画图法在三年级数学问题解决教学中的探究与运用

顾媛婷

摘要：所谓画图法，就是教师通过让学生独立模仿画图，再组织学生以小组为单位互相欣赏各自的作品，具体说出 画面的内容，试着从图中发现数学问题中隐藏的数量关系。在教学过程中，应以学生为主体，发挥学生的主动探索精神， 留给学生充足的时间去思考、探索和画图。教师应引导学生有目的地画出自己的理解，再从直观形象的画面中找到正确的数量关系。

关键词：画图法;三年级数学;探究与运用

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简 称《课标》）指出：要想使得学生面对实际问题，可以 主动尝试从数学的角度应用数学知识与方法，寻求问题 解决的对策。数学问题解决的对策及方法有很多，在沪 教版三年级教材中涉及的方法主要有：分析法、综合法、 画图法、列表法、割补法等。其中，画图法是最常用、 最直观的一种辅助方法，是指在解决问题的过程中，将 问题中的已知信息与问题用图画结合文字标注的形式表 示出来，以此帮助学生全面思考、清晰地理解问题情境 中的信息和问题，从而获取各信息间的数量关系并准确 列出对应的算式进行解答。因此，画图法在小学数学问 题解决中具有十分重要的作用，可以使学生在良好的环 境下逐步掌握发现问题、提出问题、分析问题和解决问 题的能力，同时还可以很好地促进学生抽象思维能力的 发展。

一、运用画图法的意义

纵观沪教版小学数学1-5年级10册教材，可以发现 这是一个"读图”的世界，教材中的例题呈现形式多以 情境图和实物图为主，较少以纯文字叙述的形式出现。 对于低学段学生而言，学会读图、分析图是问题解决的 基础;中高年段学生不仅要读懂图，更要会画图、画好 图。

（一）画图法架起形象思维通向抽象思维的桥梁

画图法有助于培养学生的数形结合思想，它把抽象 的文字语言变成直观的图形语言，将抽象的数量关系和 直观的图形图像紧密结合。低年段小学生以形象思维为 主，逐步向抽象思维过渡，习惯通过视觉图形进行数学 问题的思考。有些数学知识复杂抽象且难以理解，如果 能借助画图法来分析和解决数学问题，依托图来观察思 考，可以辅助小学生对数学知识的理解。这样，画图法 就架起了形象思维通向抽象思维的桥梁。

（二） 画图法助力厘清题意、凸显数量关系

借助画图法有助于学生理解复杂的问题情境，引导 学生从“情境"中走出来，将问题中有关联的、有价值 的信息提取出来，并在图中标识清楚，使得其直观地反 映出数量关系，进而使其成为解决问题的有效方法。在 对问题开展具体分析时，需要注意将数与形有机结合起 来，将图形问题转化为数量关系问题，或者将数量关系 问题转化为图形问题，使得较为复杂的问题变得简明、 形象，化难为简。

（三） 画图法教学提升教师课堂主导作用与学生主 体地位

教师引导学生感悟为什么需要借助画图法进行问题 解决，根据教授的内容选择具有代表性的各类画图方法 引导学生进行分析和归纳，在了解学生的理解情况和认 识水平的基础上，指导学生适时地对画图法进行调整等， 激发学生有效交流并获得最佳解决方案。学生借助画图 法理解题意并独立思考，在此过程中，因每个学生的思 维各异、思考角度不同，汇报时表达的方式也存在差异， 课程上生成的解决问题方法各不相同。在交流中，学生 有讨论、有质疑，对一题多解进行优劣对比，学生的思 维能力获得了深层次的拓展。

二、画图法在教学中的实践运用

《课标》中指出：在各学段中，安排了四个部分的 课程内容：“数与代数"“图形与几何"“统计与概率”“综合与实践”。沪教版小学数学教材中各年级问题解 决的教学与上述各部分知识合而为一、融为一体。以沪教 版三年级为例，数学教材中各部分涉及问题解决的例题 以及适合用画图法解决的数学问题数量如表1所示。

由表1可知，三年级上下两册例题共114个，其中， 问题解决例题共65个，占例题总数的57%;，可以运用 画图法进行教学的问题解决例题共52个，占问题解决例 题总数的80%。

由表2不难发现，示意图在问题解决例题中的应用 最为普遍。示意图与其他图示比较更简单明了、直观形 象，易于小学生理解和运用，可用圆圈、三角形、方框 等简单图形组合表示，学生想到用什么图形来表示数量 就用什么图形，其表现的形式是丰富多样的，可以直观 地揭示事物发展过程以及数量关系。下面就示意图为例 进行简单阐述。

（一）画示意图教学植树问题

以三年级上册“植树问题”为例，借助画示意图进 行教学。植树问题是一种典型的数学问题，是借助植树 中的现象研究间隔数和间隔物体的个数之间的关系，并 以此解决现实生活中常见的实际问题，如爬楼梯、锯木 头、敲钟、摆花盆、装路灯等问题，这类共性问题都隐 藏着间隔数与间隔物体的个数之间的数量关系。

这种数量关系又分三种情况，即两个端点都没有间 隔物体时，间隔物体的个数=间隔数T;两个端点都有 间隔物体时，间隔物体的个数=间隔数+1;只有一个端 点有物体时，间隔物体的个数=间隔数。在学习中，学 生会遇到两个问题：一是间隔数与间隔物体的个数读起 来比较拗口;二是这里的“1”总是困扰着学生们，到底 什么时候加上“1”，什么时候减去“1”，什么时候没 有“1”呢？教参上明确指出上述结论只要求学生通过具 体的事例寻找规律，不要求学生死记硬背，只要学生遇 到类似问题，能借助画图等辅助手段来分析、得出相应 的结论即可。

在教学过程中，笔者画出示意图，用 牛 来表示树， 用线来表示两树之间的间隔距离，这样把植树问题转化 为一条线上的棵数与相邻两棵树之间线段数的关系问题。 间隔物体的个数是“4”的棵数，间隔数就是相邻两 “4”之间的线段数。提问学生：

（1） 在示意图中，你看到了几个线段？几棵树？

（2） 像這样种两棵、种三棵，有几个线段？你能找 到这里面隐藏的规律吗？ ”

（3） 利用找到的规律试一试，推理想像一下剪88次， 会有几段？ 101段，剪几次？

我把上述“画一找一推”这样的好方法概括为“以 小见大”（依据种一棵树、两棵树和三棵树的图来找到 棵数与段数的关系，从而利用上述关系式推理出剪88次 甚至更多次的段数），由此来展开课堂教学。出示例题： “在全长200米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，可以怎 样栽？栽几棵？ ”学生提出疑惑：每隔5米栽一棵，也就 是5米为一段，像这样把200米全都画出来，太麻烦了。 交流得出：我们应该先化繁为简，先研究小数据“5米一 段，20米可以分成几段（20 + 5=4段）"来寻找规律。

笔者引导学生自主画图将文字转化成图形，如图1-图3。

在此基础上，笔者追问：“如果在小胖家的一个环 形花坛上放了8盆兰花，把花坛分成了几段？ ”学生自然 而然地提笔画图，找到图中的数量关系：棵树=段数。（如图4）而且学生发现，环形花坛属于只种一端，花盆 的个数和段数是一样的，所以花盆把花坛分成了8段。

（二）画示意图解决除法应用问题

学生在遇到复杂抽象且都是纯文字的数学知识时， 有可能会产生畏难情绪，但是他们对于图形和图像特别 敏感。针对小学生的这一特点，笔者在数学教学中运用 画图法策略，将复杂的数学题变成生动形象的图表、图 形，让学生更快、更准确地理解题意，教会学生运用画 图法来解决问题。比如，在解决有余数的除法这类问题 时，需要学生解决三个问题：一是选择乘法还是除法计 算;二是相除所得的商和余数对应的单位名称;三是理 解问题中出现的“至少、最多”的意思，确定商是否需 要“去尾”或者“进一”。

如三年级上学期“除法应用"中的练一练第3题：“某 种集邮册每页可以放9张邮票，如果113张邮票能够全部 放到这本集邮册中，那么这本集邮册至少有多少页？ “

笔者引导学生通过画一画、圈一圈，通过图形来还 原题目本意，并以此来解决上述三个问题。邮票可以用 图形O、口、△等来表示，每页用横线、画圈或者画框 来表示（如图5所示）。

在绘图过程中，学生提出问题：113张邮票根本无法一 一画出。此时，笔者建议学生用省略号来“以小见大”。 借助示意图，学生不难发现这样每9个一份，求有几份， 要用除法113 + 9 = 12……5O

商和余数的单位名称是学生在本题的易错点，由于 页和张都是纸的量词且学生思维能力薄弱，易把单位名 称错写为12张……5张或是12张……5页。笔者再次引导 学生修改示意图，在图中标出照片和邮册页的单位名 称（如图6所示）。

借助上图可以看出，商和余数的单位名称分别是 “页”和“张”。由此图我们还能观察到，剩下的5张 也需要一页纸，所以，他们至少需要13页。得到的算式 是：113+9=12 （页）……5 （张），12+1 = 13 （页）o

解决这类问题，教师引导学生将题意与图形结合， 让学生感觉解决数学问题就像在上美术课画画一样，从 而提升小学生学习的乐趣与解题的正确率，使学生能在 轻松愉悦的氛围中学习到数学知识。

（三）画示意图解决倍数问题

三年级涉及的倍数问题按难易程度分为两类，一类 是求几倍数与1倍数，稍复杂的是求几倍多几或少几。 解决此类问题，借助示意图，能比较直观地分析题目中 的数量关系。1倍数就是数量少的那1份数，要求1份数 是多少，可用除法计算，数量越除越少。几倍数就是数 量多的几份数，求几份数是多少就是求几个相同加数的 和，可用乘法计算，数量越乘越多。求几倍多几或几倍 少几，就要先求出几倍，然后加几或减几。

以三年级上册“灯饰”中的一题为例：“兔子灯有 25盏，莲花灯是兔子灯的3倍，兔子灯和莲花灯一共有 几盏？ ”教参中要求学生能根据问题收集有用的信息， 将情节描述成简图（线段图），并列出相应的算式。

在学习画线段图前，笔者先引导学生用示意图描述 题目，把文字信息转化为图形的同时，加深对问题情境 的理解。先用一个圈表示25盏兔子灯，之后让学生结合 题目的实际意思思考莲花灯的盏数如何用圈来表示。在 学生回答用3个圈来表示之后，再让学生明白：一共有几 盏，画一个大圈把兔子灯和莲花灯包含进去就可以了（如 图7所示）。

根据示意图，学生得到两种解答方式：25+25X3、25X （1+3） o在画的过程中找到解题思路，真实感受到画图在 解决问题时候具有的应用价值，感悟画图是一个“去情境 化”的过程，抓住了题目的本质，凸显了数量之间的关系， 这样一来就可以达到轻松解决问题的目标。对于解答几倍 多几（少几）或倍数求和（差）等问题，都可以釆用这样 的示意图。

对于三年级学生而言，画示意图比画线段图更直观具 体，线段图是示意图的进一步抽象展现。但学习的过程是 螺旋式上升的，学生不能只停滞于相对直观的示意图。所 以，笔者将图7中的一个圆圈“变身”为一条线段。随即提 问：“那下面3个圆圈又该如何表示呢？"在学生回答用3 个线段来表示之后，再让学生明白：一共有几盏，画一个 大括号并在其右边打上问号就可以了。具体图示如下：

学生有了画示意图的经验，再过渡到用画线段图来描 述问题情境，就驾轻就熟、迎刃而解了。所以，笔者特别 重视学生对画示意图的领悟，并通过不断实践练习，让学 生的思维逐步由形象思维向抽象思维过渡。

三、实践思考

笔者在三年级坚持运用画图法教学发现，在问题解决 教学中，渗透并注重画示意图的教学方法是有成效的。 学生通过借助画图法解决数学问题的实践，在“画数学" 中尝到了乐趣，笔者也在“画数学”教学中尝到了甜头。

在学习过程中，学生在难以理解、产生困惑时画一 画，在解决问题遇到困难时自主地想到画一画，就能真 正地感受到画图法带来的方便。不需要教师多说，学生 也会自然地应用上述策略开展相关的学习活动。总之， 画图法在小学数学问题的解决中具有十分重要的作用， 可以使得学生潜移默化地提升发现问题、提出问题、分 析问题和解决问题的能力。同时，还可以很好地促进学 生抽象思维模式的发展。教师需要在实践中不断地摸索 和创新，思考和研究画图法在所教授内容中的有效应用， 并根据不同的知识点可釆用不同的画图法。此外，还需 要同步了解学生的理解和认知水平，适时地分析和归纳 调整画图法，同频同振，让学生以最简单、最清晰的方 数学原理，进而培育学生的数普科核心素养。

参考文献：

[1] 刘聪玲.小学低年段利用“画图策略"有效解决 问题的教学探索⑶.师道·教研，2019 （08）.

[2] 吴艺芳.运用画图策略在小学数学中教学的探 究[J].考试周刊，2019（16）.

[3] 刘春燕.“画图策略”对提高学生解决问题能 力的探究[J].读写算，2018（19）.

[4] 刘留（执教），蒋守成（评析）.以生为本，让 画图策略深入人心：“画线段图解決问题的策略”教学 实录与评析[J].教育界-教师培训，2019（05）.

（责任编辑：奚春皓）