领略数学文化，感悟数学命题

陈国林

数学文化是人类文化的重要组成部分，由于数学文化中蕴含着深刻的数学文化底蕴，因此有关数学文化试题的命制深受学者和高考命题专家的喜爱. 现在，数学文化试题已经是高考试题中不可或缺的一类试题了，随着数学文化试题的不断融入，该类试题的命制更是多彩纷呈.

一、取材经典著作

【例1】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”. 设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则 =（     ）

A. 18         B. 20          C. 22          D. 24

【解析】設这根木棰的长度为1尺，

第一天这根木棰被截取一半为 ，剩下尺a1=1- = 尺，

第二天被截取剩下的一半为 × ，剩下a2= - × = 尺，

第三天被截取剩下的一半 × ，剩下a3= - × = 尺，

第四天被截取剩下的一半 × ，剩下a4= - × = 尺，

第五天被截取剩下的一半 × ，剩下a5= - × = 尺，

则 = =24.

【评注】古今中外的数学著作中蕴含着许许多多的数学问题，此类问题的设计也一直深受高考试题的青睐，对于该类问题的解决关键还是在于能够较好的理解题目所给问题的概念和提取问题的关键信息.

二、取材著名问题

【例2】斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波拉契数列{an}定义如下：a1=a2=1，an=an-1+an-2（n≥3，n∈N），随着n的增大， 越来越逼近黄金分割 ≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以an+1、an为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（      ）

A. 20厘米      B. 19厘米      C. 18厘米      D. 17厘米

【解析】由已知有 = ≈0.618，得：an≈0.618an+1，由an·an+1=200，得0.618 a2 n+1≈200，即a2 n+1≈323.62，由于172=289，182=324，所以an+1≈18（厘米）.

【评注】对于取材世界著名问题的数学文化试题，一般多通过哥德巴赫猜想、斐波那契数列、伯努利不等式、柯西不等式、回文数、黄金分割、米勒问题、四色定理、角谷猜想、阿波罗尼斯圆、格点问题和杨辉三角等材料进行加工命制而成.

三、取材音律文化

【例3】著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”. 音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的. 我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人. 十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2（ ）12 =1（i =1，2，…，12）. 若某一半音与D#的频率之比为 ，则该半音为（      ）

A. F#           B. G            C. G#            D. A

【解析】由题意知：log2（ ）12=1（i =1， 2， …，12），∴  =2 ，故数列{an}是公比q=2 的等比数列. ∵ a4=D#，a8=a4q4=D#×（2 ）4=D#× =G，∴  = .

【评注】近年来，音律与数学问题相互结合考查的试题越来越多，其中2020年就考查了钢琴键上的“原位大三和弦”和“原位小三和弦”，除此之外，在高考真题中，还以“十二平均律”为背景进行设计出现，一般这类问题多与数列知识相关.

四、取材天文地理

【例4】天干地支纪年法，源于中国. 中国自古便有十天干与十二地支. 十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥. 天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……依此类推. 1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”. 1949新中国成立，请推算新中国成立的年份为（      ）

A. 己丑年      B. 己酉年      C. 丙寅年      D. 甲寅年

【解析】根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38=3×10+8，则1949年的天干为己，38=12×3+2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年.

【点评】数学文化的融入，不仅能够增加学生的学习兴趣，还能够促进学生的“四基”和“四能”的发展，因此一些天文历法的数学问题也应运而生，这类问题有一个共同特点，题干过于复杂，故理清题意中的各个量之间的关系是至关重要的.

五、取材古代建筑与雕塑

【例5】（1）在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图. 圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用. 山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示. 以该木塔底层的边AB作方形，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等. 以塔底座的边作方形，作方圆图，会发现方圆的切点D正好位于塔身和塔顶的分界. 经测量发现，木塔底层的边AB不少于47.5米，塔顶C到点D的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（      ）（参考数据： ≈1.414）

A. 66.1米      B. 67.3米

C. 68.5米      D. 69.0米

（2）雕塑成了大學环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像. 雕像由像体AD和底座CD两部分组成. 如图，在Rt？驻ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt？驻DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（ ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）

A. 4.0米      B. 4.2米      C. 4.3米      D. 4.4米

【解析】（1）设该木塔的高度为h，则由图可知，h= AB = 47.5×1.414=67.165（米）.

同时 = ，∴ h= = ， ≈67.9（米）. 即木塔的高度h约在67.165米至67.9米之间，结合选项，可知应选B.

（2）在Rt？驻DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，

所以BC=CD=2.3米.

在Rt？驻ABC中，∠ABC=70.5°，BC=2.3米，

所以tan70.5°= ，AC=BCtan70.5°=2.3×2.824=6.5366≈6.5（米），

所有AD=AB-CD=6.5-2.3=4.2（米），

即像体AD的高度为4.2米.

【评注】对于取材古代建筑和雕塑的数学问题，多是以测量其高度或者求解其几何体的表面积或体积为考查对象，有时还可与三视图进行结合考查.

六、取材体育运动

【例6】国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20 ∶20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29 ∶ 29时，那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球的概率为 ，甲接发球赢球的概率为 ，则在比分为20 ∶ 20，且甲发球的情况下，甲以23 ∶ 21赢下比赛的概率为（      ）

A.           B.           C.           D.

【解析】根据题意，两人后4局的比赛输赢情况只能为：①输赢赢赢，②赢输赢赢，故P= × × × + × × × = .

【评注】对于有关体育赛事的数学问题，多与比赛规则有关系，通常涉及到相互独立事件的概率，一般这类问题一是采用直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;二是间接法：正面计算较烦琐（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

七、选材实时热点

【例7】2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米、5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，则不同的安排方法种数共有（      ）

A. 72         B. 36         C. 48         D. 54

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①将选出的4人分成3组，有C4 2 =6種分组分法;

②将分好的三组全排列，对应3个崎岖路段，有A3 3 =6种情况，

则有6×6=36种不同的安排方法.

【评注】以当下热点为背景的数学试题，一直是高考的命题热点，例如以“高铁”“一带一路”“共享单车”，停课不停学”“新冠疫苗接种”等为背景进行命题，此类试题多考查概率统计相关知识，时代性特点非常明显.

八、取材古算诗题

【例8】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题;“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（      ）

A. 96里         B. 48里         C. 12里         D. 6里

【解析】由题知每天所走路程形成以a1为首项，公比为 的等比数列，且前六项的和为378，则 =378，解得a1=192，则a6=a1q5=6，即第六天走了6里.

【评注】以诗歌形式呈现，浪漫主义色彩表现突出，一方面能够培养学生的文化素养，另一方面又能对学生对数学知识的掌握情况进行检测，此类试题的出现源于我国优秀的传统数学文化，在我国古代经典的数学著作中，这样的古算诗题是相当丰富的.

九、取材古代“数学思想”或“数学图形”

【例9】（1）我国数学家邹元治利用如图证明了勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（      ）

A.           B.

C.            D.

（2）祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等. 则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图所示，将底面直径皆为2b，高皆为a的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面在距平面β任意高度d处可横截得到S圆及S环 两截面，可以证明S圆=S环 总成立，据此，短轴长为4cm，长轴长为6cm的椭球体的体积是________cm3.

【解析】（1）a=3，b=4，由题意得c=5，因为大正方形的边长为a+b=3+4=7，小正方形的边长为c=5，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，所以满足题意的概率值为1- = .

（2）因为总有S圆=S环，所以半椭球体的体积为V圆柱-V圆锥 =πb2a- πb2a= πb2a. 又2a=6，2b=4，即a=3，b=2，所以椭球体的体积V=πb2a=×22×3=16π（cm3）.

【评注】在我国古代的数学著作中记载了许许多多的数学思想和相关经典定理证明的图案，随着数学文化试题的热度不断攀升，这两类试题也在不断融入高考试题之中.

十、取材学科交融

【例10】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点L2的轨道运行. L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上. 设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： + =（R+r） . 设？琢= ，由于？琢的值很小，因此在近似计算中

≈3？琢2，则r的近似值为（      ）

A.  R    B.  R     C.   R     D.  R

【解析】由？琢= ，得r=？琢R，因为 + =（R+r） ，所以 + =（1+？琢） ，即 =？琢2[（1+？琢）- ]=  ≈3？琢2，

解得？琢= ，

所以r=？琢R= R.

【评注】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立？琢的方程，解方程、近似计算，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查.

十一、取材数学模型

【例11】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，1976年7月28日我国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（      ）

A. 100.3         B. 0.3         C. lg 1.3         D. 10-0.3

【解析】设汶川地震所释放出的能量是E1，唐山地震所释放出的能量是E2，

则lgE1 =4.8+1.5×7.8=16.5，lgE2 =4.8+1.5×8=16.8，

∴ E1 =1016.5，E2 =1016.8，∴  =10-0.3.

【评注】解决函数模型应用问题一般要经过四个步骤;（1）审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，收集整理数据信息;（2）建模：运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式（也叫目标函数）;（3）解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型或目标函数）予以解答，求得结果;（4）还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题.从新高考山東卷的试题来看，这类问题一般会给出相关模型，要求学生利用所学知识进行解决即可.

十二、取材桥梁或徽标

【例12】（1）风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形和正八边形.右下图是风雨桥中塔的俯视图. 该塔共5层，若B0B1=B1B2=B2B3=B3B4=0.5 m，A0B0=8 m，这五层正六边形的周长总和为（      ）

A. 35 m         B. 45 m         C. 210 m         D. 270 m

（2）如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记四边形OA1A2A3，OA2A3A4，…，OAnAn+1An+2，面积的倒数构成数列{an}，且此数列的前n项和为Sn，则S15值为（      ）

A. 3         B. 6         C.           D.

【解析】（1），B0B1=B1B2=B2B3=B3B4=0.5 m，A0B0=8 m.

利用等边三角形的性质可得：B1 A1=7.5，B2 A2 =7，B3 A3 =6.5，B4 A4 =6，

这五层正六边形的周长总和=6×（8+7.5+7+6.5+6）=210 m.

（2）由题意可得a1 = = =

2（ -1），

a2 = = =2（ - ），

a3 = = =2（2- ），

…，an = = =

2（ - ），

则Sn=2（ -1+ - + … + - ）=2（  -1），

故S15 =2×（  -1）=6.

【评注】以桥梁建筑为背景考查的数学问题，例如著名的“赵州桥”，可考查平面几何知识也可设计考查抛物线的标准方程和性质，对于会徽会标图案的考查，所涉及的领域较为宽泛，解题时，要注意图案内部间的数量关系.

追踪训练：

1. 阿波罗尼乌斯（Apollonius，约前262～约前190）是古希腊时期的数学家、天文学家. 师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越常人的智慧写出了经典之作《圆锥曲线论》. 该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明. 在其第七卷《平面轨迹》中提出：如果一个移动的点与两定点之间距离的比是常量（且不等于1），则它的轨迹是一个圆. 现在已知两个定点的坐标分别为A（-1， 0），B（2， 0），动点P满足 =2，则P点轨迹方程为（      ）

A. x2+y2-6x+5=0     B. x2+y2-6x+7=0

C. x2+y2-10x+7=0    D. x2+y2- x+5=0

【解析】设P（x， y），由动点P满足  = 2，得： =

=2，

化简得：4（x-2）2+4y2=（x+1）2+y2，整理得：x2+y2-6x+5=0.

2. 上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系. 图2为骨笛测量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图. 图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表1：

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（      ）

A. 公元前2000年到公元元年

B. 公元前4000年到公元前2000年

C. 公元前6000年到公元前4000年

D. 早于公元前6000年

【解析】由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为？琢，春秋分日光与垂直线夹角为？茁，则？琢-？茁即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：

则tan ？琢= =1.6，tan ？茁=  = 0.66，

tan（？琢-？茁）= = ≈0.457.

∵ 0.455<0.457<0.461，

∴ 估計该骨笛的大致年代早于公元前6000年.

3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是？兹1℃，空气的温度是？兹0℃，经过t分钟后物体的温度？兹 ℃可由公式？兹=？兹0+（？兹1-？兹0）e-kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数. 现有80 ℃的物体，放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则k约等于

（      ） （参考数据：ln 3≈1.099）

A. 0.6         B. 0.5         C. 0.4         D. 0.3

【解析】由题意可得：40=20+（80-20）e-4k，

∴ e-4k= ，

两边取对数可得：-4k=ln  =-ln 3≈-1.099，

∴ k= ≈0.3.

责任编辑 徐国坚