跃过数学错误频发这道“坎”

梁远江

【摘要】本文分析学生在某一个数学问题上经常性地出现同样错误的原因，即一方面与学生自身对数学知识掌握不牢与概念不清有关，另一方面与学生心理因素有关;认为教师利用好这些错误资源，可以帮助学生从错误产生的心理层面剖析原因，并寻求对策，从而唤醒学生的认知冲突，引导学生辨析，帮助学生建立正确的知识系统，有效地提高数学教学质量。

【关键词】小学数学 错因分析 心理成因 方法对策

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）45-0046-03

小学生在数学学习过程中，经常犯不同的错误在所难免，可有些问题哪怕老师一而再再而三苦口婆心地反复提醒、交代，可是部分学生仍然旧“病”复发，甚至有些成绩中下的学生还会发展成“顽疾”，表现出持久性与多发性的特点。许多老师都简单地将这一切归咎为学生粗心大意或答题不认真或上课开小差等外因所致。其实不然，仔细分析学生产生错误的深层原因，我们不难发现，这其实是学生错误心理在作祟。一般来说，教师帮助学生找到真正“病因”对症施治，远比老师简单重复地对同一错误反复说教，或让学生进行同类习题反复操练，效果来的明显。下面试分析学生常存在的错误。

一、“思维干扰型”错误

【例1】[16]÷（[12]+[13]）

〖错因分析〗这一道计算题很简单，根据四则混合运算法则，先算小括号里面的加法，再算小括号外面的除法。可很多同学一开始都把它错误计算成“[16]÷（[12]+[13]）=[16]÷[12]+[16]÷[13]”，这样做显然是不对的。学生为什么会有这样的思维过程呢？一开始笔者批评了这些同学，同学们脸上还是写满了“委屈”。心想，这怎么会错呢？满脸的不甘心。后来笔者找来其中一位学习较好的学生，问他：“你为什么这样做？你是怎么想的？”学生答：“我这里用的明明是乘法分配律，没错啊。”听了这席话，笔者顿时恍然大悟，原来是“乘法分配律”干扰了学生的正确思维。

〖心理成因〗从心理学角度分析可知，思维本是人脑对客观事物的本质和规律的间接的或是概括的一种反映。小学生的思维一般具有自觉性、独立性、灵活性比较差的特点，他们往往不考虑或很少考虑题目内容和条件的变化，仍然以已有旧经验来解答新问题，表现出思维的惰性。错例中导致学生演算错误的是受已学“乘法分配律”的思维定式的干扰所致。因为学生脑海中已牢牢锁定“乘法分配律”的固定模式为“（a±b）c=ac±bc”，部分学生直接迁移到除法中，得出“（a±b）÷c=a÷c±b÷c”的错误结果，并有这样的知识体验。因此当他们遇到新题中的数字在位置排列上，类似或接近乘法分配律中数字的排列特征时，就容易受固有思维定式的干扰，仍“旧调重弹”误入歧途。

〖方法对策〗要克服这类思维定式的负迁移或思维消极作用导致的错误，教师一是要用好学生在学习中生成的动态错误资源，引导学生进行多角度的观察、比较，将原题与（[12]+[13]）÷[16]作比较，使学生产生对正、误两种解题思路认识上的冲突。他们弄清后就会发现，一个算式表面上看是除以[16]，其实可以理解为乘[16]的倒数（即乘6），当然可以用乘法分配律进行计算（即[12]÷[16]+[13]÷[16]），而原题算式中除以的却是一个整体（即两数之和），二式有本质的区别。教师引导学生进行观察、对比，让学生明白，两数和的倒数不等于这两数的倒数之和的算理。在具体教学中，教师要考虑不同学段学生的年龄及心理特征以及学生已有知识经验的储备，教给他们必要的思维方法，注重学生思维灵活性的培养，强化一题多变的练习，让学生在对比、思辨中反思错误。只有深挖学生错误的深层根源，才能从源头上杜绝此类问题的继续“蔓延”。

二、“条件反射型”错误

【例2】21.3+78.7-21.3+78.7=

〖错因分析〗很多学生一拿到题后，不假思索，就在答案后面填写一个0。很明显，错例中“21.3+78.7=100”，给了学生很大的视觉“刺激”，这是因为在这之前学生有过“凑整”思想的强刺激影响。如“182+18，2.5×4，1.25×0.8”等这一类计算，曾经被反反复复演练了无数遍，不知不觉也在学生脑海中烙下一个深深的“印迹”，几乎所有学生都会对这样类似的数字特别敏感，并形成十分强烈的“凑整”效应。

〖心理成因〗苏联生物学家巴甫洛夫认为，条件反射是有机体后天经过学习获得的一种反射，条件反射需要一个长期的建立过程。有机体在具有一定顺序和强度的刺激物，多次重复作用下，大脑皮层就会以同样的顺序，形成巩固的神经联系系统，这种神经联系系统一旦确立、形成，以后只要有刺激物再次出现，一系列的条件反射就会相继出现。当这种反射源再次出现时（即21.3+78.7=100），算式的整体运算顺序，就会在一定程度上被学生弱化，甚至会被学生视而不见，因而将学生引到“沟里”。

〖方法对策〗造成以上错误其实是教师在平时教学中，无意识地过分强调“凑整”的结果。因此在教学中教师应强化算式的整体运算顺序，引导学生将错例与“（21.3+78.7）-（21.3+78.7）”算式比较，自然就发现两题之间存在差别，其区别是运算顺序不同，这样就能有效预防此类错误的频发、再发。当然也可以作适当的变式练习，如，“[15]×[57]÷[15]×[57]”与“（[15]×[57]）÷（[15]×[57]）”的对比。

三、“感知粗糙型”錯误

【例3】“[14]与[25]的和去除[16]，结果是多少？”

〖错因分析〗很多学生这样列式“（[14]+[25]）÷[16]”，这是一种“感知粗糙型”错误，学生只关心到知识的整体部分，却忽略了更重要的细节，从而导致错误。

〖心理成因〗心理学中所谓的感知，是指感觉和知觉的合称，具体指人脑对客观事物的直接反映。研究表明，当我们在知觉一个熟悉的事物时，只要作为事物的主要特征或关键部分一出现，人脑就会根据以前的经验，知道它的其他特征或部分，并迅速对事物的整体作出反映和判断。此时事物中的其他细节部分，则不易被察觉。学生的错误往往也就发生在这些被主观忽略的细节处。错例中学生读完题后，首先映入眼帘的是“去除”二字，学生一下子就在心中有了想法，本题用除法做（即错例所示），而忽视了“去除”与“除以”的不同，这类错误大多由于学生感知粗略、笼统的心理特征导致。

〖方法对策〗教师首先应在学生容易发生错误的细节部分，适时提醒学生多加注意，必要时可以在出示上题前，先指导学生温故“去除”与“除以”两个概念的异同后，再放手让学生练习，这样效果会更佳。其次在授课中要对容易混淆的概念加以点拨，如“[35]”和“[35]千克”就是“率”和“量”的本质区别。又如下面这道题：

信封中装着一个三角形，只露出其中的一个角。如下图：

问：你知道长方形信封内藏着的是什么三角形吗？

大部分学生都会认为这是一个锐角三角形，因为他们看到露出的那个角是锐角，所以想当然地认为信封中装的一定是锐角三角形。这显然是对三角形的本质特征掌握不牢，出现以点概面的感知错误。

因此教师要有意识地培养学生的观察能力，教学生具体地观察，认真地审题，掌握审题的方法。

四、“注意分散型”错误

【例4】一根长1米，底面半径2分米的圆柱形木料的体积是多少立方米？

〖错因分析〗大多学生会错误列式为“3.14×22×1”，可以看出此时学生的注意力完全集中到了问题的解答上，对本题中的单位统一的问题却没有注意到，这类错误是典型的“注意分散型”错误。

〖心理成因〗心理学认为注意是心理活动对一定事物的指向和集中。实践表明小学生的注意具有广度小、深度浅、稳定性不高，且持续时间短的特征，年龄越小注意品质越差。人们常说的“没有注意”是特指人对当前应当注意的事物没有注意，而去注意其他事物或事物的其他特征，也称“注意分散”。正是这种“注意分散”导致一些本该注意的对象没有被意识到或意识比较模糊，使之处于注意的边缘，偏离注意的范围。错例中学生只想到“圆柱的体积=底面积×高”的求解方法上，注意力全在解题思路上，却将统一单位的细节完全抛之脑后。显然这是学生在注意分配上不能兼顾，因而顾此失彼。再有，许多同学在竖式算完后忘了写横式中的得数，解方程时经常漏写“解”，填空题里只填数字忘带单位等，都是学生在注意分配上的缺陷造成的丢三落四的错误现象。

〖方法对策〗在教学实践中，教师应在儿童入学后，从小培养学生养成良好的注意习惯，特别在解题时，应经常提醒：“小心，可别掉入‘陷阱哦！”或用类似的警示语提醒。亦可让学生在读题时，将题中需要特别引起关注的字或词，以重音的方式读出来，或在考试、练习时提醒学生在这些关键的字眼（如“无盖”“圆锥”“四周和顶篷”）下方打上“△”的符号以示提醒，这样可以有效降低此类错误。

五、“记忆偏差型”错误

【例5】[15]公顷=     平方米

〖错因分析〗错例中“公顷”与“平方米”之间的进率比较特殊（1公顷=10000平方米），学生受1平方千米=100公顷、1平方米=100平方分米等相似面积单位进率换算的影响，会出现记忆“跑偏”现象，错将“公顷”与“平方米”的进率也误认为是100，因而出现错误。

这类问题还经常出现在时间单位的换算中，比如“1.2时=（  ）分”，学生常常不假思索地就填上“120”。细问学生才恍然大悟，他们把进率60当作进率100了。小学范围内的单位换算，主要有长度、面积、体积（容积）、重量、时间、货币几类，其中大多相邻两个单位之间的进率主要以10，100，1000为主，唯有相邻两个时间单位的进率较特殊，学生往往容易在记忆过程中受影响，从而出现记忆模糊。

〖心理成因〗记忆指过去经历过的事物在人脑中的反映，人的记忆通过表象的形式保持于大脑，并在需要时再现。心理学认为，小学生的记忆多以具体、直观、形象为主，年龄越小这种特点越明显，因此抽象的公式和概念的记忆对学生而言困难较大。还有，小学生的记忆常受相似事物的干扰而出现记忆偏差。

〖方法对策〗在教学中，教师应尽可能结合图片、模型尤其是多媒体教学手段来辅助教学，提供给学生直观、具体的形象画面，这样才能让学生记忆保持时间长，遗忘速度慢。教师平时可以有针对性地对学生进行记忆方面的强化训练（必要的机械识记的训练也是需要的），比如，分数、小数、百分数互化（即分母为2，3，4，5，6，8，10的最简分数转化为对应的小数与百分数），长方体、正方体、圆柱体、圆锥的表面积与体积公式的识记，不同类型单位间的进率表的熟记（尤以时间单位的换算出错概率较高），以及一些特殊值的背诵等，这些对学生的解题都十分有帮助。

学生出现的各类数学错误，都有其深层的内在原因，除与个体心理活动有关外，还伴有概念混淆、算理不明等知识层面的原因，更与学生缺乏良好的作业习惯、听课习惯、检查反思习惯密不可分。教师要有针对性地进行个别点拨辅导，因人施教，也可以让学生每人准备一本“错题集”，用于收录自己平时练习、作业、考试中的错题，从小养成常检验、常反思的好习惯。教师只有做到事无巨细耐心说教，才能在帮助学生纠错方面取得明显的成效。

总之，学生在数学学习中出现的各种错误均属正常，同一个错误往往会交杂一个或多个原因造成。教师对待学生的错误切不可藏着、掖着或只是轻描淡写一笔带过，更不能对错误学生大加申斥，雷霆大怒。而是要善于换位思考，及时发现学生产生错误的共性特点，分析深层原因，排除影响学生解题错误的心理障碍，带领学生参与错误发现、错误讨论、错误纠正的全过程。教师只有问好“诊”、把准“脉”、洞见学生错误的深层症结，方可对症下药辨证施治，才能真正防患于未然，帮助学生尽快跃过数学错误频发这道“坎”。

心理学研究表明，学生的数学学习是由思维、感知、注意、记忆等基本心理活动共同参与完成的结果，教师只有理解了学生是如何学数学的，他们在学习过程中会出现，甚至反复出现这些错误，以及如何有效快捷地去诊断学生的这些错误后面更深层的心理原因，才能进行更有效的辅导和补救教学，从根源上遏制或斩断这种错误势态不断扩大之势。

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注：本文系福建省教育科学“十三五”规划2019年度立项课题“基于信息化的交互式电子白板在小学数学教学中的应用研究”（立项批准号：FJJKXB19-727）阶段性成果。

（责编 李 唐）