基于BiLSTM-NFC的地下水埋深预测方法研究

刘 鑫，韩宇平，刘中培，黄会平

（1.华北水利水电大学 水利学院，河南 郑州450046；2.华北水利水电大学 测绘与地理信息学院，河南 郑州450046）

1 引 言

地下水埋深的变化受降雨、蒸发及开采量等多种因素的影响。地下水过度开采时，会产生地下水漏斗和地面沉降；当补给量超过开采量时，地下水埋深会变浅。因此，预测地下水埋深的变化情况对区域水资源管理至关重要。而机理模型建模预测地下水埋深容易受到物理环境的影响，存在较多不确定因素，建模时间较长。使用深度学习模型可以不依赖任何物理过程和假设，且深度学习模型具有很强的自组织及自适应能力，对于非线性分布的样本数据有很好的建模能力［1-2］，被广泛应用于供水量预测［3］、空间插值［4-5］、降水预报［6-7］、污染源识别［8-9］及水质预测［10-11］等多个领域。

对于地下水埋深的预测是经典的二分类问题，人工神经网络（ANN）可以较好地解决此类问题［12-13］，但是ANN学习能力及推广能力有限，容易出现过拟合［14-15］，导致泛化能力差，不能很好地描述复杂特征的分布情况，更重要的是ANN没有记忆能力。而长短时记忆循环神经网络（LSTM）［16］控制有记忆单元且不需要大量参数，使预测结果更依赖于过去最近的记忆。LSTM在时间序列问题上的性能优于ANN，但是LSTM在测试集的泛化能力不够理想。LSTM和ANN不能很好地根据已知数据预测未知特征，原因是它们都是单向的（前向的）且都是全连接神经网络（FC）。单向网络只能学习到单侧的信息，而有时时序问题的信息不只是单向有用，双向的信息对预测结果也很关键。FC的神经元是全连接的，会减少网络的随机性。双向长短时记忆循环神经网络（BiLSTM）［17］不仅具有LSTM的功能，而且可以先前向学习，再后向学习，最后将网络两个方向的输出结果合在一起形成网络的最终输出。

本研究以黄河下游人民胜利渠灌区地下水埋深预测为例，构建BiLSTM-NFC深度学习模型，将BiLSTM融合非全连接神经网络（NFC），使得每一次训练按一定的概率丢弃一些神经元，增加网络的随机性，最后与BiLSTM、LSTM-NFC及LSTM的预测结果进行对比分析，以期提高地下水埋深预测的精度。

2 研究区概况与数据预处理

2.1 研究区概况与数据来源

人民胜利渠灌区是新中国成立后黄河下游兴建的大型引黄灌区之一，位于河南省黄河北岸。灌区南起黄河，北至卫河，总面积1 486.84 km2。本研究利用1993—2018年新乡气象站的数据（降水、蒸发、平均气温、平均气压、相对湿度、平均风速和日照时数）、灌区地下水供应量和总开采量（渠灌量和井灌量）进行建模，预测灌区的平均地下水埋深。气象数据来自国家气象局，灌区数据来自人民胜利渠灌溉管理局。

2.2 数据预处理

为了消除量纲的影响，使得不同量纲的数据具有相同的尺度，本研究将数据进行标准化，在测试的时候再将数据进行还原。取消量纲及数值相差较大所引起的误差，不仅可以缩短建模时间，还有助于提高模型精度。

3 模型开发

3.1 双向长短时记忆循环神经网络

LSTM每层输出结果的同时会产生一个记忆输出，因此该网络具有一定的记忆性，同时加入了衰减因子让记忆进行衰减，这样LSTM能够清楚地记得最近的数据而以一定程度遗忘掉很久以前的数据，LSTM的抽象结构如图1所示（X1、X i、X j为不同时刻的输入，Y1、Yi、Y j为不同时刻的输出，NN为神经网络模型）。

图1 LSTM的抽象结构

LSTM的结构比较复杂，每一层网络在输出结果的同时会产生一个经过衰减的记忆，存储之后再传入下一层网络，输出计算的过程可用公式表达为

式中:f t、f t-1分别为t、t-1时刻的衰减因子；h t、h t-1分别为t、t-1时刻隐藏层的输出；x t为t时刻隐藏层的输入；Wf、Wc、Wo为权重（系数）；bf、bc、bo为偏置项；Sigmoid为S激活函数；Tanh为双曲正切激活函数；~C t为新学习的记忆；C t为衰减后的记忆；Ot为输出端的系数；t为时刻。

f t是由t-1时刻隐藏层的输出h t-1和输入x t结合起来，然后作用在线性变换Wf［h t-1，x t］+bf上得到的，通过Sigmoid将结果映射到0～1之间。~C t是由h t-1和x t结合起来，作用在线性变换Wc［h t-1，x t］+bc上，再通过Tanh将输出整流到-1～1之间。C t是由t-1时刻的f t-1乘以C t-1，加上t时刻的f t乘以~C t。O t决定最后输出h t的多少。

BiLSTM是LSTM的双向版本（见图2），由前向LSTM和后向LSTM组合而成，能够挖掘LSTM难以解析的规律，对于复杂的分类和回归问题表现出非常好的性能，可以弥补单向LSTM的缺点。

图2 BiLSTM的抽象结构

BiLSTM分为前向LSTMF和后向LSTMB。前向网络依次输入X1、X2、X i、X j和X n得到前向输出HF1、HF2、HFi、HFj和HFn，后向网络依次输入X n、X j、X i、X2和X1得到后向输出HB1、HB2、HBi、HBj和HBn，将两个方向的输出拼接得到［HF1，HBn］、［HF2，HBj］、［HFi，HBi］、［HFj，HB2］和［HFn，HB1］。以［HF1，HBn］为例，它是由X1在前向网络的输出HF1与X1在后向网络的输出HBn结合在一起形成的最终输出。可以看出，输入序列对于BiLSTM的两个方向神经网络是相反的，因此BiLSTM能够更好地建立数据的关联。

3.2 非全连接神经网络

FC是对第n-1层和第n层而言的，n-1层的任意一个节点都和第n层所有节点有连接。增加训练的次数，模型在训练集的误差虽然可以无限趋近于零，但是在测试集的性能往往较差，网络层数越大、参数越多，在测试集上的性能越差。NFC是对FC的一种优化，其思想是随机切断某两个神经元之间的连接，每层以一定概率P（本研究P取0.3）丢弃一些神经元，每次训练有些神经元是没有建立连接的。NFC示意见图3。

由图3可见，每次训练的时候都有神经元不参与，这样每一次训练相当于生成了一个新的模型，训练结束后被训练的模型可以看成是这些新模型的集成，从而增强网络的泛化能力。

图3 NFC示意

BiLSTM-NFC、BiLSTM、LSTM-NFC和LSTM模型都使用Pytorch框架开发，Pytorch是Python中具有图形处理单元（GPU）并行计算功能的深度学习框架。为了加快建模的速度，本研究使用深度学习的张量来存储数据，一维的张量是向量，超过一维的张量是矩阵。在导入数据时采用批处理的形式，即将一次迭代的数据长度设置为训练集的长度，这样一轮训练只需要进行一次迭代。在训练模型时，将处理单元由中央处理单元（CPU）更改为GPU，将数据从内存调入显存进行并行计算。计算时不再将全部元素按位置逐一迭代计算，而是使用同维度矩阵的运算法则来简化计算过程。

3.3 优化函数

自适应矩估计（Adam）［18］是一种自适应学习率的算法，结合了动量法（Momentum）［19］和均方根支柱（RMSProp）［20］算法的优点。Adam中动量直接并入梯度一阶矩的估计，相比缺少修正因子导致二阶矩估计可能在训练初期具有很高偏置的RMSProp，Adam包括偏置校正，经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有确定范围，使得参数比较平稳。Adam能基于训练数据迭代更新神经网络权重，该优化函数适用于处理稀疏梯度及非平稳目标的优化。Adam的表达式为

式中:m、v分别为对梯度的一阶矩估计和二阶矩估计；β1、β2分别为m、v的校正因子；g为梯度；^m、^v分别为对m、v的校正；W t+1、W t为模型参数；η为学习率；∈为避免分母为0而取值很小的数，本研究∈取10-8。

每次迭代时，计算mt、v t的移动加权平均进行更新。β1、β2的取值范围在0～1之间，本文分别取0.9和0.999。当迭代次数增加到较大值时βt1、βt2几乎为0，即不会产生任何影响，最后使用修正过的^mt和^vt对学习率η进行动态约束。

3.4 激活函数

激活函数的选择对于模型的收敛起关键性作用。如果模型采用单一激活函数，则可能出现梯度消失或激活效果不好等情况，因此本研究耦合多种激活函数来解决上述问题。

Sigmoid激活函数（见式（2））的输出不是以0为均值的，这将导致经过Sigmoid激活之后的输出作为后面一层网络输入的时候是非0均值的。Tanh激活函数（见式（4））是Sigmoid激活函数的变形，它将输入的数据映射到-1～1之间，输出变成了0均值，这就可以解决Sigmoid激活函数存在的问题，但它仍存在梯度消失的情况。最大逻辑回归（Softmax）激活函数（见式（14））将多个输出值转换成概率值，使每个值都符合概率的定义，范围在0～1之间，且概率之和为1。Softmax对输出值进行处理，它将原来较大的值放大得更大、原来较小的值压缩得更小。Softmax激活函数表达式为

式中:y i为输出矩阵的第i个元素；n为矩阵特定维度的数据个数。

线性整流单元（ReLU）激活函数（见式（15））将大于0的数据保留，将小于0的数据变成0，其计算方法简单，只需要一个阈值过滤而不需要复杂的运算。因此，ReLU能够极大地加速模型的收敛速度，它是线性的且参数更新过程中不存在梯度消失的问题。ReLU激活函数表达式为

3.5 动态学习率

静态学习率不能很好地适应模型的训练，尤其是模型收敛到一定程度时会出现频繁且周期性的震荡，使得模型不能很好地持续收敛。因此，本研究采用动态学习率，在训练的过程中设定监测机制实时监测模型误差，当模型误差持续减小时不对学习率进行更新，当模型误差出现反弹时，记录之后连续20次训练的误差，如果模型在这期间震荡就将学习率乘以0.9，而后等待10次训练之后重新启动监测机制，一直到连续两次更新后的学习率差值小于10-8时不再更新学习率。

3.6 评价标准

为了避免单一评价标准的局限性，采用均方误差（MSE）、平均相对误差（MRE）、Pearson相关系数（r）及相对误差（RE）4个评价指标检验模型的性能:

4 结果与分析

4.1 拟合结果对比分析

将数据集按照7∶3的样本数量比例进行训练集和测试集划分，即1993—2010年的数据作为训练集，2011—2018年的数据作为测试集，BiLSTM-NFC、BiLSTM、LSTM-NFC和LSTM模型采用相同的训练集和测试集。4个模型的训练与测试结果见图4。

图4 模型的拟合结果

由图4可知，4个模型的拟合效果在训练阶段都较好，但在测试阶段存在较大差别。在测试集上，LSTM和LSTM-NFC模型的偏离程度较大，BiLSTMNFC与BiLSTM的拟合效果较好。BiLSTM曲线与观测曲线前期的拟合效果较好，但后期走势却与观测值有较大偏离。BiLSTM-NFC的预测值与观测值最接近，拟合效果最好，模型最接近无偏估计。4个模型的预测值与观测值对比及绝对误差（AE）见表1。

由表1可以看出:BiLSTM-NFC模型的误差最小，且误差有正有负，拟合程度较高。BiLSTM模型的误差虽然也有正有负，但是误差值较大，误差最大的是LSTM模型。4个模型误差从小到大排序为BiLSTMNFC＜BiLSTM＜LSTM-NFC＜LSTM。

表1 模型预测值与观测值对比 m

4.2 模型性能对比分析

4个模型的训练结果见表2（训练次数为1 000），训练集的MSE越小，说明拟合效果越好，MSE为0表示过度拟合。

表2 模型的训练结果

从表2可以看出，4个模型在训练结束时，MSE都接近0.000甚至为0.000，符合模型训练的一般规律，但是过度拟合可能导致模型的泛化能力变差。没有融合NFC的2个模型MSE为0，出现过度拟合，因此准确率（Acc）高于融合NFC的2个模型。使用矩阵存储数据再加上批处理，使得模型不需要进行大量训练。训练1 000次时MSE几乎为0，学习率持续减小，但是参数已经停止更新。对4个模型进行测试，结果见表3。

表3 模型的测试结果

由表3可知，BiLSTM的4个评价指标都优于LSTM，BiLSTM-NFC的4个评价指标都优于LSTMNFC，可知双向网络的性能优于单向网络。BiLSTMNFC比BiLSTM的MSE减小了70.48%，LSTM-NFC的MSE比LSTM的MSE减小了70.09%，可知NFC可使模型的MSE明显减小。4个模型的MSE从小到大排序为BiLSTM-NFC＜BiLSTM＜LSTM-NFC＜LSTM，BiLSTM-NFC的MSE最小，比LSTM的MSE减小了96.60%。MR E的排序为BiLSTM-NFC＜BiLSTM＜LSTM-NFC＜LSTM，BiLSTM-NFC的MRE最小，说明BiLSTM-NFC模型的稳定性最强。BiLSTM-NFC的r最大，表明该模型预测值与观测值具有最优的相关关系，r从大到小排序为BiLSTM-NFC＞BiLSTM＞LSTMNFC＞LSTM。BiLSTM的Acc为85.71%，BiLSTM-NFC的Acc为100%，可见NFC可使模型具有更强的自适应能力。而LSTM融合NFC之后，Acc没有增大，原因可能是LSTM的学习能力不足。

泛化能力是模型对未知数据的预测能力，是评价一个模型优劣的重要准则。将4个模型在训练集和测试集上的MSE进行对比，结果见表4。

表4 模型训练与测试的MSE对比

4个模型的泛化能力排序为BiLSTM-NFC＞BiLSTM＞LSTM-NFC＞LSTM。在测试集上，LSTM的MSE是最差的，但是LSTM融合NFC之后，模型的MSE明显减小，由2.879减小到0.861，融合NFC的BiLSTM的MSE从0.332减小到0.098，说明NFC能够减小模型在测试集上的误差，增强泛化能力。

由表3可知，BiLSTM-NFC的MRE最小只是训练1 000次以后的结果，如果训练过程中出现频繁的震荡现象，即使误差非常小，也不能说明模型足够稳定可靠。因此，本研究进一步采用式（19）计算每个数据的RE，来最终验证模型的可靠性。4个模型RE的箱图见图5。

由图5可知:在训练集上，BiLSTM和LSTM都过度拟合，相对误差的上限和下限重合，融合了NFC的2个模型没有过度拟合，BiLSTM-NFC的上限小于LSTM-NFC的上限；在测试集上，与其他3个模型相比，BiLSTM-NFC的相对误差较小，表明BiLSTM-NFC模型更加可靠。因此，BiLSTM-NFC模型比其他3个模型具有明显优势。

图5 模型训练集和测试集箱图

Pytorch框架具有强大的GPU加速功能，数据可以在GPU上实现并行计算。4个模型分别通过第八代Intel酷睿处理器和GeForce 930MX，实现CPU和GPU上的1 000次训练，训练时间见表5。

表5 模型在CPU和GPU上训练1 000次所用的时间 s

由表5可知，与CPU相比，BiLSTM-NFC和LSTM-NFC在GPU上的训练时间分别缩短53.50%和48.62%，BiLSTM和LSTM在GPU上的训练时间分别缩短19.13%和15.88%，体现出GPU强大的加速功能。在GPU上，融合了NFC之后，模型训练时间几乎不变；而在CPU上，模型融合NFC之后的训练时间却大幅增加。在GPU上，双向网络的训练时间与单向网络的训练时间几乎一样，而在CPU上却有明显增加，可见GPU具有很强的并行计算能力。对于更高维度的矩阵，在GPU上的训练时间可能更短。

激活函数的选择对于模型的收敛十分关键。一般而言，ReLU激活函数的效果较好，但是仅使用ReLU一个激活函数，数据在层间传递时，激活函数的缺陷会被放大。本研究使用耦合激活函数（Tanh、Softmax及ReLU）来弥补单一激活函数的缺陷，ReLU激活函数与耦合激活函数的对比见表6，由表6可知，使用耦合激活函数的4项评价指标均优于仅使用ReLU激活函数的。

表6 ReLU激活函数与耦合激活函数的对比

5 结 论

深度学习模型具有非常强大的能力，能够很好地描述区域地下水数据间复杂的数量与特征关系。本研究建立4个深度学习模型，对比了4个模型对黄河下游人民胜利渠灌区1993—2018年地下水埋深预测的精度，结果表明BiLSTM-NFC模型的性能最好，并得出以下结论。

（1）使用矩阵运算、批处理及动态学习率，模型可以快速收敛，不需要进行大量训练。

（2）与BiLSTM、LSTM-NFC及LSTM模型相比，BiLSTM-NFC模型学习能力、稳定性、可靠性及泛化能力最强，测试集的MSE、MRE、r及Acc分别为0.098、0.024、0.941及100%，最接近无偏估计。

（3）双向长短时记忆循环神经网络（BiLSTM）的性能优于长短时记忆循环神经网络（LSTM），NFC可以防止过拟合，还能使模型的MSE明显减小。

（4）模型在GPU上的运行时间比在CPU上明显缩短。

（5）合理设置多种激活函数可以解决单一激活函数的弊端。