模李代数非限制表示中的倾斜模

李宜阳

（上海工程技术大学 数理与统计学院, 上海 201620）

0 引 言

令k是 特 征 为 素 数p的 代 数 闭 域,G是k上 的 简 约 代 数 群, g =Lie(G) 是G的 李 代 数. 令g=n−⊕h⊕n+是 g 的三角分解, b+=h⊕n+是 Borel 子代数. 记R为李代数 g 的根系,U(g) 是李代数g的普遍包络代数.U(g) 的中心元xp−x[p]作用在单 g -模E上为一个数χ(x)p, 其中χ∈g∗. 这样的χ称为E的p-特征, 称Uχ(g)=U(g)/Jχ是 g 的约化包络代数, 其中Jχ=〈xp−x[p]−χ(x)p|x∈g〉是U(g) 的理想. 具有p-特征χ的 g -模范畴与Uχ(g) -模范畴是等价的(见文献[1]中第2.7节). 当χ̸=0 时,Uχ(g) -模称为李代数 g 的非限制模, 相应的表示称为非限制表示. 当χ=0 时,U0(g) 称为限制包络代数.U0(g) -模称为李代数 g 的限制模. 应用Morita 等价(见文献[2] 或文献[3]), 一般非限制表示的研究可以归结为当χ为幂零时的情形. 所以本文可以假设χ(b+)=0 . 令W是 g 的 Weyl 群,w0为W的最长元.

本文回答了这个问题: 当χ具有标准 Levi 型时, 非限制表示的倾斜模是投射的Uχ(g) -模. 本文用两种方法证明了当χ具有标准 Levi型时, 一个Uχ(g) -模Q是倾斜模的充分必要条件是Q是投射模(见定理 3.1).

1 基本假设和概念

1.1 基本假设

令连通的简约代数群G满足以下三个假设[1]:

(H1)G的导子群DG是单连通的;

(H2)素数p对李代数 g 来说是好的;

(H3)存在 g 上G-不变的非退化双线性型.

令T为G的一个极大环面,X(T) 为T的特征标群.X(T) 是一个秩为 d imT的自由交换群, 包含由根系R生成的子群 ZR.

对任意的α∈R, 令α∨表示α的余根,Wp为由sα,rp(r∈Z) 生成的仿射Weyl 群, 其中sα,rp是满足sα,rp(µ)=µ−(〈µ,α∨〉−rp)α的仿射反射. 定义 Weyl 群元素w在λ上的点作用为:w.λ=w(λ+ρ)−ρ,其中ρ为正根和的一半.

1.2 诱导模

1.3 阶化模

1.4 有限维代数的相关概念

令A是k上的一个有限维结合代数, “ ≤ ”是A的单模同构类{L(i)|i∈Λ}的指标集 Λ 上的一个固定的序. 令P(i) 是L(i) 的投射覆盖,I(i) 是L(i) 的内射包络. 标准模 ∆ (i) 定义为投射模P(i) 的满足∆(i)的所有合成因子的指标不大于i的极大商模. 余标准模∇(i) 定义为内射模I(i) 的满足∇(i) 的所有合成因子的指标不大于i的极大子模. 内标准模 ∆ ¯(i) 定义为满足 [ ∆¯(i):L(i)]=1 的标准模 ∆ (i) 的极大商模.余 内 标 准 模∇¯(i) 定 义 为 余 标 准 模∇(i) 的 满 足 [∇¯(i):L(i)]=1 的∇(i) 的 极 大 子 模. 以 上 定 义 可 参 见 文献[7].

给定一类A-模B, 记F(B) 为具有滤过因子在B中的滤过A-模范畴的满子范畴.A作为左 (或右)A-模记为AA(或AA). 如果AA∈ob(F(∆)) , 其中F(∆) 表示过滤因子为标准的范畴, 称 (A,≤) 为标准分层的.

定义 1.1[4]如果一个A-模T满足T∈ob(F(∆))∩ob(F(∇¯)) (或T∈ob(F(∆¯))∩ob(F(∇)) ), 称T为倾斜模 (或余倾斜模).

如果A是对称代数, 存在A-双模同构A∼=A∗且投射模也是内射模, 根据上面的定义可得,A-模范畴中的倾斜模的对偶在A∗-模范畴中是余倾斜模. 所以对称代数的模范畴中倾斜模和余倾斜模是一致的.

2 引理和定义

2.1 引 理

2.2 滤过的定义

2.3 滤过的性质

满足

和性质:

满足

和性质:

2.4 倾斜模的定义

根据上面的讨论, (Uχ(g),≤) 是标准分层的, 在其模范畴中标准模、内标准模、余标准模和余内标

2.5 两个上同调的引理

2.6 支柱簇

2.7 投射模

3 定理及其证明

根据引理2.4 可得 Φ (||g||Q)=0 . 于是Q是投射的, 即Q＾ 是投射模.

4 定理 3.1 的另一种证明

图 1 交换图Fig. 1 Commutative diagram