小问题 大盘点

邹苗苗

16世纪法国数学家笛卡尔在蜘蛛结网的启发下创建了平面直角坐标系，从而将数学中的代数与几何建立了联系。在平面直角坐标系中，我们可以将平面内的点与有序数对建立起一一对应的关系。为了更精准地指导大家，老师现将涉及坐标问题的一些典型错误进行梳理归类，并剖析其错误的根源，供同学们在学习的过程中借鉴和参考。

一、对坐标的理解

例1 点M是第四象限内的一点，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（，）。

【错解】点M的坐标为（4，-3）或者（-4，3）。

【错因分析】错解是将点到x轴的距离当作横坐标的绝对值，将到y轴的距离当作纵坐标的绝对值，从而导致横、纵坐标混淆。还有的错解是混淆了坐标的符号特征，从而导致坐标符号错误。在平面直角坐标系中，确定一个点的坐标的方法为：过该点作x轴的垂线，垂足表示的数即为该点的横坐标;过该点作y轴的垂线，垂足表示的数即为该点的纵坐标。同时，在此过程中，我们会发现点（x，y）到x轴的距离为[y]，到y轴的距离为[x]。

【正确解答】在本题中，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，点M在第四象限，所以过点M作x轴的垂线，垂足表示的数为3，过点M作y轴的垂线，垂足表示的数为-4，可得点M的坐标为（3，-4）。提炼一下也可得到如下规律：到横看纵，到纵看横，符号看象限。

二、坐标的特征不清晰

例2 已知点A（b-4，3+b），B（3b-1，2），AB⊥x轴，则点A的坐标是。

【错解】依题意得3+b=2，所以b=-1，所以点A的坐标为（-5，2）。

【错因分析】通过画图，我们不难发现与坐标轴垂直的直线上的点的坐标特征：与x轴垂直，横坐标x相等;与y轴垂直，纵坐标y相等。错解是通过AB⊥x轴得到了纵坐标y相等，混淆了点的坐标关系。

【正确解答】根据题意，得b-4=3b-1，所以b=[-32]，代入点A（b-4，3+b），得点A的坐标为（[-112]，[32]）。

三、对坐标中对称的理解

例3 在平面直角坐标系中，已知点P1（a-1，6）和P2（3，b-1）关于x轴对称，则a+b的值为。

【错解】由题意得a-1=-3，b-1=6，所以a=-2，b=7，所以a+b=5。

【錯因分析】错误理解了点的坐标对称问题中横、纵坐标的关系。通过画图，我们可以得到点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。我们可以归纳出如下规律：关于横轴横不变，关于纵轴纵不变，关于原点一切皆变。

【正确解答】由题意得a-1=3，b-1=-6，所以a=4，b=-5，所以a+b=-1。

四、对坐标中距离的理解

例4 若点（6-2a，a+6）到两坐标轴的距离相等，则该点的坐标为。

【错解】令6-2a=a+6，得a=0，代入原坐标，得点的坐标为（6，6）。

【错因分析】错解是认为点到两坐标轴的距离相等就等同于横纵坐标相等，但事实上，点到两坐标轴的距离相等意味着横纵坐标的绝对值相等，而横纵坐标有正有负，所以横纵坐标应该是相等或者互为相反数的关系。因此，我们在将距离转化为坐标时，一定要考虑坐标的正负性，否则很容易出现漏解的情况。

【正确解答】令6-2a=a+6或6-2a=-（a+6），解得a=0或12，所以该点的坐标为（6，6）或（-18，18）。

例5 已知直线a平行于x轴，点M（-2，-3）是直线a上的一个点。若点N也是直线a上的一个点，MN=5，则点N的坐标为 。

【错解】由题意可知直线a是过点M（-2，-3）且平行于x轴的一条直线，直线上的任意一点纵坐标不变，所以由MN=5得点N的横坐标为-2+5=3，所以点N的坐标为（3，-3）。

【错因分析】如果能根据题意画出草图，数形结合进行分析，不难发现点N也可以在点M的左侧。

【正确解答】点N的横坐标应为-2+5或-2-5，纵坐标不变，所以点N的坐标为（3，-3）或（-7，-3）。

在涉及坐标类的问题中，上述几种错误比较常见。实际上，这些问题的出现，其根本原因是我们在解决问题的过程中没有抓住图形去全面分析问题。因此，如果我们每做一道坐标类问题，都能结合图形予以分析，做到数形结合不分离，那么错误率自然会大大降低。

（作者单位：江苏省太仓市实验中学）