经历推理过程，促进知识理解

许葛倩

摘要：培养推理能力是数学教学的重要目标，而通过推理过程也可以促进知识理解。“乘法分配律”的教学，可以引导学生充分经历推理过程，从而发展推理能力，并且促进知识理解：举例猜想验证，经历归纳推理;借助几何直观，经历类比推理;基于已有知识，经历演绎推理。

关键词：数学推理;乘法分配律;归纳推理;类比推理;演绎推理

推理是数学思维的基本方式，也是发现（创造）数学知识的重要途径。培养推理能力是数学教学的重要目标，而通过推理过程（建立知识联系）也可以促进知识理解（建构）。数学推理包括归纳、类比等以经验和直觉为依据的合情推理，以及以逻辑的规则为依据的演绎推理。两种推理协同发展，才能真正培养数学的探索发现（创新）能力。

曹培英教授指出：“与合情推理被张扬并存的是，传统小学数学的教学内容中，有很多尚待发掘的演绎推理。” 在“乘法分配律”的教学中，许多教师往往只引导学生观察、比较几组等式，便归纳得出运算律，而没有让学生通过其他推理方式检验（说明）。实际上，这一内容的教学可以引导学生充分经历推理过程，从而发展推理能力，并且促进知识理解（建构）。

一、举例猜想验证，经历归纳推理

归纳推理是从特殊例子推出一般规律或者从个别事实得到一般结论的过程。它是人们日常生活中用得最多的推理方式，很符合小学生的年龄和思维特征。在归纳推理中，教师特别要引导学生注意例子有没有全面性和典型性，从而使得出的结论更科学;关注有没有出现反例，从而使得出的结论更可靠。

在“乘法分配律”的教学中，教师可以引导学生通过举例猜想验证乘法分配律，从而经历归纳推理。笔者的教学过程如下：

[教师出示苏教版教材例题，引导学生采用两种方法计算，得到等式（6+4）×24=6×24+4×24。]

师该式子有什么特点？等号两边有什么联系？

生等号两边都有6、4、24，左边先算6与4的和，再算它与24的积;右边先分别算6与24、4与24的积，再算它们的和。

师我们可以大致提炼出“三个数”“先加再乘”“先乘再加”的特点。你能猜想出什么结论？

生两个数相加再乘一个数等于这两个数分别乘那一个数再相加。

师好的。因为我们对式子的特征有了一点感觉，所以可以先猜想一般的结论。而如果我们对式子的特征没有感觉，则可以类似地再写几组这样的算式，算一算两边是否相等，看看式子相等时具有什么特征。有了猜想，下面要做什么？

生验证。

师怎么验证？

生举例。

师没错，还是举例。不管是猜想还是验证，都需要举例，需要举出更多的例子。我们有四十几位同学，如果每人举一个例子，就有四十几个例子了。那就请大家根据刚才的猜想在作业纸上每人写一个例子，再看看两边是不是相等。开始吧！

（学生举例。）

师老师发现有同学写出了三位数的例子，真好！当然，举例时除了考虑较大的数，还要考虑一些特殊的数，如0、1等。

（学生举出更多的例子。）

师我们举出了很多例子，还举出了一些比较特殊的例子，使例子具有了全面性和典型性;同时，我们没有发现反例。因此，可以初步说明猜想是正确的。其实，这个猜想就是乘法分配律，用字母代替数字写成算式是：（a+b）×c=a×c+b×c。

二、借助几何直观，经历类比推理

类比推理是根据两个对象在某些属性上相同或相似，通过比较推断出它们在其他属性上也相同或相似的过程。在数学中，数与形有着密切的关系，是重要的类比对象。看到抽象的数或式，要类比联想其几何意义，借助几何直观推理结论，进而理解意义。

在“乘法分配律”的教学中，教师可以引导学生联想两数相乘的几何意义，借助几何直观说明乘法分配律，从而经历类比推理。笔者的教学过程如下：

师还有其他方法说明乘法分配律成立吗？

（学生思考。）

师可以从几何意义的角度考虑：两个数相乘在几何图形中相当于求什么？

生求长方形的面积。

师什么样的长方形？

生长和宽分别是这两个数的长方形。

师很好！我们先来看乘法分配律的一个特殊情况，如（4+5）×3=4×3+5×3，它的左边相当于求什么？右边呢？畫出图形，看看左右两边相等吗？

生（出示图1）左边的（4+5）×3算的是大长方形的面积;右边的4×3、5×3分别算的是两个小长方形的面积，合起来也是大长方形的面积。

师说得真好！其他例子都能放到长方形中说明吗？

生能。

师那一般情况（a+b）×c=a×c+b×c呢？（出示图2）我们一起来结合长方形的面积说一说。

（学生指图说明。）

三、基于已有知识，经历演绎推理

由于合情推理得出的结论具有或然性（不可靠），所以，数学研究特别重视演绎推理，从而追求结论的必然性（可靠）。这也是数学研究理性精神最重要的体现。虽然小学生的思维以具体形象思维为主，但是在高年段，抽象逻辑思维已经开始发展。因此，教师在教学中可以适当引导学生开展演绎推理，即从已有知识（结论）出发，依据逻辑规则进行推理，使学生走出主要依靠经验和直觉的合情推理的局限，更加严谨地思考问题。

在“乘法分配律”的教学中，教师可以引导学生基于乘法的意义以及加法交换律和结合律，推导乘法分配律，从而经历演绎推理。笔者的教学过程如下：

师我们能不能从已有的知识出发，更加严谨地推理得到乘法分配律？

（学生思考。）

师根据所学，乘法的意义是什么？

生几个相同加数的和。

师没错。这样，乘法就能变成加法。同时，我们还学过加法的两个运算律，是什么？

生加法交换律、加法结合律。

师我们能不能试着推理一下？还是先来看（4+5）×3=4×3+5×3这个特殊情况，它的左边（4+5）×3用乘法的意义能变成什么？

生3个（4+5）相加。

师（出示图3第一行）没错。继续用加法交换律和结合律，把相同的加数放在一起，能变成什么？

生3个4相加和3个5相加。

师（出示图3第二行）好的。下面还可以用什么变成什么？

生反过来用乘法的意义，变成4×3+5×3。

师（出示图3第三行）非常好！这就变出了它的右边4×3+5×3。（指着图3）请你看图再想一想这个过程。如果不能理解，可以借助其中標注的圆点。

（学生思考并理解。）

师现在来看更一般的情况：如果这里的4和5用a和b来表示，那么可以怎么推理？

（学生活动后，一位学生出示推理过程并解释。）

师很好。现在可以看最一般的情况了：把这里的3也用c来表示。

生我知道了！（出示图4）（a+b）×c就等于c个（a+b）相加，继续变队形，c个a排成一队，c个b也排成一队。看！就是a×c+b×c。

师非常好！（指着图4）另外，从乘法交换律的角度看，（a+b）×c除了表示c个（a+b）相加，还能表示什么？

生（a+b）个c相加。

师很好！那么乘法分配律还可以怎样证明？

（一位学生出示图5并解释。）

（a+b）×c=c+c+…+c（a+b）个

=（c+c+…+c）a个+（c+c+…+c）b个

=a×c+b×c

最后，需要指出的是，上述教学中对乘法分配律的推理是在整数范围内进行的，因为依据苏教版小学数学教材的安排，此时（四年级下学期）学生尚未学习小数、分数的运算，也未学习负数。而在更大的范围（有理数乃至实数）内推理（尤其是演绎推理）乘法分配律，有一定的难度，未必适合小学生。对此，教师可以做进一步思考。

参考文献：

[1] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2] 张琴.在“过程”中推理[J].教育研究与评论（课堂观察），2020（5）.