少量测点条件下提高结构法向振速重建精度和分辨率的方法

聂永发　朱海潮

摘要： 为了解决少量测点条件下利用近场声全息技术重建结构表面法向振速精度和分辨率不高甚至失效的问题，提出了一种基于声压声辐射模态的全息面插值算法，可有效提高结构法向振速重建精度和分辨率。计算全息面声压声辐射模态向量;根据声压声辐射模态收敛性，求取截断声压声辐射模态展开系数的最小二乘解或Tikhonov正则化解，由此计算出插值点处的声压值;利用插值后的全息面数据重建结构表面法向振速。简支平板激励仿真和音箱实验均表明，少量测点条件下利用该方法能够有效提高结构法向振速重建精度和分辨率，验证了方法的有效性。同时音箱实验验证了方法的可行性。

关键词： 声压声辐射模态; 近场声全息; 重建精度; 插值

中图分类号： O422.6; TB532    文献标志码： A    文章编号： 1004-4523（2021）01-0150-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.017

引  言

近场声全息（Near Field Acoustic Holography， NAH）的概念是Maynard等^[1]于20世纪80年代首次提出，随后基于边界元法、波叠加法、等效源法、亥姆霍兹方程最小二乘法、分布点源法等^[2?7]方法的NAH算法也得到了快速发展。NAH技术具有识别精度高、定位准确的独特优势，现已广泛应用于结构振动辐射声场的重构，噪声源识别定位等领域^[8]。

在利用NAH技术分析大型结构时，为了获得足够的倏逝波信息，需要足够多的测量点，以获得更高的精度和分辨率。测量点的增多不仅增加了测量工作量和测量成本，而且也会对识别精度产生不利影响。因此，利用尽可能少的测量点声场数据获得较高分辨率的NAH图像和足够精度的重建结果，具有十分重要的意义。数据外推技术^[9]通过在全息面外侧补零并在实空间加窗的方式来扩充全息面并减少边缘处的不连续性。Saijyou等^[10]通过一种基于空间声场变换的数据外推技术平滑地扩展了全息面外侧的数据，該方法需要源的先验信息及全息面上声学量的最高波数。Williams等^[11]引入正则化方法，基于波数域的空间滤波技术提高了声全息的重建精度，但同时也指出不能对全息面进行无限的拓展。Lee等^[12]通过求解采样?带限矩阵关系的最小二乘解，克服了传统局部近场声全息方法需要迭代的缺点。Harris等^[13]基于Hermite插值理论，利用测得的声压和切向振速对全息面进行插值，提高了NAH图像的分辨率和重建精度，但该方法测量和计算的工作量比较大。徐亮等^[14]提出了一种加权范数外推方法，该方法同时利用声压信号的波数域带宽和波数谱形状信息获得了优于传统带限外推方法的外推结果，但算法需要多次的迭代计算。张小正等^[15]提出一种基于波叠加法的插值技术，该方法通过布置在全息面附近的简单源源强实现对全息面的插值，从而实现NAH图像分辨率的增强，但算法需要预先确定虚源的位置数量。上述方法都等效地恢复了全息面上丢失的部分空间信息。

本文提出一种基于声压声辐射模态理论的全息面插值算法，该方法在证明了声辐射模态（Acoustic Radiation Modes， ARMs）具有滤波性和收敛性的基础上，以模态截断的方式，利用全息面上较少测量值对全息面进行较高精度的插值，在有效提高全息重建分辨率的同时大大提高了重建精度。该方法物理意义明确，不需要处理解的唯一性等问题，由于利用了声辐射模态的滤波特性，只滤除了全息面声压的高波数成分，保留了全部传播波和部分低波数的倏逝波成分，从而使得全息面插值的精度很高，即使在不满足采样定理的条件下，也能获得较高的重建精度，同时该方法可大大减少测量的工作量，并有效节约时间和经济成本，对促进近场声全息工程化应用有实际意义。

1 算法原理

根据声学参量的不同声辐射模态分为振速声辐射模态^[16]，声压声辐射模态^[17]和源强密度声辐射模态^[18]。目前，对传统结构表面振速声辐射模态研究得比较深入，而对于声压声辐射模态研究得还远远不够。下面首先给出声压声辐射模态的基本算法，然后讨论其滤波性质和模态截断时的收敛性，最后构建基于该理论的全息面插值算法。

1.1 声压声辐射模态

1.2 声压声辐射模态的空间滤波特性及收敛性研究

取一带有无限障板的边长为0.5 m正方形简支平板为研究对象，将平板离散为等面积单元，利用式（6）可以得到不同频率下平板的400阶声辐射模态。图1为380 Hz时未经正则化处理（γ=0）的平板前6阶声压声辐射模态，图2为380 Hz时经正则化处理（γ=0.15）后平板前6阶声压声辐射模态，很明显正则化处理后边缘效应已完全消除。

矩形平板频域的声压声辐射模态可以通过二维傅里叶变换转换到波数域。在较低频率下传播波成分主要集中在前几阶模态，如图3所示，即只有前几阶的声压声辐射模态对远场声场有贡献，高阶模态包含的主要是倏逝波成分，这些模态主要对近场的声场有作用。因此在低频时平板声压声辐射模态显示了明显的空间滤波特性，声压声辐射模态可以分为传播波模态和倏逝波模态，传播模态中包含有倏逝波的成分，但倏逝波模态几乎不包含有传播波成分。图4显示了平板在不同频率激励时利用模态截断表示的平板表面声压的收敛误差。从图4中可以看出低频时模态截断形式的表面声压收敛速度快，而随着频率的升高收敛速度放缓，因此模态截断形式的表面声压表达式在低频具有更好的适用性。

1.3 基于声压声辐射模态的NAH插值技术

式（12）即为利用全息面上少量测点对全息面进行插值的计算公式。由式（11）求解模态展开系数是一个典型的逆问题，由于测量误差不可避免，加之矩阵的条件数通常较大，求解式（11）带有典型“不适定”的特征，必须进行正则化处理才能获得有意义的解。针对不同的问题，正则化方法一般分为直接正则化方法、迭代正则化方法、带二次约束最小二乘法、最大熵正则化方法等^[19]。在声学反问题研究中常用的直接正则化方法有截断奇异值（Truncated Singular Value Decomposition，TSVD）法^[20]和Tikhonov正则化方法^[21]等。目前对于求解不适定性问题，仍没有一个通用的、适合所有模型的方法，只能根据不同的模型采用不同的正则化方法去试验，然后确定一种较好的方法应用于具体的模型^[19]。本文采用Tikhonov正则化方法求解式（11），其Tikhonov正则化解为

当激励频率为1400 Hz时，抽取的全息面测量点间距违反采样定理，此时平板主要以（3，3）阶模态振动，该模态下的结构表面振动更加复杂，包含更多的高波数成分。利用本文方法对全息面的声压进行插值处理，然后利用插值后的全息面声压值重建源面的振速。利用式（11）计算模态展开系数时不满足离散Picard条件，同样需要进行正则化处理。图7是该频率下全息面理论值、全息面插值前、全息面插值后平板表面法向振速重建图像。计算表明：插值后全息面的声压值与全息面上的理论声压值相比有所差异，全息面声压插值误差为28.36%，造成插值误差大的原因是模态截断的阶数不够多，丢失一些全息面的声压信息。在该频率下未插值的重建图像模糊不清，识别失败，重建误差为172.63%，而插值后的重建图像与理论重建图像比较一致，重建误差分别为57.51%和50.76%，虽然插值误差达到了28.36%，但误差主要是边缘重建声压数据产生的，中间部分声压的插值误差不大，所以重建误差与理论值重建误差相比不大。显然在不满足采样定理条件下，利用本文的方法也可以大大提高重建图像的分辨率和重建精度。

表1给出了4种激励频率下的插值误差，理论值重建误差、插值后重建误差和未插值重建误差。

由表1可以得出：插值误差随频率的增加而增加，当测量间距满足采样定理时，插值误差很小，小于5%;当测量间距违反采样定理时，插值误差比较大。无论测量间距是否满足采样定理，插值重建误差都比插值前重建误差要小，尤其是随着频率的升高，插值后的重建精度要比插值前的重建精度高得多，且与理论值重建精度相差不是太大。这充分说明本文方法的有效性。

声压声辐射模态具有的良好滤波和收敛特性是声压声辐射模态全息面插值后NAH重建精度的根本保证。声压声辐射模态各阶模态辐射声功率与其对应的特征值平方成正比，如图8所示为平板声压声辐射模态所对应的归一化特征值，对于1400 Hz的较高频率，也只有前50阶模态对辐射功率有贡献，即前50阶模态为传播波模态，而剩余的模态都为倏逝波模态，而且随着模态阶数的增大，模态的倏逝波成分的波数越高。高波数的倏逝波成分对NAH重建精度有很大影响，本文采用的模态截断方式恰好消除了高波数倏逝波对重建精度的影响。

基于声压声辐射模态全息面插值技术的NAH重建精度还取决于插值精度。经计算，收敛误差分别小于5%，10%和20%所需的最少测点数如表2中所示。表2中不带括号的数值表示模态截断M，括號中的数值表示N₁，即在一定频率和一定收敛误差下所需最少测量点数。由于算例中采用的最少测量点数为9×9=81个，显然在150，380 Hz频率下，从图4可以得出收敛误差远小于5%，因此可以获得同理论值重建精度相当的结果;而在1400 Hz条件下，81个测点对应收敛误差为25.83%，插值误差为28.36%，但重建误差只比理论重建误差高7%不到，而未插值重建基本失效，这正是因为声压声辐射模态的滤波和收敛特性的双重结果，滤波特性使模态截断过滤掉了影响NAH重建精度的高波数倏逝波成分，而收敛性却保留了全部的传播波成分和大部分低波数倏逝波成分。因此，所提出的基于声压声辐射模态全息面插值方法能够利用较少的测点实现较高精度的NAH重建。

为了检验算法的稳健性，在理论测量声压中加入了均值为0，方差为的白噪声，模拟实际测量阵列系统中存在的各种噪声和误差。表3列出了加入高斯白噪声后，信噪比为10 dB时，4种激励频率下的插值误差、理论值重建误差、插值后重建误差和未插值的重建误差。

對比表1和3的结果可以发现，基于声压声辐射模态的插值技术不会将误差放大，插值后的重建面上的振速重建精度仍然获得了显著的提高。因此证明本文方法在存在测量噪声的条件下也可取得较好效果，尤其是在中高频段具有较好的噪声鲁棒性，可以应用到实际的工程中。

3 音箱实验验证

实验是在空旷的厂房中完成的，图9（a）所示为实验示意图。整个实验系统由音箱声源、信号发生器、信号采集装置等部分组成。实验测量采集装置以NI公司的PXI为平台，传声器采用声望公司的MPA416阵列传声器，数据采集卡采用NI的PXI?4498模块，是一款专为高通道数的声音和振动应用而设计的高精度数据采集模块，运动控制卡采用包括16位精确度的8通道模拟输入和64位的数字输出的NI的PXI?7350模块，平面声学扫描装置为船舶振动噪声重点实验室自行设计，如图9（b）所示。实验中，由pulse软件设置信号频率分别为50，100和200 Hz，经数据采集仪产生、功率放大器处理后传输到音箱使之发声。在不失真的情况下，尽量增大音箱的声压强度。声场中布置的参考传声器保持不动，传声器阵列上的11个测量传感器阵列沿着滑轨在全息面横向网格上逐次测量，为保证测点不受移动过程中产生的轻微晃动对测量准确性的影响，测量传感器在到达测点位置处停留5 s后开始测量。采样频率为2048 Hz，每次采样时长为5 s，各个测点复声压利用单参考源传递函数法计算得到。全息面大小为60 cm（x向，即水平方向）×50 cm（y向，即垂直方向），测量网格点数为13×11，两个方向上的传声器之间的间距均为5 cm，参考传声器的数目为3个，其中两个分别贴近音箱纸盆，另一个布置在线阵架后中央，全息面距离音箱纸盆7 cm，既保证可以获得足够的声压信息，又可以减少噪声的干扰。取重建源面的面积与全息面相等，从测量的声压数据中间隔一个传声器均匀抽取出7×6个数据作为插值前的全息面测量数据，利用本文方法对全息面进行插值。

图10（a），11（a）和12（a）分别为声音频率为100 Hz时，未插值时全息面上的测量值，插值后全息面上的测量值，全息面上的实际测量值。对比图10（a）和12（a）可以发现未插值的全息面因为传声器的间隔较大丢失了大量的空间细节信息;对比图11（a）和12（a）可以发现利用本文插值方法得到的全息面测量值部分恢复了因为传声器间隔过大而丢失的空间细节信息，插值后的全息面声压值与实际测量值相比插值误差为15.26%。50 Hz时的插值误差为19.90%，200 Hz时的插值误差为11.08%。由于实验条件限制，不可避免地受到干扰噪声的影响，如在消声室条件下，插值误差应该可以更小。

图10（b），11（b）和12（b）分别为声音频率为100 Hz时，未插值的源面重建法向振速，插值后源面重建法向振速和实际测量值重建的源面法向振速，对比可以发现：利用未插值的全息面声压数据重建无法识别出两个音箱的位置，而利用插值后的全息面声压数据可以清楚地识别出两个音箱的位置，与实际音箱位置一致，在幅值上也与实际测量值的重建结果基本一致，误差为25.92%。在其他几个频率的实验结果与100 Hz时的实验结果相类似，音箱实验说明了本文方法在实际噪声源识别中有效性和可行性。

4 结  论

将频域声压声辐射模态转换到波数域后，研究发现声压声辐射模态具有空间滤波特性，且在中低频用声压声辐射模态叠加形式表示的全息面声压具有较好的收敛性，频率越低收敛性越好，即利用前几阶的模态叠加就能达到很高的精度。利用声压声辐射模态在波数域的滤波特性，提出了一种基于声压声辐射模态的全息面插值算法。该算法可利用较少的实际测量声压数据通过全息插值有效提高重建源面法向振速的重建精度和分辨率，并可简化测量过程，节约测量成本。研究表明该算法在满足采样定理条件下，插值误差非常小，重建精度和分辨率与理论重建相当;在违反采样定理条件下，虽然插值误差增大，但其重建精度与理论重建精度相比下降不是太多，远远高于插值前的重建精度和分辨率。矩形平板仿真结果表明了该方法的有效性，音箱实验表明了该方法在实际工程应用中的可行性。该算法只需要全息面的部分声压信息，不需要源的先验信息和处理虚拟源等问题，原理简单，计算方便，更适用于实际的工程应用。

致谢  感谢船舶振动噪声重点实验室在实验场所和器材上给予的保障，感谢毛荣富博士在实验方面给予的指导，感谢郭亮和苏俊博在实验过程中给予的帮助。

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Abstract： Under condition of a small amount of measured pressure data， to solve the problem of low structure surface normal velocity reconstruction accuracy and resolution or even reconstruction failure using near field acoustic holography technology， a holographic surface interpolation algorithm based on the acoustic radiation modes that can effectively improve the structure normal velocity reconstruction accuracy and resolution is proposed. Firstly， the acoustic radiation modal vectors of holographic surface are calculated; Then， according to the convergence of pressure acoustic radiation modes， the least square solution or Tikhonov regularization solution of the truncated expansion coefficient of pressure radiation modes is obtained， and the pressure values of the interpolated point can be calculated; Finally， the structure surface normal velocity is reconstructed by the interpolated hologram data. Both the simple supported plate simulation and the speaker experiment show that the proposed method can effectively improve the reconstruction accuracy and resolution of the normal velocity of the structure surface with a small quantity of known pressure values， and the effectiveness of the proposed method is verified. Meanwhile， the feasibility of the method is verified by the speaker experiment.

Key words： pressure acoustic radiation modes; near-field holography; reconstruction accuracy; interpolation

作者簡介： 聂永发（1978?），男，博士后，工程师。电话：13591749733;E-mail：Yongfnie@163.com