的合力矩Mc可表示为

Mc=M-rc×F.

(46)

1.4.1 火药气体作用力

膛内火药气体对弹丸的推动力是弹丸受到的主要的作用力。闭气性能良好的弹丸，火药气体主要作用在弹丸后部，作用力基本沿弹轴方向。但由于膛内火药气体泄漏和弹丸挤进过程偏差，火药气体对弹丸的作用并不对称，除轴向推进力外，必然在弹丸上形成侧向力和力矩的作用，因此，膛内火药气体作用在弹丸质心上的力和力矩可分别表示为

Fgas=Fgasxib+Fgasyjb+Fgaszkb，

(47)

Mgas=Mgasxib+Mgasyjb+Mgaszkb，

(48)

Fgasx=0.25πd2pd，

Fgasy=0.25πd2ηfpdcos(γb+γf)，

Fgasz=0.25πd2ηfpdsin(γb+γf)，

Mgasx=0，

Mgasy=-Fgaszlgas,Mgasz=Fgasylgas，

式中：pd为弹底压力；ηf为膛内火药气体泄漏和弹丸挤进过程偏差等因素产生的非对称力系数；γf为非对称力所在的初始方位角；lgas为火药气体非对称力作用点至弹带中心的距离。

1.4.2 弹前空气阻力

弹前的空气压力，对弹丸的运动产生阻力，可表示为

Fair=Fairxib，

(49)

Fairx=0.25πd2pair，

式中：pair为弹前压缩空气的压力。

1.4.3 膛线导转侧力和摩擦力

设火炮膛线数位nrl，每条膛线导转侧力为Nrl[*]，则由膛线产生的作用在弹丸上的力和力矩分别为

Frl=Frlxia+Frlyja+Frlzka，

(50)

Mrl=Mrlxia+Mrlyja+Mrlzka，

(51)

Frlx=-nrlNrl(sinα+νrlcosα)，

Frly=0,Frlz=0，

Mrlx=0.5dnrlNrl(cosα-vrlsinα)，

Mrly=0,Mrlz=0，

式中：α为膛线缠角；νrl为膛线摩擦系数。

1.4.4 弹带径向压力产生的摩擦力

Fbn=Fbnxia+Fbnyja+Fbnzka，

(52)

Mbn=Mbnxia+Mbnyja+Mbnzka，

(53)

Fbnx=-πdhbnpbnνbncosα，

Fbny=0,Fbnz=0，

Mbnx=-0.5πd2hbnpbnνbnsinα，

Mbny=0,Mbnz=0，

式中：pbn为弹带径向压力；νbn为弹带摩擦系数；hbn为弹带宽度。

1.4.5 弹带扭摆力矩

由于弹带的弹性作用，当弹丸绕弹带中心摆动时，将提供抵抗摆动的扭摆力矩，可表示为

Mbnu=Mbnuxia+Mbnuyja+Mbnuzka，

(54)

Mbnux=0，

φb10=φb0cos(γb+γbnu0)，

φb20=φb0sin(γb+γbnu0)，

式中：kbnu和cbnu分别为弹带扭摆刚度系数和阻尼系数；φb0为弹带挤进产生的角偏差；γbnu0为弹带挤进角偏差的方位角。

1.4.6 定心部接触力

在全约束期内，弹丸定心部将与炮膛内壁发生接触，以约束弹丸在膛内运动。定心部的接触力Fdnn可采用非线性弹簧阻尼模型，即

(55)

δdn=Δdn-edn，

(56)

(57)

Δb10=Δb0cos(γb+γbn0)，

Δb20=Δb0sin(γb+γbn0)，

Δdn为弹丸定心部中心的横向位移，edn为弹丸定心部半径与炮膛半径之差，即所谓的弹炮间隙的一半，ldb为弹丸定心部中心与弹带中心的距离，Δb0为弹带挤进产生的位移偏差，γbn0为弹带挤进位移偏差的方位角。

因此，定心部接触产生的作用在弹弹带中心上的力和力矩分别为

Fdn=Fdnxia+Fdnyja+Fdnzka，

(58)

Mdn=Mdnxia+Mdnyja+Mdnzka，

(59)

Fdnx=-νdnFdnncosα，

Fdny=-Fdnn(cosγbdn-νdnsinαsinγbdn)，

Fdnz=-Fdnn(sinγbdn+νdnsinαcosγbdn)，

Mdn=rdn×Fdn，

rdn=ldbia+d(cosγbdnja+sinγbdnka)，

1.5 弹丸运动微分方程组

从动力学方程(40)式和运动关系(11)式、(16)式～(18)式，可得

(60)

(61)

式中：

(62)

方程(60)式和(61)式构成了发射过程中在火炮动坐标系下弹丸的运动微分方程组，初始条件可表示为在t=t0时：

(63)

求解弹丸运动微分方程组(60)式和(61)式，可得到弹丸在膛内的运动规律及火炮振动的影响，求解得到弹丸出炮口时的运动参量与理论值的差，即为弹丸的起始扰动。

在完成火炮系统发射过程中振动测试或仿真计算后，利用获得身管振动数据和这里所建立的火炮动坐标系下弹丸的运动微分方程组，即可对火炮振动引起的弹丸膛内运动变化及形成的起始扰动进行分析和计算。此外，该模型还可用于对静止身管和弯曲身管中弹丸的运动规律及起始扰动形成进行理论研究。

2 弹丸起始扰动计算

理想的情况下，可认为火炮静止，身管轴线为直线，即火炮身管理论轴线，弹丸沿身管轴线运动，弹轴与身管轴线一致，此时，弹丸的运动速度、角速度和角位移为

v*=(vgx+vbgx)ig，

(64)

ω*=ωbtxig，

(65)

(66)

(67)

式中：vgx为身管的后坐速度；vbgx为弹丸相对身管的运动速度；ωbtx为弹丸的自转速度。实际情况下，由于发射过载的作用，火炮受到强烈冲击，炮架和身管都会发生不可避免的振动，而且在膛内火药气体作用下弹丸的运动也极为复杂，因此，弹丸的运动必然与理想情况存在差异，这种差异一般可表示为

Δv=v-v*，

(68)

Δω=ω-ω*，

(69)

(70)

(71)

这些差异在弹丸出炮口时的大小，即为弹丸起始扰动，对射击精度产生重要影响。

3 静止身管中弹丸起始扰动的分析

3.1 静止直身管中弹丸的起始扰动分析

这是最理想的火炮情况，弹丸的起始扰动主要是弹丸在膛内的扰动运动形成的。该情况下，弹丸质心的运动速度和弹丸转动角速度，可分别简化为

(72)

(73)

(74)

v1=ig+aηib×rc,v2=jb×rc,v3=kb×rc，

(75)

ω1=aηib,ω2=jb,ω3=kb，

(76)

at=ω×(ω×rc)+(ωb×ω)×rc，

(77)

εt=ωb×ω，

(78)

ωb=ωybjb+ωzbkb,

(79)

式中：ωyb和ωzb为ωb在弹轴坐标系下分量，ωyb表示侧向摆动角速度，ωzb表示垂向摆动角速度。

在静止直身管内弹丸运动微分方程组，与(60)式和(61)式一致。

这里以某155 mm火炮为例，对弹丸在膛内的运动特性进行了仿真，图4和图5为弹丸在膛内运动期间的轴向速度和自转角速度随时间的变化规律。假设弹丸弹炮间隙为0.15 mm，弹丸质量偏心为0.5 mm，图6和图7给出了弹丸在膛内运动时弹轴的摆动角和摆动角速度的变化规律。从图6和图7中可以看出，弹丸在质量偏心所产生的离心力作用下，偏离炮膛轴线，并与膛壁发生碰撞。在炮膛的限制下，弹轴在有限的范围内摆动，摆动幅值为0.8 mrad.随着转速的增加，弹丸离心力增大，弹丸趋于贴膛运动。从试验回收的弹丸上可以看到，弹丸定心部一侧存在膛线刻痕，表明弹丸紧贴炮膛，如图8所示。弹丸定心部脱离炮口后，在很短的时间内，弹轴摆动迅速增大，达到1.1 mrad.

图4 弹丸膛内运动速度

图6 弹丸在膛内的弹轴摆动运动

图7 弹丸在膛内的弹轴摆动角速度变化

图8 某155 mm弹丸定心部刻痕照片

由于炮膛的约束，弹轴的摆动角总是比较小的，但这种运动产生的弹轴摆动角速度却是不可忽略的，如图7所示：在15.72 ms时，弹丸定心部离开炮口，全约束期结束，弹丸的垂向角速度分量为-0.27 rad/s，侧向角速度分量为-1.64 rad/s，合角速度为1.67 rad/s；在15.94 ms时，弹丸弹带离开炮口，半约束期结束，弹丸的垂向角速度分量为-1.85 rad/s，侧向角速度分量为-1.35 rad/s，合角速度为2.30 rad/s.这里，暂不计后效期的影响，则半约束期结束时弹丸的合角速度就是弹丸的起始扰动Δω，即Δω=2.30 rad/s.

起始扰动Δω将引起弹丸出炮口以后的章动运动，从而对弹丸的外弹道特性产生影响，图9给出了Δω(2.30 rad/s)产生的弹丸章动曲线，由此可见该起始扰动产生的章动角δ幅值可达2.4°.

图9 弹丸起始扰动引起的章动运动

表1～表3给出了3种因素对弹丸起始扰动的影响情况。从表1中可以看出，弹丸弹炮间隙、质量偏心和膛内火药气体泄漏对弹丸起始扰动的影响，表中Δω、Δφ和Δv⊥分别为弹丸出炮口时总的摆动角速度、摆动角和质心横向速度，可见弹炮间隙的大小对起始扰动的影响很明显。表2和表3中弹炮间隙设为固定值，即0.15 mm，由此可见在弹炮间隙不变的情况下，质量偏心主要影响起始摆动角速度和弹丸横向速度，膛内火药气体泄漏主要影响起始摆动角速度。实际上，随着弹丸质量偏心增大或膛内火药气体泄漏的增大，作用在弹丸定心部上的不对称力会明显增大，从而造成弹丸定心部出现变形和刻痕，从回收弹丸上可以发现这种情况。图10给出了膛内火药气体严重泄漏和弹丸定心部刻痕严重时，弹丸在膛内运动过程中弹轴角速度的变化情况，该情况下弹丸出炮口时起始扰动Δω达到20 rad/s.对某155 mm炮弹来说，弹丸出炮口后由此可产生19°的章动幅值，如此大的章动可能造成引信弹道早炸。研究结果在某155 mm火炮中进行了应用，通过对弹带和膛线结构的改进，提高弹丸膛内发射过程中的闭气性，如图11所示。试验结果表明，改进后弹丸起始扰动明显减小，射击密集度得到改善。

表1 弹炮间隙对弹丸起始扰动的影响

表2 弹丸质量偏心对弹丸起始扰动的影响

表3 火药气体泄漏对弹丸起始扰动的影响

图10 恶劣情况下弹丸膛内摆动角速度的变化

图11 某155 mm火炮膛内闭气改进效果

3.2 静止弯曲身管中弹丸的起始扰动分析

由于受加工工艺水平的限制，实际身管总存在一定的弯曲度，甚至存在波形弯曲，人们非常关心这种情况对形成弹丸的起始扰动以及火炮射击密集度有多大的影响。该情况下，弹丸质心的运动速度和弹丸转动角速度，可分别表示为

(80)

(81)

(82)

ωag=ωagxia+ωagyja+ωagzka，

(83)

(84)

(85)

在静止弯曲身管内弹丸运动微分方程组，与(60)式和(61)式一致。

图12给出了某155 mm火炮身管两种典型的弯曲模式。采用以上方法对弹丸在直身管和两种弯曲身管中的运动进行了仿真计算，图13和图14给出了3种情况下弹丸垂向摆动角速度和侧向摆动角速度的差异，表4为起始扰动比较。结果表明身管弯曲对弹丸在炮膛内的运动和起始扰动有明显的影响，特别是第2种弯曲模式下身管的膛内摆动运动相对影响更大些。

图12 两种身管弯曲模式

图13 身管弯曲对垂向摆动角速度的影响

图14 身管弯曲对侧向摆动角速度的影响

4 刚性身管振动对弹丸起始扰动的影响

火炮振动可分解为两种情况来分析：一是假设身管是刚性的，随炮架一起振动；二是假设身管是弹性的，在随炮架振动的同时，本身也存在弹性振动。对于刚性身管，弹丸质心的运动速度和弹丸转动角速度可分别表示为

v=vg+vbg+ωg×rb+ω×rc=

(86)

(87)

vt=vg+ωg×(rb×rc)，

(88)

ωt=ωg，

(89)

(90)

(91)

在振动的刚性身管内弹丸运动微分方程组，与(60)式和(61)式一致。

图15为某155 mm火炮由炮架振动引起的炮口振动曲线。在其他条件相同的情况下，对炮架振动和静止两种情况进行对比仿真计算，结果如表5所示，由此可见炮架振动对弹丸起始扰动影响较小，这主要是由于弹丸膛内运动时间较短，而炮架振动运动相对较慢所致。

图15 炮架振动引起的炮口位移

表5 炮架振动对弹丸起始扰动的影响

5 弹性身管振动对弹丸起始扰动的影响

采用第1节中火炮动坐标系下弹丸膛内运动微分方程组对弹丸在弹性振动身管中的运动规律进行仿真，可得弹性身管振动对弹丸起始扰动的影响。图16给出了典型弹性身管的炮口振动曲线，表6为仿真计算得到的两种振动模式下弹丸起始扰动的差异，由此可见，与刚性身管相比较，身管的弹性振动对弹丸起始扰动有明显的影响。

图16 两种振动模式引起的炮口位移

表6 身管弹性振动对弹丸起始扰动的影响

6 结论

通过仿真计算可以得出，本文提出的弹丸膛内运动微分方程组可以有效地对各种情况下弹丸的起始扰动特性进行仿真分析。仿真结果表明，弹炮间隙、弹丸质量偏心、膛内火药气体泄漏以及身管的弹性振动对弹丸起始扰动有明显的影响，特别是膛内火药气体泄漏可能造成弹丸起始扰动异常，出现大攻角飞行，对弹道性能造成严重影响。炮架的振动对弹丸起始扰动影响不是很大。研究成果可作为改进远程火炮设计和提高射击精度的理论基础。