热弥散对地埋管换热器全尺度传热的影响

李晓宇，徐宏阳，代敏，蔡姗姗

（华中科技大学能源与动力工程学院，湖北武汉430074）

引 言

地埋管换热器是土壤源地源热泵系统的重要组成部分，地埋管换热器可与地下含水层直接接触而进行热交换；地下含水层的热物性参数(如有效热导率、比热容)、渗流流速、孔隙率、热弥散度等，均对地埋管的换热过程及其周围土壤体的温度场分布有直接影响[1]。开展地源热泵系统所在地下含水层区域的传热分析是优化地埋管换热器设计的重要环节，对地源热泵系统性能的评估尤为重要[2-3]。

热弥散是多孔介质一种特有的换热现象，是由于多孔介质孔隙内速度脉动，引起热量的平均化，从而导致换热的增强。该现象的存在，使多孔介质中的传热和流动表现出很多独有的复杂特点，即出现弥散效应[4]。地下含水层热弥散效应产生的热弥散换热可使含水层多孔介质的传热得到明显强化[5]，特别是当流速较高时。热弥散的传热效果不仅受地下含水层土壤物性影响，还与土壤中的水流速和水流通量密切相关[6]。热弥散效应的存在，使地源热泵地埋管换热器的热量传输途径[7]包括热传导、热对流和热弥散，可显著强化地埋管换热器与地下含水层间的换热，尤其在近钻孔区域[8]。

对于热弥散效应的研究，Park等[9]进行推拉实验，测试含水层的热弥散度，并将实测数据与三维地下水流动和传热数值模拟结果进行比较，阐述了热弥散在地下水热泵系统设计中的重要性。Hidalgo等[10]根据含水层渗流和传热理论以及地埋管换热器传热模型，构建地埋管群所在地下含水层的三维非稳态对流-热弥散传热数值模型，利用数值模拟方法，探究含水层热弥散效应对地埋管群传热性能的影响。研究表明，随含水层热弥散度的提高，钻孔群的热影响范围以该钻孔群为中心并呈现出对称扩散的传热特征，热弥散有效增强了钻孔群的换热效率。邓鼎兴[11]基于相同渗流速度及不同热弥散度运行工况，分析地埋管换热器传热过程，发现热弥散作用越强，换热器周围土壤的热堆积效应相对越弱，其换热能力越强。与不考虑热弥散效应(αL=0)的运行工况相比，当热弥散度αL为0.5、1和5 m时，单位负荷下地埋管换热器的换热量分别增大了12.01%、17.93%、31.87%。

热弥散效应引起的热弥散传热量，与热弥散度和热弥散系数相关。热弥散度作为衡量地下含水层热量迁移速度快慢的参数，受地下含水层的介质种类、孔隙率等参数影响[12]。热弥散系数是单位温度梯度下通过单位多孔介质截面的热量，表征多孔介质热弥散换热的强弱；热弥散系数是与多孔介质的结构、流体的渗流速度和物理化学性质、热弥散度、粒子平均直径有关的复杂参数。热弥散度多是采用已有研究的经验值，或是通过实验方法获取。倪龙[8]通过测定不同粒径松散岩石的热弥散度大小，根据测试结果分析温度和孔隙度对热弥散度的影响，从而为热泵工程设计和地下水温度模拟预测提供了科学依据。Lin等[13-14]将小尺度含水层的机械热弥散系数实验应用于对流弥散传热过程中，推导了该条件下对流弥散热量运移的解析解，结合实验进行验证，对含水层热弥散效应进行评估。李世孝等[15-16]根据水平土柱实验方法，自制长径比为5∶1水平玻璃圆柱，模拟回灌过程热量的弥散，以一维砂土热量运移定解方程为理论依据，依此计算热动力弥散系数、热弥散度，并分析热弥散度在水流回灌过程中的变化特性，优化布井方式以提高热泵效率。Lu等[17]通过一维水流实验，研究热弥散传热对饱和土壤传热过程的影响，并确定了热弥散传热量与热弥散度、土壤物性、水分密度密切相关。Rau等[18]在典型的渗流速度工况(Darcy范围，Peclet数小于2.5)下，装有饱和沙粒液压储罐中，进行了细致的热弥散传热实验探究，发现地下水在自然流速下，其换热能力可达到介于热传导与热对流的过渡区，热弥散传热可用热弥散系数和热前缘速度的平方描述。

综上研究，地下含水层的热弥散效应与地埋管换热器的传热性能密切相关，特定的水文地质地貌特征、适宜的地下含水层物性参数(如孔隙率、热导率、比热容、热弥散系数、Peclet数)以及对应范围内的地下水渗流速度，可显著提高地埋管换热器与周围土壤的换热量，削弱地埋管换热器与周围土壤换热量的冷热堆积，有利于维持土壤热量的平衡与土壤温度的稳定。

然而，现阶段所提出的地埋管换热器传热模型，大多忽略含水层空间非均质性所引起的热弥散效应[19-20]。基于含水层热弥散度的研究[21]，本文将构建渗流影响下地埋管换热器的非稳态导热-对流-热弥散传热模型，并分析热弥散效应对地埋管系统传热性能的影响，对于优化地源热泵设计、减少地源热泵系统的初始投资具有一定研究价值。

1 基于热弥散的全尺度传热模型构建

1.1 模型理论基础

目前，对于地埋管换热器传热研究的模型，有忽略钻孔轴向导热影响的无限长线热源(ILS)和无限长柱热源模型(CLS)[22]；可考虑钻孔轴向导热影响的有限长线热源模型(FLS)[22]；可考虑地下水渗流影响的移动无限长线热源模型(MILS)和移动有限长线热源模型(MFLS)[19]；可考虑钻孔内部结构的复合介质线热源模型(CMLS)[23]；既考虑地下水流动，又考虑钻孔轴向导热影响的全尺度模型(CMLS-MFLS)[24-25]。上述模型用于预测钻孔壁温度的G函数如表1所示，模型间的关系如图1所示。

由图1的对比可得，忽略钻孔轴向导热的ILS模型、MILS模型、CMLS模型适合地埋管换热器短时间尺度下的传热研究；考虑地埋管换热器轴向导热影响的FLS模型和MFLS模型，适于地埋管换热器长时间尺度下的传热研究；既考虑钻孔内部结构所引起的瞬态传热过程又考虑钻孔边界效应所引起的轴向导热过程的CMLS-MFLS模型，则同时适用于地埋管换热器在短、中、长时间尺度下的传热研究，即为全时间尺度(简称全尺度)传热模型。已有研究表明，与其他换热模型相比，CMLS-MFLS模型对地埋管换热传热过程的预测更为准确、稳定。

表1 用于预测钻孔壁温度的G函数Table 1 G functions for predicting the wall temperature of borehole

图1 地埋管换热器传热模型关系Fig.1 The heat transfer models of borehole heat exchanger

1.2 热弥散系数模型

弥散系数是与含水层渗流速度、热弥散度、粒子平均直径、孔隙率有关的复杂参数，不同模型的计算结果可能会产生较大的差异。在某些假设条件下，如均质地下含水层渗流速度大于1×10-8m/s时，横向热弥散系数约是纵向热弥散系数的0.1倍，可忽略横向热弥散系数对传热过程的影响[26-27]。适于地下含水层纵向热弥散研究的热弥散系数模型有速度一次方模型、含水层滞止热导率倍数模型、单相渗流模型以及热弥散附加热导率模型[28]。前两个模型适用于宏观尺度下多孔介质的热弥散传热研究；后两个模型适于介观尺度下多孔介质的热弥散传热研究。宏观尺度模型中，由于速度一次方模型不必根据含水层的实际工况确定热弥散系数与含水层滞止热导率的倍数关系，而是根据关系式较为精确地计算含水层的热弥散系数。速度一次方模型相较于含水层滞止热导率倍数模型具有更高的准确度，因此，本文将采用速度一次方模型进行地下含水层热弥散传热研究。

热弥散系数的速度一次方模型如式(7)所示，含水层简化分析中，一般考虑热弥散度为只沿着水流方向的纵向热弥散度，并认为λL与udm(m=1,2)呈正比[29]，实际工程计算中常用m=1，则根据速度一次方模型计算热弥散系数λL为：

式中，λL为纵向热弥散系数，W/(m·K)。αL含水层的纵向热弥散度，m，对于平均行程距离LD＜305 m的均一含水层，可根据关系式αL=0.1LD，也有研究采用αL=0.05LD的经验关系式进行计算。Cf为含水层水的容积比热容，J/(m3·K)；ud为地下水渗流速度，m/s。

忽略垂直于地下水渗流方向的横向热弥散系数，含水层的有效热导率由含水层滞止热导率和热弥散系数两部分组成：

式中，n为含水层的孔隙率，%；Ca为含水层的容积比热容，J/(m3·K)；Cs为含水层中固体骨架容积比热容，J/(m3·K)；λf为地下水流的热导率，W/(m·K)；λs为固体骨架的热导率，W/(m·K)。

1.3 基于热弥散的全尺度传热模型

根据热弥散系数计算的速度一次方模型，优化地埋管换热器全尺度模型CMLS-MFLS，构建渗流影响下基于热弥散传热的地埋管换热器全时间尺度模型CMLS-MFLSTD。基于该模型可探究地埋管换热器内的流体温度响应。CMLS-MFLSTD的G函数方程以及由该方程计算的钻孔内的流体温度响应，分别如式(11)和式(13)所示。

实际工程中地埋管换热器通常是由多个钻孔构成钻孔群，钻孔群的流体温度响应同样受地下水含水层的渗流速度和土壤物性影响。以六个钻孔构成的钻孔群的研究为例，钻孔群的立面与平面示意图如图2所示。由于钻孔间距远大于孔径长度(B=6 m，rb=0.065 m，B＞＞rb)，可忽略钻孔内部传热对钻孔群换热的影响。钻孔群内流体过余温度ΔT(t)=Tf(t)-T0的计算如式(14)所示，式（14）表明钻孔群流体温度响应随钻孔的叠加位置、钻孔间距、地下水渗流方向的不同而变化。

图2 钻孔群的立面（a）与平面（b）示意图Fig.2 Elevation(a)and plane(b)diagramof borehole group

式中，E1为指数积分函数；Tf表示钻孔内流体温度，℃；T0表示土壤初始温度温度，℃；Rp表示U型管热阻，m·K/W；N表示钻孔数量；——ΔT表示所计算钻孔的平均温度响应；rj和φj分别表示第j个钻孔与叠加位置处的距离和极角。

2 基于热弥散的全尺度模型的研究和验证

本文所提出的基于热弥散的全时间尺度模型的准确度将通过对比模型所预测的单钻孔U型管内流体温度响应与二、三维数值模型的模拟结果进行验证。这里需要注意的是，由于受模拟时间限制，虽然三维数值模型可较好反映地埋管换热器的空间尺度，但受模拟时间限制，仅可进行短时间尺度下的模型验证；二维模型虽可进行中长时间尺度下的模型验证，但受模拟空间限制，即不能完全反映地表与埋管底部的边界影响，无法进行长时间尺度下的验证。因此，分别开展短、短中、中长时间尺度下的数值模型验证模型准确度。验证过程中，模型中地埋管换热器的结构及运行参数采用文献[19-20]中的数据，见表2。

表2 单钻孔地埋管换热器运行参数Table 2 Operation parameters of single hole buried pipe heat exchanger

根据表2中地埋管换热器的运行参数，图3对比分析了基于单钻孔、恒定负荷的解析解模型CMLS-MFLSTD，及考虑瞬态导热-对流边界和热弥散效应的三维和二维数值模型。与二维模型相比，三维数值模型可考虑U型管内的流体的对流换热。如前所述，三维数值模型因其计算时间的限制，只开展了100 min内的短时间尺度验证。对比结果发现，100 min内，CMLS-MFLSTD模型与三维模型的计算结果偏差小于5%。CMLS-MFLSTD模型与二维模型的模拟结果对比可看出：短时间尺度t＜100 min，二维模型忽略了U型管内流体的对流换热，其模拟结果略低于CMLS-MFLSTD的结果，两类模型的计算结果偏差小于3%；短中时间尺度100 min＜t＜5 h，CMLS-MFLSTD模型与二维模型计算结果的偏差在2%以内；中长时间尺度t＞5 h，二维模型计算出的钻孔流体温升逐渐高于解析模型的计算结果，直至5000 min，两类模型的计算结果存在7%的偏差。

图3 基于热弥散的解析解模型与数值解模型对比Fig.3 Comparisons between analytical and numerical models considering thermal dispersion

基于以上分析，本文所构建的考虑热弥散效应的地埋管换热器全尺度传热模型CMLS-MFLSTD较好体现了短、短中、中长时间范围内的传热过程，可用于钻孔在不同运行工况下的传热分析。

3 基于热弥散的单钻孔与钻孔群传热研究

3.1 热弥散全尺度传热模型的适用流速范围

相关研究[30-31]表明，宏观尺度下热弥散效应仅在一定流速条件下表现较为明显。为确定热弥散全尺度传热模型的适用范围，选取地下水流渗流速度为5×10-9、1×10-8、1×10-7、1×10-6、3×10-6m/s，分别利用热弥散全尺度模型(CMLS-MFLSTD)和不考虑热弥散的全尺度模型(CMLS-MFLS)计算恒定单位负荷条件下钻孔内的流体温升，通过其差值对比评估热弥散传热影响不可忽略的流速范围。不同流速下的钻孔内流体温升模拟结果如图4所示（图中下方的横坐标Fo为无量纲时间，与上方的横坐标时间相对应）。由模拟结果分析可知：渗流速度低于1×10-8m/s时，热弥散传热不明显；渗流速度高于1×10-8m/s时，两类模型的模拟结果差异随水流速的增大而增加，在长时间尺度下，热弥散可使钻孔内流体进出口平均温差降低0.78%～37.50%。渗流速度大于1×10-6m/s时，热弥散换热量占地埋管换热器换热量的主导地位，但实际工程中，地下水渗流速度往往不大幅高于1×10-6m/s的速度。因此，热弥散传热研究的地下水渗流速度范围确定为1×10-8～1×10-6m/s。

3.2 热弥散全尺度单钻孔传热的影响因素分析

图4 单位负荷下两类模型在不同渗流速度下流体温升预测曲线Fig.4 The prediction curveof fluid temperature response at different seepage velocity under unit load in two types of model(a)u d=5×10-9 m/s;(b)u d=1×10-8 m/s;(c)u d=1×10-7 m/s;(d)u d=1×10-6 m/s;(e)u d=3×10-6 m/s

取模型的基准参数如下：地下水渗流速度分别为1×10-7、5×10-7、1×10-6m/s，热弥散度为0.5 m，孔隙率为0.2，依次分析上述参数对单钻孔传热过程的影响。

图5 不同渗流速度下的流体温升Fig.5 Temperature response of fluid at different seepage velocities

图5所示为地下水渗流速度对钻孔内流体温度响应的影响。短时间尺度范围内，Fo＜9，t＜tb≈2.4 h时，因其主要取决于钻孔内传热热阻，热弥散带来的影响较小，不同流速下两类模型的计算结果并无明显差别。但相较于低流速，较高的流速下，可观察到热弥散使两类模型出现差异的时间点提前，流体温度响应更快。中时间尺度范围内，9＜Fo＜4000,tb＜t＜tH≈150 d时，不同流速下，热弥散传热使地埋管换热器换热量增加，流体温度响应曲线变化变缓。基于热弥散的CMLS-MFLSTD模型计算出的钻孔流体温升曲线呈非线性增长，相比于CMLSMFLS模型增长较为缓慢。主要原因是，随着流速的增加，两类模型间的差异逐步变大，在不同渗流速度下，热弥散使钻孔内流体进出口平均温差依次降低0.02、0.06和0.08℃，与不考虑热弥散工况相比，换热量依次增加5.52%、17.48%、27.15%；随着水流速的增加，钻孔内流体温升曲线波动更小，也更快趋近于稳态。在长时间尺度范围内，即Fo＞4000,t＞tH≈150 d，传热过程基本进入稳态，热弥散使不同流速下的流体进出口平均温差分别降低0.03、0.08和0.10℃，钻孔的最大换热量不考虑热弥散工况相比分别提升6.09%、19.73%和28.01%。

图6为纵向热弥散度对钻孔内流体温度响应的影响，其影响主要体现在中长时间尺度。中时间尺度范围内，在低渗流速度下，随热弥散度的增加，流体温度响应曲线变化逐渐增加；而高渗流速度下，随热弥散度的增加，流体温度响应曲线变化逐渐减弱。这表明随着流速增加，较低的热弥散度也能起到较好的强化换热作用。热弥散度对钻孔达到稳定传热的时间基本无影响。长时间尺度范围内，可观察到稳态下流体温度响应与最大换热量的变化：当渗流速度为1×10-7m/s时，0.5、1和2 m的热弥散度将导致钻孔内流体进出口平均温差分别降低0.03、0.06、0.10℃，与不考虑热弥散工况相比钻孔的最大换热量分别提升6.09%、11.28%、19.66%；当渗流速度为5×10-7m/s时，0.5、1和2 m的热弥散度将导致钻孔内的流体进出口平均温差分别降低0.08、0.13、0.18℃，与不考虑热弥散工况相比钻孔的最大换热量分别提升19.73%、30.76%、42.91%；当渗流速度为1×10-6m/s时，0.5、1和2 m的热弥散度将导致钻孔内的流体进出口平均温差分别降低0.10、0.14、0.18℃，与不考虑热弥散工况相比钻孔的最大换热量分别提升28.01%、39.45%、49.93%。以上量化对比进一步说明随着流速的增加，热弥散传热的影响逐步变大，对热弥散度也更为敏感，但随着热弥散度的增高，变化差异逐步降低。

图6 不同热弥散度下的流体温升Fig.6 Temperature response of fluid with different thermal dispersivity

图7为孔隙率对钻孔内流体温度响应的影响。相同渗流速度条件下，孔隙率的变化对到达稳态传热的时间基本无影响，但随着孔隙率的增加，钻孔内流体温升逐步增加，与周围土壤的换热量降低，这主要是因为在相同流速的情况下，较高的孔隙率意味着较多的土壤颗粒间隙被液态水填充，而液态水的热导率相较于土壤颗粒的热导率较低，传热能力下降。热弥散度的影响随着孔隙率的增加也逐步等比增大，当孔隙率为0.1时，不同热弥散度的条件下，热弥散传热使单钻孔内的流体进出口平均温差分别降低0.03、0.05和0.09℃，与不考虑热弥散工况相比，对应最大换热量分别提升5.57%、10.38%和18.26%；而当孔隙率增加为0.4时，热弥散传热使单钻孔流体进出口平均温差分别降低0.04、0.08和0.14℃，与不考虑热弥散工况相比，对应最大换热量分别提升了7.42%、13.55%和23.13%。由于热弥散传热的存在，CMLS-MFLSTD模型相较于CMLSMFLS模型对孔隙率变化的敏感性降低，当孔隙率由0.1增加为0.4时，不考虑热弥散影响的换热量减少5.88%、12.78%和20.98%，而考虑热弥散影响的换热量在弥散度为1m时分别减少4.82%、10.33%和16.69%。

3.3 热弥散全尺度钻孔群传热的影响

参照图2所示的钻孔群示意图构建六个钻孔所构成的钻孔群，并根据式(14)钻孔群内的流体温度响应方程，分别探究恒定单位负荷下由不同位置叠加的钻孔群的传热特性及规律，开展地下水渗流速度、热弥散度、孔隙率对钻孔群的传热影响分析。渗流速度对钻孔群内流体温度响应的影响如图8所示。两类模型的对比结果分析发现，中长时间尺度下，传热过程逐步进入稳态，热弥散对不同位置钻孔的影响存在差异。相同速度条件下，热弥散对上游钻孔传热过程的影响最大，随着流速的增加，热弥散传热占比逐步增加，不同叠加位置间的传热差异有所减弱。

图9为热弥散度对钻孔群内的流体温度响应的影响。通过对相同渗流速度、不同纵向热弥散度条件下钻孔群传热量的量化对比发现，钻孔群中不同位置的钻孔传热量随热弥散度的增加线性变化，上游位置钻孔群的传热量提升最大，中游次之，下游最小，但随着热弥散度的增加，不同位置间的差异逐步趋于稳定。需要注意的是，这里仅分析了低渗流速度下热弥散度的影响，根据单钻孔中对不同渗流速度下热弥散度影响分析可推断，在较高渗流速度下，本文所给定的热弥散度对传热量的影响不再为线性变化，而是逐步趋于恒定值，有较大影响的热弥散度将向低数值区间偏移。

图7 不同孔隙率下的流体温升Fig.7 Temperature response of fluid with different porosity

图10为孔隙率对钻孔群内的流体温度响应的影响。通过图中结果的对比结果分析发现：不同位置钻孔群的稳态传热过程随孔隙率的增加而逐步呈现更大的差异，热弥散效应可一定程度降低该差异。在相同速度和热弥散度条件下，孔隙率对上游钻孔传热过程的影响最大，热弥散效应可减弱因孔隙率的增加、土壤传热能力下降对换热器传热产生的不利影响。

3.4 各影响因素敏感性分析

为进一步分析各因素的影响程度，在如3.2节中所述的单钻孔基准模型，分析各影响参数的相对变化率分别为100%时钻孔内的流体温升变化，如图11所示。当渗流速度、热弥散度和孔隙率增加为基准值的2倍时，钻孔内流体温度的相对变化率分别为23.33%、17.54%和4.90%，即渗流速度对地埋管换热器传热量的影响最大，热弥散度的影响次之，孔隙率的影响最弱。

4结 论

（1）当渗流速度低于1×10-8m/s时，热弥散传热不明显；当渗流速度高于1×10-8m/s时，速度的增大使热弥散效应增强，热弥散可使恒定负荷下的稳态过程换热量提升0.78%～37.50%。另考虑实际工程中，地下水渗流速度往往不大幅高于1×10-6m/s，因此，模型所适用的地下水渗流速度范围为1×10-8～1×10-6m/s。

（2）恒定负荷下，热弥散效应主要在中长时间尺度下体现，渗流速度、热弥散度以及孔隙率是影响传热过程的主要因素。在所研究的参数范围内，热弥散可使钻孔稳态传热量提升5.52%～49.93%。地下水渗流速度和热弥散度越大，孔隙率越小，热弥散效应越强。随着渗流速度的增加，较低的热弥散度也能带来传热量的较大变化，但到达该渗流速度所对应的阈值后，随着热弥散度的增高，在传热量上的变化差异逐步降低；由于热弥散效应，孔隙率对传热过程的不利影响可有所减弱，综合考虑三类影响因素，渗流速度对钻孔传热的影响最大，热弥散度次之，孔隙率的影响最弱。

图8 不同渗流速度下钻孔群内的流体温升Fig.8 Temperature response of fluid in borehole group at different seepage velocities

图9 不同热弥散度下钻孔群内的流体温升Fig.9 Temperature response of fluid in borehole group with different thermal dispersivity

图10 不同孔隙率下钻孔群内的流体温升Fig.10 Temperature response of fluid in borehole group with different porosity

图11 影响因素变化率相同时钻孔内的流体温升Fig.11 Sensitivity analysis of impact factors on the fluid temperature response in the borehole

（3）对于钻孔群而言，不同位置钻孔群的稳态传热过程随孔隙率的增加均逐步表现出更大的差异，热弥散效应可一定程度降低该差异。热弥散对上游钻孔传热过程的影响最大，中游次之，下游最小。

符号说明

A——土壤横截面积，m2

a——土壤热扩散率，m2/s

a*——无量纲热扩散系数

ab——回灌材料热扩散率，m2/s

as——土壤热扩散率，m2/s

B——钻孔间距，m

Ca——容积比热容，J/(m3·K)

Cf——流体容积比热容，J/(m3·K)

Cs——固体容积比热容，J/(m3·K)

E1——指数积分函数

Erfc(x)——余误差函数

Fo——Fourier数，Fo=astrb-2

G——G函数，m·K/W

H——竖直钻孔长度，m

Jn——阶数为n的第一类Bessel方程

LD——平均行程距离，m

l——积分变量

m˙——U型管内水流量，kg/s

N——钻孔数量

n——含水层孔隙率，%

Pe——Peclet数

ql——单位长度热量，W/m

R，R′——无量纲半径参数

Rp——U型管热阻，m·K/W

r——半径，m

r′——线热源位置

rA——位于钻孔点A位置的半径，m

rB——位于钻孔点B位置的半径，m

rb——钻孔半径，m

rj——第j个钻孔与叠加位置处的距离，m

Tf——钻孔内流体温度，℃

T0——土壤初始温度温度，℃

t——时间，s

tb——短、中时间尺度时间分界，h

tH——中、长时间尺度时间分界，d

ud——地下水渗流速度，m/s

u——积分变量

xu——U型管间距，m

Yn——阶数为n的第二类Bessel方程

Z——积分变量

αL——含水层的纵向热弥散度，m

λ*——无量纲导热率

λA——含水层有效热导率，W/(m·K)

λf——地下水流的热导率，W/(m·K)

λL——纵向热弥散系数，W/(m·K)

λp——U型管的热导率，W/(m·K)

λs——固体骨架的热导率，W/(m·K)

λ0——含水层滞止热导率，W/(m·K)

φj——第j个钻孔与叠加位置处的极角，(°)

下角标

b——钻孔

d——达西

f——流体

i——支管内侧

L——纵向

o——支管外侧

p——U型管

s——含水层固体支架

T——横向

TD——热弥散