深挖教材例、习题价值

文 杨春霞

在平时的学习中，由于受课堂时间的限制，对于教材上的经典例题、习题，我们可能只是掌握了题目呈现形态下的解题思路，而在课后遇到类似的问题，却会感觉很陌生。下面介绍命题人常用的三种“法宝”，同学们可以借助这些“法宝”自己尝试变式。

一、强化条件再探究

“强化”能体现从一般到特殊的数学思想。通过强化条件，我们可以发现原有问题的结论会不断地发生变化，借助强化条件与原有条件的关系可以形成更多、更具体的结论。

例1（苏科版数学教材八年级下册第82 页例5）已知：如图1，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′。

求证：四边形A′B′C′D′是正方形。

【分析】因为四边形ABCD是正方形，所以四条边相等、四个角是直角。又有AA′=BB′=CC′=DD′，所以用四条相等的边去分别减这些相等的线段，就得到BA′=CB′=DC′=AD′。结合四个角是直角，就能证明所分得的四个直角三角形全等，从而得到四边形A′B′C′D′是菱形的结论。再选择一对全等的直角三角形Rt△A′AD′≌Rt△B′BA′，得到∠AA′D′=∠A′B′B。因为∠A′B′B+∠B′A′B=90°，所以∠AA′D′+∠B′A′B=90°，则∠D′A′B′=90°，这样就证得了四边形A′B′C′D′是正方形。

从原题的证明思路中我们可以发现，原题是从线段的数量关系出发，借助三角形全等得到需证图形的四边数量关系。这里的AA′=BB′=CC′=DD′，只说明数量相等，没有指明具体的AA′长度，也就是说点A′、B′、C′、D′在原正方形ABCD四边上具有一般性。如果确定AA′与AB的数量关系，是否可以得到不一样的结论呢？我们可以通过“强化”条件得到下面的变式题。

已知：如图1，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′=。

图1

求证：四边形A′B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的。

变式题没有改变原题中AA′=BB′=CC′=DD′的条件，但增加了线段与正方形边长的数量关系，因此可以先借助勾股定理表示出，再借助图形相似性质得到小正方形与原正方形的面积比为。

二、弱化条件要分类

“强化”条件可以在原有结论基础上进一步发现由“强化”条件所得出的新结论，而“弱化”条件则往往需要进行分类解答。

例2（苏科版数学教材八年级下册第69 页例3）已知：如图2，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF。

图2

求证：四边形EBFD是平行四边形。

【分析】这道题所提供的条件是“在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF”。我们可以连接BD，由▱ABCD对角线互相平分得到AO=CO，BO=DO。因为明确点E、F在AC上，且AE=CF，所以EO=FO，再根据平行四边形的判定定理证明四边形EBFD是平行四边形。此处对于“点E、F在AC上”，如果“弱化”条件，我们可以进行如下变式：

在▱ABCD中，点E、F在直线AC上，且AE=CF。试判断四边形EBFD是不是平行四边形。

这里因为“点E、F在直线AC上”，相对于原题“E、F在AC上”有所弱化，因此存在以下几种情况：

从图中可以直观判断出图4 和图5 均不能判断四边形EBFD是平行四边形；而图3则类似原题，借助连接对角线这一辅助线来证明。变式是由于点E、F所在位置条件的弱化导致了图形的不确定，因而产生分类的必要性。这里判断是不是平行四边形也存在“证实”与“证伪”的理解。证实，我们往往是借助严格的推理进行证明；证伪，我们可以通过举反例这一方法来说明。

图3

图4

图5

三、互逆条件论真假

命题存在真假，需要证实或证伪；命题也存在互逆。我们在学习命题知识时知道，并不是所有真命题的逆命题一定是真的，因此，对题目进行的另一种主要变式就是交换条件和结论，探究逆命题的真与假。

例3（苏科版数学教材八年级下册第75 页例1）已知：如图6，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=2AB。

图6

求证：△AOB是等边三角形。

【分析】这道题以矩形为基础，借助对角线AC与AB的数量关系，来探究对角线相交后所形成的△AOB是否为等边三角形。此处利用矩形对角线互相平分且相等的性质可以得出AC=BD=2AO=2BO，结合条件AC=2AB，我们就能得到AO=BO=AB，从而判断△AOB是等边三角形。原题中的条件有两个，一个是AC=2AB，另一个是矩形；结论是△AOB是等边三角形。我们可以尝试将结论△AOB是等边三角形分别与其中一个条件交换，得到一个新的问题。如：

已知：如图7，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形。

图7

求证：AC=2AB。

【分析】变式后已知△AOB是等边三角形，得到AO=BO=AB。由矩形对角线互相平分且相等，可以得出AC=BD=2AO=2BO，所以AC=2AB。

那么大家想一想，如果将例3 的另一个条件与结论互换，我们可以得到什么样的命题呢？

已知：如图8，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=2AB，△AOB是等边三角形。试判断四边形ABCD是否为矩形。

图8

判断这个命题是否成立，我们不妨举图8的反例来说明四边形ABCD未必是矩形。

同学们，我们在面对做过的数学题，尤其是教材中的例题和习题时，如果利用以上三种方式进行变式，那么书就能被我们读厚实起来；如果我们能看到众多习题之间的内在联系，解决时再借助通法切入，此时众多的习题则又可以归为“一题”，书也就被我们读“薄”了。