构造函数证明不等式的构造途径

山东省平邑第一中学 唐共芳

一、不等式两边同一变数直接构造法

需要证明的不等式两边是同一个变量，一般移项直接构造为一个函数，转化为利用函数最值解决问题。

二、两变数所在数学结构相同，两变数同时看作一个变量的构造法

当不等式中两变数所在不等式或经过变形处理，使得两变数所在数学结构相同，并且两变数有大小区分，可以把两变数看作一个自变量x构造出一个函数，两变数相当于函数自变量的两个瞬间值，利用函数的单调性证明不等式。

例2：已知i，m，n是正整数，且1（1+n）m。

分析：高考标准答案中是运用二项式定理证明的，此题构造函数，利用导数证明更简单。

三、把某一字母直接看作自变量的构造法

当变数较多或不能变为两变数所在结构相同时，可以直接把某一个变数或整体看作自变量x来构造函数，利用函数单调性或最值证明不等式。

例3：已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，证明：ab+bc+ca>-1。

分析：已知式子给了三个变量的数值范围，而且都是关于a，b，c的对称式，不能转化为相当于两个变量结构相同的式子。不妨选取其中一个为主变量，相当于自变量x(一般不用换)，另两个为参变量，从而转化为在一个变量的范围下求函数的范围。

证明：设f（a）＝ab+bc+ca+1＝（b+c）a+bc+1 (－1

要证ab+bc+ca>-1，只要证明f（a）>0，

当-1

∴只需要证明f（-1）>0且f（1）>0，

而f（1）= b+c+bc+1＝(1+b)( 1+c)，

f (－1)＝－b－c+bc+1＝(1－b)( 1－c)，

∵|b|<1，|c|<1，∴1±b>0，1±c>0，∴f（-1）>0，且f（1）>0，

∴f（a）>0，即ab+bc+ca>-1。

四、观察题干及其结论，联想常用函数的构造法

当要证明的不等式的结构让你联想到某一函数的结论定理时，不妨直接构造这样的函数，由条件向结论靠拢。

例4：设a，b，c为实数且4a－4b+c>0，a+2b+c<0，证明：b2>ac。

分析：此题从正面通过综合法、分析法不好论证，仔细观察结论b2>ac的结构，极易联想一元二次方程根的判别式，构造相应的一元二次函数f（x）=ax2+2bx+c。

证明：当a≠0时，设f（x）=ax2+2bx+c，

由4a－4b+c>0，a+2b+c<0得f (－2)>0，f（1）<0。

函数值有正有负，不论二次函数图像是开口向上还是开口向下，都会与x轴有两个交点，

故Δ＝b2－4ac>0，即b2>ac。

当a=0时，由已知条件可得4b

∴b<0，∴b2>0，而ac=0，∴b2>ac。

（此题也可以直接把a或c其中一个看作自变量x 来证明）

构造函数法证明不等式简捷、明快、精巧、清晰，但构造法并不是无章可循，只要勤于观察、善于联想、勇于探索、大胆设计，弄清条件的本质特点，找准明确的方向，就能构造所需函数，并且利用函数的性质或定理成功证明不等式。