圆形独立基础在均布地基反力作用下的内力分析

张龙君 张兰娣 郝云锋 马立勇 刘丽娟

(1.中材地质工程勘查研究院有限公司，北京 100102；2.河北建筑工程学院，河北 张家口 075000)

1 引 言

目前风机基础的设计，以重力扩展基础为主流.桩基础适用于地基承载力不足时；而岩石锚杆基础只有在地质条件较好，岩石强度和质量等级较高的场地才有应用；至于流行一时的P&H基础(墩式基础)，因为被动土压力在循环荷载下的各种不确定性，目前已经基本退出历史舞台.

圆形重力扩展基础的结构设计中，截面抗弯是重要的内容.而抗弯承载力的计算，也决定了基础底板的配筋量.目前仅有张浦阳等曾对基础内力按照厚板理论进行过分析[1].旧版的风机基础设计规范[2]没有圆形基础的内容.实际项目设计时大多参考烟囱设计规范[3]的相关内容.然而风机基础和中空的烟囱基础两者结构差别较大，直接借用势必造成很大的偏差.由于基础截面较大，一般情况下结构的抗剪均能满足，但也有必要加以验算，防止剪切破坏.因此给出了剪力的计算公式.

在实际项目中，结构分析和结构计算往往是一体化的迭代过程.具体到风机基础，结构的内力分析，是通过假定基础底板的竖向应力分布，根据弹性理论确定单位长度范围的径向弯矩、切向弯矩和剪力.结构计算可以认为是利用这些弯矩和剪力，确定圆形基础的截面厚度和锥度，以及配筋.如果截面过大，或者配筋过多，就需要调整基础的半径，这样基底的反力也就发生变化，需要重新的迭代，得到新的内力，再行配筋.本文的关注点就是通过理论分析，从基底反力出发得到基础截面的内力，以便于实际项目的工程师利用截面的内力进行截面设计.

图1 典型的风机基础图(简化为轴向荷载下基础的反力分布)

需要强调的是，2019年版的风机基础设计规范[5]中，只给出了径向弯矩的简化公式，切向弯矩一律取径向的一半.这样处理有些粗略，因此本文探讨了内力的解析解的形式，改进了规范的计算方法.

2 圆形基础的几何模型和荷载

2.1 几何模型

典型的风机基础如图1所示.基础一般为平面圆形，剖面则从外侧到中央逐渐加厚，这样反映了对于弯矩的变化的适应，符合等强度设计的理念.

2.2 圆形基础的荷载

基础顶部的荷载有轴向力，弯矩，水平力.三个力可以等效为一个偏心的轴向力，这将产生梯形的基底反力.这样的反力分布，如果求取解析解，在力学上和数学上比较复杂，所以工程上一般都将偏心荷载下的梯形反力等效为均布反力，以便于求解，而又能确保结构的安全.

3 模型的微分方程

图2 极坐标内力分量与坐标相对关系

3.1 薄板假设和极坐标

按照经典的弹性理论，d/δ小于5～8时，为薄板.风机基础的典型直径为20m，底板厚度一般1～3m，所以可以认为是薄板，采用弹性理论中的圆形薄板理论求解.

因为基础为圆形的平面，所以采用极坐标是比较恰当的选择.图2展示了极坐标中内力分量和坐标的相对关系.

3.2 微分方程

为了简化公式，我们引入薄板的弯曲刚度D，单位kNm，量纲为L2MT-2.对于确定的材料和厚度，抗弯刚度是确定的值.

(1)

式(1)中，E为混凝土的弹性模量，单位kPa;δ为板厚，单位m；μ为泊松比.

一般荷载情况下，极坐标下的弹性薄板微分方程[4]可以表示为：

(2)

式(2)中，w为横向位移变量，即挠度，是ρ和φ的函数，单位m；φ为极坐标中的转角，单位rad；ρ为极坐标中的径向坐标，单位m；q为基底单位面积的反力，简称基底反力，单位kPa.

实际的工况，一般是塔底受弯受压组合荷载，这样基础底面的反力无疑是不均匀的.我们将偏心荷载等效为轴向荷载，这将使式(2)的求解大为简化.

均布基地反力作用下，位移w(ρ,φ)可以化简为w(ρ)，与φ无关，只与ρ有关系.因此偏微分方程式(2)将简化为微分方程：

(3)

常微分方程的解为：w=C1lnρ+C2ρ2lnρ+C3ρ2+C4+w1

(4)

对于均布荷载q，挠度的特解w1=B0ρ4，带入式(3)，可知w1=q0ρ4/(64D)

(5)

截面弯矩和剪力为

(6)

图3 基础底板中央和台柱交界面视为固接

4 基础内力的计算

4.1 边界条件和求解

基础的边界情况如图3，底部为净反力，中央固接于台柱部分.

1)中央圆形台柱部分视为刚性固接，因此基础底板可以视为中央开孔薄板；

2)基础底面反力假定均布(按净反力考虑)；

3)基础外边缘视为自由端，与回填土无摩擦.

因此得到四个边界条件，可以求解式(4)中的四个未知系数：

(7)

(8)

(9)

(10)

上述四个边界条件整理为关于系数的方程组，如下：

(11)

混凝土结构的泊松比取0.2时，可以求解得到弯矩的表达式

(12)

(13)

(14)

4.2 算例

图4 Mρ、Mφ、Fsρ内力对比

假定基础中央台柱半径r1=2m，基础底板半径r2=10m，混凝土泊松比取0.2，基底净反力-150kPa，可以求得基础底板的内力分布如图4，可见，剪力和弯矩都是基础外侧为零，根部最高，而径向弯矩变化较小.由此也可见基础靠近外侧的部分，切向弯矩取为径向弯矩一半的做法[5]是不恰当的.

5 结 论

按照弹性力学的方法，求解圆形基础在底部均匀荷载下的基础内力，物理意义明确.该方法改进了现有规范[5]过于简化的不足，也避免了切向弯矩在整个截面都取为径向弯矩一半的不恰当假定，因此更符合结构的力学实质.解析解形式的基础内力，可以直接用于后续的混凝土截面设计和配筋的工作，便于实际工程应用，避免了每个项目建立有限元模型的繁重工作.