一元函数的28类不同的极限定义

◇上海立信会计金融学院统计与数学学院 张 丽

极限是高等数学中最基本、最重要的一个概念，有着多种多样的形式，是初学高等数学者最难以真正掌握的。本文用邻域的概念给出了一元函数极限的一个统一的定义。然后，根据邻域的不同表述，给出了一元函数的28个不同类型的极限的概念。

函数是高等数学的主要研究对象，高等数学就是一门研究函数的性质的一门学科。而极限则是高等数学中最基本、最重要的概念，没有之一。包括函数的连续性、导数和定积分等诸多性质都是通过极限来定义的。同时，极限也是高等数学中最难理解和掌握的概念，是学好高等数学的关键。但是，许多初学者却不能真正掌握其内涵，对各种各样的极限的定义一筹莫展。

极限的描述性定义为：如果当 无限趋近于（可以是无穷大）时，函数的值无限趋近于常数（或无穷大），则称（或无穷大）是 趋于 时函数的极限。记作

在上述描述中，有两个问题需要我们去解决：第一个问题是对两个“无限趋近于”的模糊表述我们需要给出一个定量的表示；第二个问题是要理清楚这两个“无限趋近于”之间的逻辑关系。

为了将“无限趋近于”这个表达进行量化，一代又一代的数学家付出了巨大的努力才最终实现。本文首先给出了邻域的各种定义，然后由邻域给出一元函数的极限的一个统一的概念，最后基于邻域的不同表达给出了28个不同的极限的定义。

1 邻域的定义

2 极限的总的定义

3 28个不同极限的定义

表1