带时滞项的广义Boussinesq方程的吸引子

徐瑰瑰, 王利波

(凯里学院 理学院，云南 凯里 556011)

一直以来，Boussinesq方程的研究备受关注[1-3].由于时滞偏微分方程带有对过去状态的刻画，能够更精确地反映现实，因而对时滞偏微分方程的研究吸引了越来越多学者的注意[4-9].本文处理如下带有时滞项的广义Boussinesq方程的动力学行为.

(1)

其中f是非时滞外力项,g是依赖于解的某些记忆的外力项,h是固定的常数, 表示时滞影响的长度.另外, 对任意的θ∈[-h,0], 定义ut=u(t+θ)且φ是[τ-h,τ]上已知的初始函数, 假设函数g始终满足对任意的t∈R有g(t,0)=0.

本文在前人研究的基础上，利用文献[8-9]中的有关理论知识和方法来研究带有时滞项的高阶Kirchhoff型方程的拉回吸引子，这是十分有意义的.首先引入了本文要用到的一些定义和基本假设, 然后证明了拉回吸收集的存在性，通过对方程进行分解, 证明了拉回吸引子和一致正向吸引子的存在性.

1 预备知识

设X是完备的度量空间, 其度量是d(·,·).X上的过程{U(t,τ)}可以定义为：

(1)对任意的t≥τ,{U(t,τ)}是X→X上的连续算子;

(2)U(t,t)=Id;

(3)对任意的t≥s≥τ,U(t,s)U(s,τ)=U(t,τ).

定义1[8]称集族{Q(t)}t∈R关于过程{U(t,τ)}是拉回吸引的, 如果对任意固定的t∈R, 任意有界集B⊂X和任意的ε>0, 存在Tε,B(t)>0使得对所有的s≥Tε,B(t)，有

dist(U(t,t-s)B,Q(t))<ε.

如果Tε,B(t)不依赖于t，则拉回吸引的集合组{Q(t)}t∈R是一致拉回吸引的.

定义2[8]一族紧集关于过程{U(t,τ)}是拉回(正向)吸引子, 如果满足:

(1)U(t,τ)A(τ)=A(t),∀t≥τ,τ∈R；

(2)对所有的有界集B⊂X有

称拉回(正向)吸引子是一致的, 如果吸引性对时间是一致的, 即对所有的有界集B⊂X，有

吸引子存在的结果可以表述为

命题1[8-9]假设过程{U(t,τ)}具有一族紧的拉回吸引集{Q(t)}t∈R, 则存在拉回吸引子使得对任意的t∈R有A(t)⊂B(t)且

特别地, 如果集合族{Q(t)}t∈R是单一的, 即对任意的t∈R, 有Q(t)=Q，则存在一个一致正向吸引子, 且包含拉回吸引子的所有基本集.

记CVs=C0([-h,0];Vs), 其范数为

记CXs=CVs+1∩C1([-h,0];Vs), 其范数为

(2)

对非线性项g(t,ut), 我们假设

g(t,ut)∶R×CV0→V0

且满足

(G1)∀ξ∈CV0,t∈R→g(t,ξ)∈V0是可测的;

(G2)∃L>0, 使得对∀ξ,η∈CV0，有

(G3)∃σ0>0,Cg>0, 使得对∀σ∈[0,σ0],

t≥τ,u,v∈C0([τ-h,t];V0)，有

定义3系统(2)的弱解是函数

u(t)∈C0([τ-h,T];V1)∩C1([τ-h,T];V-1),

其中T≥τ, 当t∈[τ-h,τ]时,u(t)=φ(t),

u′(t)=φ′(t)且使得对一切w∈V1和t≥τ有

2 吸引子的存在性

利用文献[10]中介绍的Galerkin近似方法和能量估计的方法可以得到解的存在唯一性, 在这里，我们只给出结果不再证明.

定理1假设f∈V-2,g满足(G1)—(G3), 则对任意的φ∈CX0, 系统(2)有唯一解u(t)=u(t,τ,φ), 且在CX0中, 对∀t≥τ, 解都连续依赖于初值.

定理1表明系统(2)在CX0中拥有过程{U(t,τ)}, 可以定义为

U(t,τ)φ=ut(·;τ,φ),∀φ∈CX0.

为了方便计算, 我们在CX0中定义一新的范数

引理1假设f∈CV-2,g满足(G1)—(G3), 则存在闭球Q0⊂CX0使得Q0在CX0中关于过程{U(t,τ)}是一致拉回吸引的, 即对∀B⊂CX0,∃TB>0, 使得当t≥TB时有U(t,t-s)B⊂Q0.

令v=u′+εu, 用v与方程(2)做内积, 有

(3)

在(3)式两端同时乘eσt并在[τ,t]上积分, 于是由假设条件(G3)可知

选取足够小的σ∈(0,σ0)，使得

这表明对∀t≥τ，有

于是, 对任意的t≥τ-h, 有

用t+θ代替上式中的t, 有

(4)

定理2假设引理1的条件成立,

g∈C1(R×CV0,V0)且存在M>0使得对任意的

(t,ξ)∈R×CV0, Fréchet导数δg(t,ξ)∈L(R×CV0;V0)满足

(5)

则过程{U(t,τ)}在CX0中存在一个有节的一致吸收集Q.

证明设t∈R是任意的, 由于当s≥0时, 对任意的T≥t-s有

U(T,t-s)φ=uT(·;t-s,φ),

其中φ∈Q0.把u(T)=u(T;t-s,φ)分解为

u(T)=v(T)+w(T)+A-1f,

其中v(T)和w(T)分别是下面两个方程组的解:

(6)

和

(7)

因而U(T,t-s)可以写为

U(T,t-s)φ=U1(T,t-s)φ+U2(T,t-s)φ,

U1(T,t-s)φ=U3(T,t-s)φ+ζT(·).

其中U2(T,t-s)φ=wT(·),U3(T,t-s)φ=vT(·),且

当T≥t-s-h时,ζT(·)不依赖于T, 于是记该常函数时ζ1.

第1步由(4)式可知当f=g=0时,∀T≥t-s,有

因此

(8)

(9)

由于

=C3(R0).

(10)

把(10)式代入(9)式，得

z′(T)+α1z(T)≤8α1C2(R0)2+4C3(R0)2

=C4(R0),∀T∈[t-s,t].

由于z(t-s)=0, 于是由Gronwall不等式可得

因此对∀T≥t-s有

(11)

U3(t,t-s)Q1⊂Q,∀t∈R,s≥TQ1

综上所述, 有界集Q=Q2+ζ1⊂CX0关于过程{U1(t,τ)}在CX0中是一致拉回吸引的, 则有界集Q关于过程{U(t,τ)}在CX0中是一致拉回吸引的.

引理2假设引理1的条件成立, 则对

∀φ∈Q1,θ∈[-h,0]且s≥TQ1，有

证明对∀φ∈Q1,T≥t-s, 记

v(T)=v(T;t-s,φ), 则由(8)式可得

(12)

另一方面, 用v″与(6)式作内积, 有

在上式两端同时在[t-s-h,t+θ]上积分，有

C3(R1)2(θ+s-h)

定理3在引理1的假设条件下, 过程{U(t,τ)}在CX0有一拉回吸引子和一致正向吸引子.