浅谈小学数学教学中的初等几何变换思想

潘禹妍

摘要：几何学作为数学的一大分支，随着时间的推移，越来越受到人们的重视。初等几何变换思想在小学数学中应 用较多，掌握初等几何变换思想对学生解决平面几何中的难题大有裨益。通过阅读大量文献并基于对小学数学教材的分 析，首先从概述和研究价值出发展开论述，进一步强调初等几何变换在小学数学教育中的重要地位;结合小学数学中典 型的平面几何题型，针对例题，分析解题思路;从学生、教师、教学效率等多方面考虑，提出几点对初等几何变换在小学数学教学中的思考。

关键词：初等几何;变换思想;小学数学

一、 初等几何变换思想的概述

近年来，随着新课改的实施，数学的应用性愈加受 到重视，中小学的数学教学结构也做出了相应的调整， 初等几何变换更深层次地融入数学的教学内容中。初等 几何变换作为数学教学中一种重要的解题思路，其主要 特点是图形变化。所以，在几何问题的求解过程中，掌 握图形变化规律是解题的关键所在。几何变换是初等几 何在数学教学中应用最多的现代数学思想，小学数学中 常见的变换有：平移变换、旋转变换、轴反射变换，三 者都是全等变换，皆属于初等几何变换中的合同变换。

二、 初等几何变换思想的研究意义

通过研究小学数学教材可以发现，在小学课本中已 经早早地出现了几何图形的身影。然而，由于小学生的 认知水平有限，小学课本中的几何内容的设置并不从几 何的公理体系出发，而是以小学生们已有的经历经验为 起点。以认识简单的几何形体为例，在引导学生认识正 方形、长方形、圆形等几何图形时，教师们往往会引导 学生去联想身边的实物，譬如积木玩具、课桌黑板、各 类生活用具等，以此来启发学生们将实物与几何图形相 互联系、清晰概念。而平移、旋转与轴对称内容的教学 过程，生动、有趣、直观地打破了学生头脑中对几何图 形的静态的认识，学生通过一系列的观察、操作与理解， 不仅可以慢慢构建、发展其空间观念，还为他们创新意 识的激发与培养创造了条件。

对于小学生而言，他们刚刚接触几何变换，无法对 几何变换做更加深入的解读，在遇到几何问题时，他们 并不能有意识地将题目与几何变换的相关性质相联系， 很难理解并运用几何变换的思想解决几何问题，这也就 导致了学生们解题时思维的固定性，加大了解题的难度。 因此，教师需要及时给学生灌输初等几何变换思想，帮助他 们深入理解并养成运用几何思想解决几何问题的习惯，这一 点显得尤为重要。

三、初等几何变换思想的实际应用

合同变换中的平移变换、旋转变换与轴反射变换是小学 阶段数学教学中的三类典型的几何变换。对小学生而言，他 们已具备了一些日常生活的经历与经验，对于日常生活中的 平移变换、旋转变换的现象已经有了一定的了解。例如，电 梯的上下平移运动、钟表上时针与分针的旋转运动等。然而， 几何变换的知识并未直接在教材中体现，这就需要教师在教 学平面几何图形时有意识地向学生渗透，帮助学生在面对较 为灵活的几何题目时，合理运用几何变换思想，高效解决几 何问题。

“变中藏不变”是几何构造的指导思想，找到运动过程 中的不变要素，如不变的位置、形状、大小、关系等，这些 "不变”往往就是解题的突破口，而合同变换与这些"不变” 有着千丝万缕的联系。

平移变换思想在小学数学中的应用颇多，譬如平行四边 形面积计算方法的推导教学就与平移变换思想息息相关。在 学习此知识之前，学生已经掌握了长方形的面积求解方法。 因此，在教学时，教师可以有意识地引导学生将平行四边形 与已学习过的平面图形建立联系。学生动手操作，探索交流， 易发现：截取平行四边形的任意一条高，可将平行四边形分 为一个直角三角形和一个梯形，或者分为两个梯形，随后通 过平移图形，平行四边形可转化为长方形，进而发现平行四 边形的底和髙与转化后的长方形的长和宽之间的联系，这样 一来，平行四边形面积的计算方法就呼之欲出。这一过程正 是运用了平移变换的思想，使图形与图形之间构建起了联系。

平移变换思想的运用不仅有助于面积计算公式的推导， 还可帮助学生开拓解题思维，创新解题方法。例如本题：如 图1， 一块草坪长为42米，宽为25米，它被4条1米宽的小路平 均分成了9小块，草坪的面积是多少平方米？

本题中，若学生固定思维，仅依靠原图寻找解题突破点， 则较难解决问题，但若运用平移变换的思想，将四条小路进行 平移，如图2所示，则9块小草坪就可聚集为一个长方形大草坪， 易得长方形草坪的长与宽，算得草坪的面积为：40X23=920 （平方米）。

除了平移变换思想，掌握并运用旋转变换与轴反射变换 思想对学生学习数学知识也有着不容小觑的作用。考虑到小 学生的认知水平有限，小学阶段的數学教材仅加入了平移、 旋转与轴对称的几何变换理论知识，教师从学生实际生活出 发，结合生活中常见的平移、旋转与轴对称变换的现象，引 导学生对图形的变换形成基本概念，为中学阶段更深层次的 几何学习打下基础。在教学过程中，若教师能有意识地渗透 变换思想，多方面地向学生展示旋转与轴对称的变换实例， 则有助于学生发现图形变换的多样性与几何图形的独特美感， 有利于学生发展创新思维、树立空间观念、感受并创造生活 中的美。

四、初等几何变换在实际教学中的几点思考

初等几何变换在小学数学中应用颇广，如何及时、高效 地为学生渗透几何变换思想，帮助学生理解并熟练掌握几何 变换是对教师的一大考验。因此，笔者就小学几何变换教学， 从学生与教师两个角度出发，提出几点教学思考。

（一）重视数字化的多媒体教学

与其他小学数学知识点相比，初等几何变换的教学内容 有着明显不同，其中一大难点在于它的抽象性，这就要求学 生具有较好的发散思维和联想能力。若教师运用传统的填线 作图方法，通过亲自演示来进行例题讲解，不仅操作步骤复 杂，需要花费一定时间，而且不利于学生观察整个几何变换 的过程，从而缺少对几何图形的整体认知。相反，若借助一 些好的教学手段，则能达到事半功倍之效。

我国的信息技术发展已进入新时期，将小学数学教学与 数字化的多媒体相结合逐渐成为一种主流的教学形式。譬如， 在面对部分涉及旋转变换的例题时，小学生由于缺乏空间想 象能力，往往会表现得束手无策，对于变换后的整体图形无 法完全理解，这就造成了解题上的巨大困难。针对此种困境， 几何画板充分发挥了作用。通过演示整个旋转变换过程并对 比变换前后图形的差异，期间配合教师的讲解，学生很容易 就可以掌握解题思路。此种教学模式可以为学生提供一个动 态的变换过程，让学琳几何变换有更加生动的认知，也可 以培养学生的空间想象能力，为以后的空间几何学习打下基 础。

（二） 重视自主探索的启发式教学

现阶段，多数的小学数学教学模式仍是通过教师讲解 例题引出知识点，学生进行课后习题训练巩固所学知识的 形式来完成教学任务。此种模式下，学生需要通过大量的 课后训练、步步改错才能真正掌握几何变换的知识点，而 且一旦脱离习题训练一段时间，遗忘的概率会显著增加， 必须再次讲解。如此反复，必将造成大量的教学时间的浪 费。

“授人以鱼，不如授人以渔。”与其直接传授给学生 解题技巧，不如步步引导，让学生尝试着自己探索解题方 向。此种教学模式把学生作为主体，由学生控制课程进度， 教师作为点拨人，可以充分发挥学生自身的主观能动性。 学生自己摸索出的解题方式是学生惯性思维的产物，再次 遇到相关的题目时能够顺其自然地出现在脑海里，印象深 刻且不易遗忘。

（三） 重视实践运用的趣味性教学

数学不同于语文、英语等文科，主体构成是严谨的思 维逻辑和正确的公式技巧，注重客观实际的论证，而不是 主观想象的臆断，这在很大概率上会导致数学教学的枯燥 乏味。在几何变换教学中，学生面对的都是形形色色的几 何图形，题目本身的抽象性会影响到学生的听课兴趣，使 得学生的注意力会时不时地转移，一旦分神，大概率会影 响后续的听课效果，很难再次跟上教师的节奏，兴趣就更 小了。如此恶性循环，结果就是知识点把握不住。

兴趣是学生最好的老师，对于几何变换问题，教师更 要注重学生的听课兴趣，让兴趣去激发学生的求知欲。可 以给学生设置一种实际问题的场景，把抽象的几何变换问 题变成联系生活实际的趣味问题。除此以外，也可以考虑 不定期地在课前布置一道趣味奥数几何题，激发学生的思考 兴趣，为后续的教学开展做好铺垫。

（四） 重视学生参与的互动性教学

课堂教学不是教师一个人的讲解专场，而是教师与学 生积极互动的思维碰撞。传统的几何变换教学模式是一种 知识点的单向传输，学生只需不断听取，按部就班地去解 题，其中跳过了当场反馈、困惑解答的过程，教师对于学 生的知识掌握情况也不能了解透彻，双方之间缺少沟通互 动的桥梁。

前文提到的几何画板，是一种可以提供互动性教学的 平台。一方面，几何画板的应用改变了教学形式，让学生 有更大的学习兴趣;另一方面，教师可以邀请部分学生走上讲台使用几何画板，共同参与几何变换的学习，针对 学生反映的问题集中解答。此外，互动性教学还是改变 传统师生关系的一项重要举措，有利于形成亦师亦友的 新型师生关系，在这种关系下开展教学能够有效地活跃 课堂氛围，调动学生的积极性。

五、结束语

初等几何變换作为小学数学的重要组成部分，不仅 具有独特的魅力，其实用性与重要性更是不容忽视。小 学生对几何变换思想接触尚浅，即便有了一定的理解， 遇到问题时，其应用几何变换思想的意识仍然较为薄弱， 这就需要教师做出适时、恰当的引导。兴趣是学习的基 础，教师应从学生的心理层面出发，观察学生接纳知识 的能力与水平，因材施教，甄选出最适宜的教学模式，而 不是墨守陈规、刻板教学。总而言之，掌握初等几何变换 思想，不仅能帮助学生高效率地解决几何问题，其对学生 思维层面的开拓与升华更是大有裨益。

参考文献：

[1] 阿拉腾达尔.几何变换在小学数学教学中的应用[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2012（25）.

[2] 拉玛加.小学数学几何变换思想的教学策略研究 [J].科幻画报，2020（12）.

（责任编辑：吴延甲）