摘 要:离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量,求离心率的值或取值范围是高考的重点、难点和高频点. 该知识点的考查紧紧依托教材,源于课本,高于课本.往往由若干基本知识,经过类比、引申、改编而成.
关键词:双曲线;渐近线;离心率
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0022-03
收稿日期:2021-09-05
作者简介:
李昌成(1977.9-),男,四川省资阳人,本科,中学正高级教师,从事高中数学教学研究.
一、题目呈现
题目 (2021年新高考一模试卷第12题)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为点A,交另一条渐近线于点B,且AF2=13F2B,则该双曲线的离心率为().
A.62B. 3C. 362D.33
二、总体分析
本题是新高考一模试卷中多选题的压轴题,着重考查双曲线的几何性质和离心率. 该试题新颖而又有创造性,解法更是多样化. 教师在平时的课堂教学中,要引导学生理解由离心率的变化带来的双曲线的变化,在解题过程中选择正确的方法,这样才能够快速准确地求出双曲线的离心率.
王尚志教授曾提出开展主题教学的主张——教师应以“章”或数学中的重要主题或选择通性通法作为学习主题,防止学习内容的“碎片化”,使学习过程具有全局观念下的连贯性,在主题学习活动中提高学生的数学核心素养.
笔者试着遵循以上的求解思路和学习主张,由具体推及一般,找到解决此类问题的通性通法,以期达到抛砖引玉之功效.
三、试题解答
题设中给出的是两线段的长度关系,并不明确点F2是内比分点还是外比分点,因此需要分AF2=13F2B和AF2=-13F2B两种情况求解.
情况1即AF2=13F2B.
解法1 利用平面解析几何知识结合双曲线的性质推理求解.
设OA所在的直线方程为y=bax,即bx-ay=0,则AF2=bcb2+a2=bcc=b.又OF2=c,所以OA=OF22-AF22=c2-b2=a.
由题及图1,易得F2为AB的内比分点,所以F2B=3AF2=3b.
设∠AOF2=α,则∠AOB=2α.
在RtΔOAF2中,tanα=ba,在RtΔOAB中,tan2α=4ba,又tan2α=2tanα1-tan2α,
所以2·ba1-(ba)2=4ba,化简整理,得b2a2=12,结合b2=c2-a2,以及e=ca,解得e=62.
解法2利用向量条件中所含的几何关系和代数关系,借助直线的方程推理运算求解.
由已知条件得,直线OA方程为y=bax,①
直线OB方程为y=-bax,②
直线AB方程为y=-ab(x-c),③
联立①③得xA=a2c,联立②③得xB=a2ca2-b2.
由AF2=13F2B,有c-xA=13(xB-c),
所以3(c-a2c)=a2ca2-b2-c.(*)
整理,得2c4-5a2c2+3a4=0,所以2e4-5e2+3=0,即(2e2-3)(e2-1)=0.
又e>1,所以e=62.
情况2即 AF2=-13F2B.
结合解法1,AF2=b,OF2=c,所以OA=OF22-AF22=a.
由题及图2,易得F2为AB的外比分点,所以F2B=3AF2=3b,AB=F2B-AF2=2b.
设∠AOF2=α,则∠AOB=π-2α.
在RtΔOAF2中,tanα=ba,在RtΔOAB中,tan(π-2α)=2ba,tan2α=-2ba,又tan2α=2tanα1-tan2α,所以2·ba1-(ba)2=-2ba,化简整理,得b2a2=2,解得e=3.
综合以上两种情况,本题正确选项为AB.
评析 解法1本质上是几何法,以垂直为切入点,又因为两条渐近线关于x轴对称,所以存在二倍角关系,将这些要素结合起来,建立双曲线中基本量之间的关系式,从而顺利求解;而解法2则是联立直线方程,求出A,B两点的横坐标,再结合两向量间的关系求解,思路自然,解题过程并不复杂. 在平时的解题教学中,教师要有意识地启发、引导学生从不同的角度进行思考,同时鼓励大家尝试不同的解题思路和方法,逐步提高学生的思维能力和运算能力.
四、一般推广
结论 已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为点A,交另一条渐近线于点B,且AF2=λF2B,则该双曲线的离心率为e=2λ+1 .
解析 此处不明确点F2是内比分点还是外比分点,因此需要分两种情况讨论.
以下重点结合解法1求解,得出一般结论.
(1)若λ>0,即点F2为AB的内比分点(如图1),可求得AF2=b,F2B=1λb,OA=c2-a2=b.
设∠AOF2=α,则∠AOB=2α.
由已知条件易得tanα=ba,tan2α=b+1λba=(λ+1)bλa.
又tan2α=2tanα1-tan2α,所以2·ba1-(ba)2=(λ+1)bλa.
結合b2=c2-a2,化简,整理得λ=2a2-c2c2=2e2-1,所以e2=2λ+1,即e=2λ+1.
(2)若λ<0,显然λ>-1,即点F2为AB的外比分点(如图2),易求得AF2=b,F2B=-1λb,OA=c2-a2=b.
设∠AOF2=α,则∠AOB=π-2α.
由已知条件及图可得AB=F2B-AF2=-1λb-b=-λ+1λb,因此tanα=ba,tan(π-2α)=-λ+1λba=-(λ+1)bλa.
又tan(π-2α)=-tan2α,所以tan2α=(λ+1)bλa.以下同(1),求得e=2λ+1 .
评析 本题是此类问题的一般推广,因为参数的正负不明确,所以在研究时需要讨论.根据直线与双曲线的位置关系画出对应的图象,再利用数形结合,找到基本量之间的关系式,通过整理、变形、化简,最终得到离心率. 通过求解的最终结果,发现点F2无论是线段AB的内比分点还是外比分点,(注:垂足A为起点,F2为分点,B为终点)都可以得出统一的结论,即e=2λ+1. 而这种类型的题,基本上是以选择题的压轴题出现. 只要大家理清了问题的本质,可以直接带值求解,这样既节省解题时间,又提高了解题效率.(有兴趣的读者可以针对文首的压轴题分别代入λ=13和λ=-13进行求解验证)
五、解题反思
本文是专门探讨一类求解双曲线的离心率的经典题型,即经过双曲线的一个焦点的直线与其中一条渐近线垂直,与另一条渐近线相交,在明确长度关系的条件下,求离心率的问题.求解方案通常有两类:一类是综合几何法,以直观想象为基础,以曲线的定义及几何性质为抓手推理运算求解;另一类是解析几何法,以数学运算为基础,依托曲线的方程为切入点,通过运算推理求解. 直观想象素养为第一方案的思路产生提供了保障,而数学运算素养为第二类方案的思路产生提供了支撑.同时逻辑推理素养是两种方案中不可缺少的共同基础.
通过研究近几年的考题,发现题目中基本没有给出图形,因此这就需要解题者结合题意,快速准确地画出图形,并从中找出几何关系,再转化为数量关系求解. 有时也可以借助几何直观助力思考,从而不断提高解题者的直观想象能力和逻辑推理能力. 同时还可以借助向量、三角函数等知识简化运算,培养学生的解题能力和思维能力.基于新课程改革的要求,如何在解题教学中落实学生的核心素养,是每一位教育工作者需要深入思考的问题. 在教学中注重数形结合的思想,方程的思想,在对圆锥曲线等解析几何问题的解答过程中,需要将几何问题代数化,培养学生的数学应用意识,切实将数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养落到实处.
参考文献:
[1]陈言.基于数学教学主题 培养数学核心素养——以“再探圆锥曲线的离心率”教学为例[J].福建基础教育研究,2019(07):57-58.
[2]王尚志.如何在數学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师,2016(09):33-38.
[责任编辑:李 璟]