非线性电磁振动能量采集的辨识研究

吴鹏飞　袁天辰　杨俭

摘要： 提出一种单自由度电磁振动能量采集器的系统辨识方法——电压映射方法，该方法基于恢复力曲面法的辨识思想，在系统恢复力函数、电磁机电耦合函数和等效电感函数的具体形式未知的情况下，能准确辨识出具有强非线性的恢复力函数、电磁机电耦合函数和等效电感函数。利用两个典型的非线性模型算例进行验证：一是含有非线性弹性恢复力的电磁振动能量采集器系统（电学方程部分为线性）;二是既含有非线性弹性恢复力，又含有非线性电学方程的复杂电磁振动能量采集系统。利用龙格库塔法计算得到以上两个算例在简谐振动激励下的时间历程响应，运用上述提出的辨识方法成功辨识得到系统含有的非线性弹性恢复力、阻尼恢复力、电磁力和电感电压，进而得到对应的非线性刚度函数、阻尼函数、电磁机电耦合函数和等效电感函数，结果显示辨识结果与准确结果有良好的一致性，验证了本文所提出方法的有效性和准确性。

关键词： 电磁振动能量采集; 系统辨识; 电压映射法; 非线性

中图分类号： TM619; TB123; O322    文献标志码：     文章编号： 1004-4523（2021）01-0116-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.013

引 言

非线性振动现象广泛存在于工程实际中，通过建立系统的数学模型来描述非线性系统特性和行为是研究非线性问题的关键。对于很多领域，因为系统比较复杂，一般不能用理论分析方法直接得到系统的数学模型，需要通过实验的输入输出数据来确定系统的数学模型^[1]。系统辨识为非线性振动系统的特性研究提供了有效的解决方法。非线性系统辨识根据系统模型是否已知，可以分为参数辨识和非参数辨识^[2]，非参数辨识别方法可以处理很难用特定函数来描述非线性模型的问题。根据时域和频域分布可以分为时域法和频域法，以及时?频相结合的混合法^[3]。

电磁式振动能量采集器得到了广泛的研究。王佩红^[4]研究电磁式振动能量采集器的工作原理，建立了采集器的物理模型，并且详细介绍了国内外研究的现状，分析了未来面临的困难和挑战以及发展趋势。邵玮^[5]利用电磁感应定律设计了电磁振动能量采集器，通过对该结构的物理模型进行理论分析，得出了电磁采集器设计的一般准则。邓露等^[6]提出了一种为桥梁健康监测传感器供电的双自由度磁悬浮式振动能量俘能器，建立了采集器的物理模型，并且推导了采集器的动力学模型和机电耦合方程。中国很多学者已经对压电式采集器的参数辨识有了深入的研究，然而对电磁式振动能量采集器的系统辨识却研究较少。Stanton等^[7]利用谐波平衡法求解系统，并采用最小二乘法对非线性压电装置进行参数识别。窦苏广等^[8]应用快速傅里叶变换和谐波平衡法对非线性参激系统进行了参数辨识，并以杜芬方程为例进行了数值仿真。 Dick等^[9]通过频率响应方程确定了微型压电采集器的参数。黄东梅等^[10]利用Morlet小波变换对时变振动系统和典型非线性振动系统进行参数辨识，辨识出了系统的阻尼和刚度函数。Zhou等^[11]利用基于遗传算法的辨识方法辨识出了机电耦合函数和等效电容函数。无论是最小二乘法、快速傅里叶变换、Morlet小波变换还是遗传算法都属于参数辨识方法，参数辨识是基于在已知控制方程的基础上完成的。目前参数辨识方法已经向智能算法发展，在迭代寻优的过程中不仅收敛速度快，辨識精度也非常高，应用非常的成熟。然而当已知的数学模型不能完全解释实际工程振动响应，需要额外增加一个未知参数来研究系统特性时，必然会造成参数辨识成为一个奇异问题，不能得到关于未知参数的唯一解，面对只知道模型结构而不知具体准确模型的情况下参数辨识无法求解辨识结果。为了辨识得到振动的频响函数，孟新宇等^[12]利用非参数辨识方法研究了增加两项待辨识未知参数矢量对频响函数的影响。Masri和Caughey^[13]利用恢复力曲面法（或称为力?状态映射法）深入研究了系统的响应，然后再为非线性系统拟合出了合适的数学模型。文献[14]通过悬臂梁的响应数据使用恢复力曲面法成功地辨识出了非线性大型悬臂梁模型。文献[15]利用系统响应数据通过非参数辨识方法辨识得到系统的正交基函数，在未知该系统结构的先验条件下该方法得到的正交基函数总是能与系统相匹配。

本文基于恢复力曲面法的辨识思想，提出电压映射辨识方法，对电磁式振动能量采集器进行非参数辨识。前者通过构建恢复内力、位移和速度的三维点集绘制出离散分布的曲面，再利用截面法分离出恢复内力里的阻尼恢复力和弹性恢复力，最后再辨识出阻尼函数和刚度函数^[13]。电压映射法则是通过构建电压、速度和电流的导数之间的三维点集，利用截面法分离出离散曲面数据的电磁耦合数据对和等效电感数据对，从而得到电磁机电耦合函数和等效电感函数。在辨识强非线性电磁函数时该方法具有比较好的辨识效果。

1 电磁式振动能量采集器的原理及系统辨识

1.1 电磁式振动能量采集器系统的控制方程

电磁式振动能量采集系统的结构如图3所示。参数来源于Chen和Jiang^[18]、Daqaq等^[19]对电磁式振动能量采集器的设计研究，仿真时间从0采集到0.5 s，增加的振幅激励A=20g/s，所以激励从0增加到10g，外激励的振动频率为95 Hz。位移和电流响应如图4所示。

通过电压映射方法，得到电压关于速度和电流导数离散分布的曲面图，如图5所示。

曲面图一旦确定，则可以通过截面法分离出曲面数据中所需要的电磁耦合数据对和等效电感数据对，从而得到电磁机电耦合函数和等效电感函数，将辨识的结果与准确的结果对比，如图6（a）和（b）所示。辨识结果和准确结果有很好的一致性。从图中可获悉电磁机电耦合函数关于速度是呈线性变化的，符合预期函数。通过可以得到电流的导数?电感数据对，如图7（a）所示;通过可以得到速度?电磁数据对，如图7（b）所示。

将辨识得到的电磁参数代入到式（11）的力学部分，辨识得到恢复内力关于速度和位移离散分布的恢复力曲面图，如图8所示。同样采用截面法从恢复力曲面数据中得到所需要的阻尼恢复力数据对和弹性恢复力数据对，从而辨识出系统的阻尼和刚度函数，如图9（a）和（b）所示，辨识结果和准确结果有很好的一致性。

在未知非线性等效电感函数的前提下，可以先得到电压关于电流的导数和电流的离散点的辨识结果，与准确结果对比发现，辨识出的离散点都刚好落在等效电感函数关于电流的导数和电流的曲面图上，如图13（a）所示。同理，先得到电压关于速度和位移的离散点的辨识结果，与准确结果对比发现，辨识出的离散点都刚好落在电磁机电耦合函数关于速度和位移的曲面图上，如图13（b）所示。

将电磁机电耦合函数的辨识结果代入到系统的力学模型中，辨识得到恢复内力关于速度和位移离散分布的恢复力曲面图，如图16所示，同样采用截面法从恢复力曲面数据中得到所需要的阻尼恢复力和弹性恢复力数据对，从而辨识出弹性恢复力和阻尼恢复力函数，如图17（a）和（b）所示，辨识结果和准确结果有很好的一致性。

通过式（9）可以得到位移?刚度辨识结果，如图18（a）所示;通过式（10）可以得到速度?阻尼辨识结果，如图18（b）所示。

在已知系统非线性电磁函数的前提下，将辨识到的电磁机电耦合函数和等效电感函数与准确结果进行比较，如图19所示，结果吻合较好。

3 實验验证

本文设计了悬臂梁结构的电磁振动能量采集器，如图20所示：悬臂梁的一端由垫片和螺栓压紧，另一端下方安装永磁体，梁的长度可调;底座上固定有线圈，线圈有引线引出外接电阻，底座由五颗M5螺栓紧固在激振器上，给定激振器一个正弦信号的激励后，磁铁便在线圈的上方做往复振动，利用数据采集器记录底座和磁铁的加速度以及外接电阻两端的电压值。采集器的实物安装、激振器与功率放大器以及数据采集器之间的连接如图21（a）和（b）所示。

以上各个编号的含义如表4所示。

3.1 实验的过程及数据处理

实验采用正弦激励信号，振幅激励取0.2g，激振频率取7 Hz。得到激励加速度和永磁铁相对底座的加速度时间历程以及外接电阻两端的电压时间历程，仿真时间取采样的前4 s，如图22所示。

利用公式I=U/R可以得到电流随时间变化的响应， 并对电流信号做微分计算，得到每个采样时刻下的电流的导数;将永磁体的相对加速度经过一次积分和两次积分后分别得到速度响应和位移响应。

3.2 系统辨识

通过截面法分离出曲面数据中的电磁耦合数据对和等效电感数据对，从而得到电磁机电耦合函数和等效电感函数，如图24所示。

对电压?速度、电压?电流的导数辨识结果进行拟合即可得到电磁耦合系数和等效电感系数。将电磁机电耦合函数的辨识结果代入到系统的力学模型中，辨识得到恢复内力关于速度和位移离散分布的恢复力曲面图，如图25所示，同样采用截面法从恢复力曲面数据中得到所需要的阻尼恢复力和弹性恢复力数据对，从而辨识出弹性恢复力和阻尼恢复力函数，同时采用3阶多项式对弹性恢复力的辨识结果进行拟合，如图26所示。

4 结  论

本文基于恢复力曲面法的辨识思想，提出一种新的电压映射辨识方法，该方法拓宽了恢复力曲面法的辨识范围，能够对电磁式振动能量采集器进行电学函数与力学函数的非参数辨识，通过具有线性电学模型和非线性电学模型两种形式的电磁振动能量采集器对该方法进行了数值验证并辅以实验加以验证，得出以下结论：

（1）电压映射方法能够在未知系统恢复力函数、电磁机电耦合函数和等效电感函数的具体形式的情况下进行系统辨识。

（2）电压映射方法能准确辨识出单自由度振动能量采集器系统中的线性电磁机电耦合函数、线性等效电感函数、非线性阻尼函数与非线性刚度函数，当电磁机电耦合函数、等效电感函数、阻尼函数与刚度函数均为非线性时，电压映射方法依然能够准确辨识。

（3）建立懸臂梁式电磁振动能量采集装置，利用得到的实验数据进行系统辨识，得到电磁耦合函数、等效电感函数、刚度函数和阻尼函数的辨识结果，验证了电压映射方法的有效性。

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Abstract： A system identification method—voltage mapping method for a single degree of freedom electromagnetic vibration energy collector is proposed. The method can accurately identify the recovery force function with strong nonlinearity， electromagnetic electromechanical coupling function and equivalent inductance function even if the specific forms of these functions are unknown. Two typical nonlinear model examples are proposed to verify， one is an electromagnetic vibration energy collector system with non-linear elastic recovery force （the electrical equation part is linear）， and the other is a complex electromagnetic vibration energy acquisition system with nonlinear elastic recovery force and nonlinear electrical equations. Runge-Kutta method is used to obtain the time history response of the above two examples under the excitation of simple harmonic vibration， and the identification method proposed above is used to obtain the nonlinear elastic resilience， damping resilience， electromagnetic force and inductance voltage of the system. Therefore the corresponding nonlinear stiffness function， damping function and electromagnetic electromechanical coupling function and equivalent inductance function can be identified successfully. The results show that the identification results are in good consistency with the accurate results， and the method proposed in this paper is verified to be effective and accurate.

Key words： electromagnetic vibration energy acquisition; system identification; voltage mapping method;nonlinear

作者簡介： 吴鹏飞（1992-），男，硕士研究生。电话：15221627220;E-mail： 1163010647@qq.com

通讯作者： 袁天辰（1988-），男，工学博士，讲师。电话：（021）67791355;E-mail：ytcshanghai@126.com