基于响应面模型的复合材料轴机械连接可靠性分析

卢永文 杨朱伟 杨 尧 魏 涛 秦 琅

(中国船舶集团公司第七一一研究所，上海 201108)

1 研究背景

传统船舶推进系统中轴系重量约占整船重量的2%(约100 t～200 t)，使用复合材料替代金属可以使轴系减重25%～80%，因此复合材料轴在船舶推进系统的传动功率密度提高上具有重要的应用前景。同时，复合材料传动轴还具备隔声减振效果，是未来船舶推进方式的重要发展方向。目前在美国海军YP-654巡逻艇、瑞典海军SMYGE气垫船以及美国Sacramento级补给舰等舰艇上均使用了复合材料轴系[1]。复合轴系中涉及到大量复合材料与其他部件的连接，连接形式包括了胶接和机械连接等形式。其中机械连接在传递载荷能力以及可维修性上具有明显优势，是复合材料连接结构的重要形式。但是在复合材料结构上开孔会对复合材料强度明显削弱，同时螺栓以及铆钉的使用还会增加结构重量。

复合材料相对金属材料具有力学性能分散性大的特点，传统的安全系数法进行结构强度设计时是通过安全系数对各变量不确定性用一个均值进行简化，会导致设计结果危险或保守[2]。在美国航空手册(MIL-HDBK-17-1F)中根据复合材料部件是否属于关键件，定义了复合材料结构设计的A基准值和B基准值，表示在给定置信度γ条件下，可以期望β×100%的样本值大于该下限值的问题[3]。因此，复合材料基准值设计法是基于力学性能的下分位进行分析，表明结构设计保守。结构的概率可靠性设计方法则是基于概率论与数理统计理论，将结构设计中的材料性能的分散性以及外载荷的随机性等不确定因素直接进行了量化，通过计算得到结构的失效概率充分考虑了材料的分散性[4]。因此对于复合材料传动轴机械连接部位进行强度可靠性分析具有重要的意义。

某型碳纤维复合材料传动轴额定工况下承担着大转矩，目前采用4倍额定工况进行确定性设计，对于材料的随机性未加以考量，因此需要对结构进行可靠性分析，对结构设计进行指导。

本文首先对结构强度可靠性分析方法进行研究，建立了基于响应面模型的结构强度可靠度计算方法。随后对某型复合材料传动轴机械连接结构进行了多种额定扭转工况下强度的确定性分析，最后基于确定性计算结果对复合材料轴机械连接部位强度可靠性进行了计算分析。

2 基于响应面模型的结构可靠性分析

2.1 结构可靠性理论

结构可靠性是指结构或结构构件在设计工作期内满足各项规定要求的能力,用可靠度来度量可靠性的大小，表示结构在设计期限内，依据设计工况使用时，保持结构的安全性、功能性以及耐久性等功能状态的能力[5]。

目前，针对结构可靠性的分析模型主要包括概率可靠性分析模型、模糊可靠性分析模型以及非概率可靠性分析模型三种。其中概率可靠性分析模型以及模糊可靠性分析模型都属于概率可靠性分析模型，概率可靠性分析模型主要针对变量可以依据大量数据统计得到其概率分布，表明了变量的客观性，而模糊可靠性模型则主要是依据主观判断来量化一些难以通过大量数据得到变量概率分布的方法，体现了变量的模糊性。非概率可靠性分析模型则完全不涉及到概率，描述的是对于一些不确定数据较少，采用集合模型来描述这些输入的不确定因素。

结构可靠性采用可靠度来进行量化，代表了结构在规定时间和条件下完成预定功能的概率，用Pr表示。由于结构的可靠性是与时间以及工作条件密切相关的，同时预定功能也是特定结果，因此在进行结构可靠性计算时必须明确。 结构可靠度受到材料性能、结构的几何尺寸以及外载荷作用等影响，这些影响因素可以用基本变量的形式来表示，并构建一个隐式结构功能函数。设随机变量为X=(X1,X2,X3,…,Xn)，则结构应力状态包括失效状态、临界状态和安全状态三种状态，不同应力状态的结构功能函数如下所示：

其中，Z(X)表示结构功能状态函数，R(X)表示结构所有抗力效应，S(X)表示结构载荷效应。

结构可靠与结构失效是两个互不相容事件，因此可以得到结构的可靠度与结构失效概率的大小满足：

Pr+Pf=1

假设随机变量的失效概率密度函数为fX(x1,x2,…,xn)，则可以得到结构的失效概率：

由Z(X)=R(X)-S(X)可以得到：

从而得到结构可靠度的大小为：

Pr=1-Pf

2.2 响应面模型

目前针对结构可靠性的计算方法包括一次二阶矩法和蒙特卡洛法，其中一次二阶矩法包括中心点法和验算点法。中心点法和验算点法是解析方法，他们的区别在于，中心点法不考虑变量的分布形式，在平均值处进行泰勒展开进行结构可靠度的解析求解。验算点法则通过对变量进行当量正态化，将不满足正态分布的变量进行变换使得其满足正态分布，进而进行结构可靠度的解析求解。

蒙特卡洛法是基于概率论的大数理论，通过对大量样本点进行统计计算，失效次数与总的试验总次数的比值就是结构的可靠度。由于蒙特卡洛法的理论基础是大数理论，因此在使用蒙特卡洛法进行可靠性计算时没有太多的限制。但是如果需要更为可靠的计算结果则需要进行成千上万次的试验。因此单纯使用蒙特卡洛法进行结构的可靠性计算存在计算量过大的问题。针对该问题，目前也提出了一些解决方法，主要是通过将结构隐式状态方程进行近似拟合，从而实现大大降低计算量大小。

为了解决在可靠性计算中隐式状态方程难以求解的问题，研究人员发展了响应面模型、神经网络模型以及kriging模型等近似模型，通过将目标函数、约束条件与设计变量之间隐式状态函数使用近似模型进行表达，得到了状态方程的显示表达式[6]。响应面模型具有使用简单、通用性强、独立性高以及能与多种商业软件结合等多种优点，在本文的计算中选用响应面模型进行计算。

利用响应面模型进行可靠性计算时，基于试验设计得到计算中的样本点，并选取适当的函数形式对响应面进行表示，因此响应面的函数形式会影响最终响应面拟合的效率和精度。假设响应面包括随机变量X=(X1,X2,X3,…,Xn)，可以得到目标函数与随机变量之间的响应面函数关系如下：

y=β1g1(X1,X2,X3,…,Xn)+…+
βmgm(X1,X2,X3,…,Xn)+ε

其中gm为所选取的函数形式，βm为回归系数，ε为随机误差[7]。为了评估响应面对原始模型的拟合精度，需要对响应面函数进行方差分析，计算此时的相关系数R2，相关系数越接近1表明响应面拟合效果越好。

目前应用较为广泛的函数形式是线性多项式和二次多项式，其中线性多项式函数形式待定系数较少，所需样本点少，计算量小，但缺少交叉项的考虑，对于隐式状态方程的非线性行为缺乏考虑。二次多项式在一定程度上克服了线性多项式缺乏对非线性行为考虑的问题，但是待定系数也显著增加，使得计算量大大提高。考虑到本文目的在于建立一套针对复合材料结构的可靠性计算方法，因此采用了一次多项式进行响应面拟合，其基本函数形式如下[8]。

2.3 样本设计方法

进行响应面拟合时，样本点选取会对拟合速率与精度产生影响，因此采用恰当的样本设计方法至关重要。

拉丁超立方设计方法是一种能够用样本点很好的充满整个空间的试验设计方法，其基本原理是假设在M维空间中，样本数量为N，然后将每个设计变量划分为N份，这样就可以将设计空间分为NM个子空间[9]。对于单个设计变量而言，通过N次抽样得到的样本空间就可以代表这个变量在这个设计空间中的随机分布。其具有在任一维空间中都有与样本数量相同的子区间，并且在子区间中只有有且仅有一个样本，样本在每个子空间可以随机选取。但是其不能保证样本点在空间中分布的均匀性，基于拉丁超立方设计形成了最优拉丁超立方设计方法，该方法兼顾了样本点的正交性和空间中分布的均匀性。如图1所示是九个样本点在空间中的分布对比，从图中样本点的分布可以看出最优拉丁超立方设计方法能够更好的对空间进行描述[10]。因此，本文进行响应面拟合时选用的样本设计方法为最优拉丁超立方设计方法。

图1 (1)拉丁超立方设计方法(2)最优拉丁超立方设计方法

3 算例

3.1 复合材料轴计算模型

3.1.1 计算模型简化

本文计算模型依据某型号复合材料传动轴进行建立，针对螺栓连接结构进行了简化，建立的1/16模型如图2所示。其中复合材料轴的厚度为66 mm，铺层顺序为[±45°]，金属法兰与螺栓均采用45#钢，弹性模量210 GPa，泊松比0.3。计算选用Abaqus/Standard模块，采用C3D8R单元，单元数为7 804，节点数为20 647。对金属法兰施加固支约束，螺栓、金属法兰以及复合材料之间的接触采用罚函数来模拟摩擦接触。

图2 复合材料轴连接结构有限元模型Fig.2 Finite element model of composite shaft connection structure

3.1.2 强度准则

碳纤维增强复合材料层合结构的破坏形式分为首层失效准则和最终层失效准则，首层失效准则是当出现某一层失效时就判定结构发生破坏，最终层失效准则是当所有层都发生破坏时才判定结构发生破坏。在实际的工程应用中，出于安全的考虑，通常采用保守的设计方案，因此在本文的计算中采用首层失效准则进行损伤判断。

复合材料的失效准则包括最大应力准则、最大应变准则、Hashin失效准则以及蔡吴(Tasi-Wu)失效准则等，目前在工程应用领域Tasi-Wu失效准则应用较为广泛，因此本文的计算中选用Tasi-Wu失效准则作为材料的失效判据[11]。其具体形式如下。

式中：

在本文的计算中取I12、I13、I23为0，由此可以得到在平面应力状态下的Tasi-Wu失效准则：

当Tasi-Wu失效系数大于1时判定材料发生破坏。

3.1.3 材料

本文计算的复合材料轴使用T800纤维增强复合材料，单层板的材料参数如表1所示，单层厚度0.3 mm。

表1 复合材料单层板材料参数

3.2 复合材料轴机械连接部位强度计算

本文计算所用的复合材料传动轴额定转矩为4 000 KNm，在4倍额定转矩工况时进行强度计算，计算结果如图3所示。

图3 4倍额定转矩工况强度计算结果

由计算结果可知，在4倍额定转矩工况下复合材料传动轴的最大蔡吴失效系数为0.888<1，轴的强度满足设计要求。随后计算了复合材料传动轴在5倍额定工况下的强度，计算结果如图4所示。

图4 5倍额定转矩工况强度计算结果Fig.4 Five times the rated torque strength calculation results

由计算结果可知，在5倍额定转矩工况下复合材料轴的最大蔡吴失效系数为1.110>1，强度不满足设计要求。

综合上述强度计算结果可知，复合材料传动轴在4倍额定转矩工况下强度满足设计要求，而在5倍额定转矩工况时则不安全。因此需要考虑材料分散性对结构强度的影响，对4倍额定转矩时的结构强度进行可靠性分析。

3.3 结构强度可靠性计算

通过3.2中的确定性分析分析结果，得到了有限元计算的模型输入文件(.inp)和计算结果文件(.dat)。基于响应面的结构可靠性计算方法，在Isight中对状态方程的响应面进行拟合并进行蒙特卡洛模拟，搭建的计算流程如图4所示。

图5 在Isight中搭建的计算流程

根据拟合的响应面的精度的不同，需要的样本点数量也存在差异。对4倍额定转矩工况的结构可靠性进行分析，选取20个样本点进行线性响应面拟合，得到此时响应面拟合精度R2=1.00，证明拟合的响应面能够很好的对原始状态方程进行描述。

随后对拟合得到的响应面进行10万次蒙特卡洛模拟，得到结构可靠度为0.94。根据航空中对于非关键件可靠性要求的B基准值0.94，此时结构可靠度0.94>0.90，说明目前结构设计给予的安全系数4满足可靠性要求。由于此时结构强度可靠度高于B基准值，因此可以降低此时结构可靠度，通过减少目前结构铺层厚度来提高材料利用率。

如图6所示，通过分析各输入变量对输出结果的影响，得到影响结构的蔡吴失效系数最大值的主要输入变量为X1t、X2t和。其中X1t、X2t与蔡吴失效系数的大小呈现负相关，G23与蔡吴失效系数的大小则呈现正相关。因此可以在保持结构厚度不变的情况下改用X1t、X2t更小或G23更大的复合材料进行传动轴的结构设计。

图6 4倍额定转矩时各输入变量对输出结果的影响

4 结论

通过对结构可靠性计算方法进行研究，建立了基于响应面模型的结构可靠性分析方法，并利用Isight集成Abaqus，计算了复合材料轴机械连接部位强度可靠度大小，获得的主要结论如下：

(1)建立了一套基于响应面模型的复合材料结构可靠性分析方法，通过对隐式状态方程近似拟合，解决了复杂结构状态方程难以求解的问题，具有重要的工程意义；

(2)根据复合材料轴机械连接部位的结构强度可靠度的计算结果，在4倍额定转矩工况下的结构可靠度满足B基准值要求。因此，在可靠度满足B基准值的情况下，可以通过减少复合材料轴的铺层厚度来提高材料利用率；

(3)根据各输入变量对蔡吴失效系数的贡献比例，可以在保持结构铺层厚度不变的情况下改用、较小或较大的复合材料来进行轴的设计。