数学概念深度教学须“五理解”①——以人教版“一次函数”为例

潘 超

(重庆第二师范学院数学与信息工程学院 400065)

数学概念是数学的基本单元，数学概念教学是数学教学的重要内容，其成效直接影响到学生数学学习的效果.部分教师在数学概念教学中经常出现忽视课标(1)《义务教育数学课程标准(2011年版)》，简称“课标”.要求[1]、忽视教材意图[2]、忽视概念本质[3-4]、忽视学生现实[5]、忽视教学程式等现象[6-9].这些现象直接导致了学生对概念的理解不够透彻或偏颇，对概念内涵和外延不能抓住本质，教学活动处于表层状态.为了消减这些现象，提高数学概念教学实效，教师须借助有利于概念形成的活动情境，带领学生超越概念学习的感性认识层面，进入数学概念的内在逻辑系统和意义领域，挖掘概念内涵和外延，实现数学概念对学生发展的价值[10],由此我们呼吁，数学概念教学要从表层教学走向深度教学，即要从符号教学走向概念逻辑体系和意义教学的统一，形成教育数学逻辑语境下的相对完备体系，也即教师在数学概念教学上须达到深度教学状态.而要做到这一点须在课标要求、教材意图、概念本质、学生现实、教学程式等方面做到深度理解.

1 深度理解课标要求

课标是通过多领域专家发挥集体智慧在实践总结的基础上对课程的性质、理念、目标、内容、教学实施等方面进行研制，符合国家教育方针和当前教育背景和需求的纲领性文件.课标对各项内容的描述都很精当，为一线教师开展概念教学带来重要的指导和参考意义.教师在数学概念教学中要达到深度教学状态须对课标达到较高的理解层次，并且教师除却对课程理念、目标等一般性方面达到深度理解外，还应对概念内容在宏观上的定位达到深度理解.以“一次函数”为例，从课标内容来看，对它的要求有六点直接的描述[11].这六点要求包含了一次函数的意义、解析式、图象等主体内容，引出了求解析式的待定系数法，也包含了已学内容和后续内容的关联，此外，还包含了一次函数解决简单实际问题的应用拓展.通过梳理课标中的目标及课程内容的逻辑结构，可以得到“一次函数”的概念体系，我们可以用如下的“十字模型”来表达(图1).

图1 初中阶段“一次函数”的概念体系

课标要求为教材编写和教学内容的安排提供了指南.对“一次函数”的课标要求达到了深度理解，教材编写和教学实施中就明确了哪些内容与一次函数在逻辑先后上有紧密的联系，在主体内容的安排上就厘清了重难点，有利于落实课程的基本目标，从而抓住各项课程内容之间的实质性联系.

2 深度理解教材意图

教材内容是按照顺序性、连续性、整合性等规则组织的，顺序性确保内容的逻辑科学，连续性确保核心概念的连贯与重现，整合性确保学科知识间的关联，理解教材需要考虑纵向与横向、逻辑与心理、直线与螺旋等错综复杂的关系[12].数学概念深度教学须对教材中的这些关系达到深度理解的程度，并处理好各种关系.理解教材除了要理解内容外，还要更多的理解教材(编排)意图，即大力开发“浮于水面的冰山”之“水下部分”[13].理解教材意图是“教教材”和“用教材教”的前提，而从“教教材”到“用教材教”又是理解教材到吃透教材，再到超越教材的过程，这个过程一定程度上反映出理解教材意图的深度[14].只有深度理解教材意图，教学活动才不会偏离教学目标，真正实现学生知识技能、数学思考和情感态度价值观的共同发展[15].从聚焦教材内容的层次来看，理解教材意图既要从宏观上把握教材体系的结构、主线，从中观上要明晰教材内容呈现的方式、逻辑思路等，从微观上把握知识点的具体表征方式、内容，以及所涉及的思想方法等[16].就数学概念教学而言，厘清一节数学概念课的教材意图可以从三个基本问题进行展开，即弄清概念关于“是什么”、“为什么”和“怎么样”的问题.

2.1 弄清概念“是什么”问题

弄清概念“是什么”问题是指弄清概念表征过程中涉及的文字、符号、图表等表达了什么信息.一般来说，概念的表征包括文字表征、符号表征、图形表征、操作表征等多种形式，弄清概念的“是什么”就要弄清概念的表征内容、表征形式、前后顺序等.“一次函数”在人教版教材上是第19章第2节第2部分内容.“一次函数”是继“正比例函数”后安排的内容，涉及的内容栏目包括“问题”“分析”“思考”“定义”“练习”“例题”“探究”等，主要呈现“一次函数”的引例、定义、解析式、图象、性质，以及涉及的方法等，呈现的形式包括文字、符号、式子、图表.

2.2 弄清概念“为什么”问题

弄清概念“为什么”问题是指挖掘教材在表征概念过程中为什么要表达某些信息.这往往需要读者认真阅读、思考、研究，才能弄清的隐含内容，主要包括教材的背景，数学知识的背景，课标的理念，教育学、心理学原理，教学的程序，以及教学的方法、手段等.弄清概念“为什么”问题能更好地全面理解教材中概念知识，为教学设计及课堂教学实施提供参考.“一次函数”在人教版教材的安排上主要体现了如下几点意图：第一，体现数学建模的思想，按逻辑构建知识网络.“一次函数”概念的呈现过程是数学建模的过程，经历从特殊到一般，从具体到抽象，从文字表达到符号表达的过程；第二，多视角刻画“一次函数”，突出函数本质.具体体现是：在“引例”中建立感性认识，形成概念表象；在“思考”中抽象特征，突出本质；在“练习”中变式强化，明确外延；在“例题”中建立模型，探究性质.第三，创设情境，实现概念的自然生长.教材中运用了“登山队员所处海拔与气温关系”引出概念，通过“蟋蟀鸣叫与温度的关系”、“成人标准体重与身高的关系”、“城市电话收费与通话时间关系”、“长方形面积与边长变化关系”深入认识变量，并建立变量之间关系，得到解析式特征，在此基础上归纳定义，这些情境涉及生物学规律、生理学规律、生活中的规律、几何学中的规律，其后还涉及到物理学、经济学中的规律.

2.3 弄清概念“怎么样”问题

弄清概念“怎么样”问题是指综合性地分析和统整教材中的概念体系，判断体系结构、呈现方式与学生素质提升的关系，评判其价值怎么样？以及教材的属性与学生需要的价值关系能否以观念的形式呈现出来？经过有目的、有针对性、有比较地分析教材后，从教材的各个维度作出评估，为后续教材处理过程提供全面信息和充分的处理依据.“一次函数”在教材上基于呈现的内容和方式，很好地架构了概念逻辑思路，为学生深化理解函数概念和认清一次函数本质做好铺垫.如图2所示，一方面从某些现实问题中变量之间的练习通过建立数学模型的方法，借助上位概念(函数)引出下位概念(一次函数)；另一方面，通过一次函数的应用认识现实问题之间存在的一些联系，反映数学应用的广泛性和刻画世界规律的深刻性.这两个过程是“用数学的眼光观察世界”“用数学的思维思考世界”以及“用数学的语言表达世界”的体现.此外，教材总体设计上，把握了从“形”和“数”两个维度来学习“一次函数”，并且揭示了两个维度的关联性.

3 深度理解概念本质

数学概念是数学理论的核心和精华，是反映客观事物关于空间形式和数量关系的本质属性的思维形式.一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵，所反映的对象的总和称为这个概念的外延[17].概念的内涵和外延是概念的两个基本特征，深度理解数学概念本质上就是理解概念的内涵与外延，能清楚数学概念的来龙去脉，善于区分体现核心概念和思想方法的本原性问题与无关数学本质的“细枝末节”的问题，具备将数学知识的学术形态转化为有利于学生理解和消化的教育形态的能力和“技术”[18]，而要做到这样程度，就需要抓住有关概念的以下要点.

3.1 领会概念内涵与外延的科学范畴

深度理解概念本质需要首先明确在什么样的数学体系中来认识和研究该概念，这说明数学体系(本质上是基于学生认知结构水平下的知识体系)对概念学习具有制约性.“一次函数”是在义务教育阶段的学习内容，属于初等数学科学知识范畴，因此，我们要从本阶段数学自身的特点来认识“一次函数”概念及相关知识，是基于“变量对应”观下的函数概念基础上学习的概念，既不是小学阶段数量角度来学习的概念体系范畴，也不是高中阶段集合论和映射角度来学习的概念体系范畴.“一次函数”是最基本的常见函数，其内涵刻画的是两个变量之间存在的某种特定的函数关系.

3.2 领会概念的定义结构和定义方式

概念的定义是准确揭示一个概念的内涵或外延的逻辑方法.任何定义都由被定义项、定义项、定义联项三部分组成[17]，领会定义的结构有利于促进对概念本质理解；揭示内涵的定义称为内涵定义，明确外延的定义称为外延定义.数学概念的具体定义方式主要包括描述式、属种式、发生式、关系式、外延式、递归式、约定式等若干种.教材中，“一次函数”的定义是：形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.该定义结构中，“一次函数”是被定义项，“形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数”是定义项，“叫做”是定义联项.这是采用“属种式”定义的概念.函数是其“属”概念，具有y=kx+b(k≠0)的解析式是其“种差”概念.

3.3 领会概念内涵与外延的相称性与反变关系

概念描述的内涵与外延必须相互匹配，这就是相称性.在理解概念过程中，要防备学生对概念外延理解“过宽”或“过窄”现象.“一次函数”定义后安排的三个练习题的本质就是让学生对“一次函数”的内涵与外延在理解上的匹配，做到概念辨析的准确性；概念的限定和概括是明确概念内涵和外延的逻辑方法，正确运用概念的限定和概括，不仅有利于数学概念体系的形成，还有助于深刻理解数学概念的内在联系和本质区别.“一次函数”的概念教学本质上是一个概念的限定和概括问题，因此，教师领会概念或者引导学生理解概念时，要讲清内涵和外延，既不能增加属性来描述，也不能减少属性来描述，在适当的时机，教师可以通过举正例和反例来强化概念属性.

3.4 领会概念间的逻辑关系

数学概念不是孤立存在的，许多数学概念之间或这些概念的要素之间有广泛的联系，形成了一个概念域.概念间的关系依据概念的内涵与外延的关系可以分为相容关系(同一关系、属种关系、交叉关系)和不相容关系(对立关系、矛盾关系)[17].学习数学概念，必须用分类、对比、举反例等方法揭示概念间的内在联系，掌握一定范围内的一大套概念[19].“一次函数”一节中主要涉及函数、一次函数、正比例函数等概念，它们两两是属种关系，一次函数与方程(组)、不等式虽然不是属种关系，但它们之间存在内在的逻辑关系.为此，教材专门安排了一节内容，从函数的角度去研究方程、不等式，也用方程、不等式的方法去解决函数的问题，体现函数与方程(组)、不等式的互相联系.

此外，深度理解数学概念，还要理解概念的不同表现方式(或表征方式)、概念的形成过程，以及所涉及的数学思想和方法等.

4 深度理解学生现实

数学概念深度教学需以理解学生现实为前提.学生现实包括生活现实、数学现实和其他学科现实.

4.1 理解学生生活现实

初中学生的生活现实为数学学习提供了生动的背景和广阔的资源，初中生在学习中能自觉关注来源于自然、社会中的现象和问题，对有一定挑战性的内容表现出兴趣.“一次函数”在生活中有一定的认识基础，它不是完全超验性的，但“一次函数”仍然是一个抽象性的新概念，学生在学习这个新概念时容易在认知上引起误解.教师要充分衡量教材中涉及的几个实例(海拔与气温、蟋蟀鸣叫与温度、体重与身高等的关系)是否能与学生的认识相对接，如果能进行对接，则充分挖掘素材中的教育价值，如果不能对接，则在领会教材意图基础上，根据学生实际情况创设更为贴近学生生活现实的例子来实施教学，以使概念的生长基于情境的土壤，同时，也使学生感受到数学的价值和趣味.

4.2 理解学生数学现实

学生的数学现实就是学生所积累的数学知识和方法，为进一步学习数学提供了依据.教师理解学生数学现实就是理解学生已有的知识基础和方法基础，尤其把握教材与已有基础的落差，保障教学实施的针对性.[20]概念教学中，理解学生数学现实需要深度分析知识系统与能力系统两个层面，这有利于学生更好地理解所学概念的内涵，更好地揭示概念间的内在关联，有利于从整体上理解数学和构建数学认知结构.“一次函数”概念相对变量与函数概念而言是比较简单的概念，从教材体系来看，“一次函数”是安排在变量与函数、正比例函数之后的内容，学生学习它时已初步掌握了用解析式、表格式和图象式来刻画函数的方法，具备了必要的知识基础和方法基础.

4.3 理解学生其他学科现实

学生的其他学科现实也是学生现实的一部分，数学中的许多内容本身与其他学科之间有密切的联系，教师深刻理解学生的其他学科现实有利于创造数学应用广泛空间，让学生认识到数学的学习并不是孤立的.

5 深度理解教学程式

数学概念的教学具有一定的科学程式，遵循学科知识生长逻辑，遵从学生认知规律和心理发展要求，遵从教育教学原理等.只有深刻理解概念教学的基本程式才能科学设计教学活动，教学实施才可能达到一定深度.数学概念学习一般要经历概念的引入、概念的获得、概念的应用等基本程式，在这几个过程中，概念的获得是最重要的[21].心理学研究表明，概念的获得有两种方式，即概念的形成与概念的同化[22].由此，数学概念的获得也对应两种方式，即数学概念的形成与数学概念的同化[23].数学概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中发现同类事物的本质属性，从而形成概念的过程.因此，数学概念的形成实质上是从一类数学对象中抽象出其共同本质属性的过程.数学概念同化是利用学生认知结构中的原有概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性.前者强调以学生的直接经验为基础，用归纳的方式抽取出一类事物的共同属性，从而达到对概念的理解，后者则以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，依靠新、旧概念的相互作用理解概念[24].简言之，概念形成是从具体实例出发的，以归纳的思维来形成新概念.而概念同化则是从抽象定义出发，以演绎的思维方式理解和掌握新概念[25].以上两种概念的获得方式都经常单独使用或融合使用，选用的方式本身并无优劣之分.只是由于初中生的年龄、认知水平的特点，数学认知结构比较简单而具体，数学知识比较贫乏，在学习新的数学知识时，能作为同化新知识的已有知识较少，相对而言，概念形成方式使用得多一些[26].下面，我们尝试融合使用两种方式对“一次函数”概念的获得程式进行设计，见图3.

图3 “一次函数”概念的获得程式

5.1 辨别实例，概括属性

从情境中抽取关系式，比如由登山队员所处海拔与气温关系得到的解析式：y=5-6x，以及其它几个解析式：c=7t-35(20≤t≤25)；G=h-105；y=0.1x+22；y=-5x+50(0≤x≤10).对上述关系式进行“个别地看”，即逐个分别进行观察，概括每个式子具有的属性，为认识一次函数建立表象.

5.2 抽象本质，提出定义

通过更为“一般地看”上述解析式，从中进一步抽象出本质属性，去除非本质属性，引导学生认识到这些式子本质上表达的是具备一定特征的函数关系，这个特征就是：“常数k与自变量的积与常数b的和的形式”，然后从数学角度提出定义，给出名称、符号等.

5.3 联系旧知，辨析概念

使新概念与已有认知结构中的概念建立联系，将新旧概念进行“比较地看”.教学时，则可以新旧概念对比讲，复杂概念分为简单概念讲，难懂的概念正反两面讲，以及旧概念新角度讲等[5].本程式中，可以把一次函数与函数、一次多项式、正比例函数等概念进行辨析，勾画关键词，对比概念的内涵、外延等，认识到一次函数与这些概念的联系与区分.

5.4 强化应用，明确外延

在基本明确概念内涵的基础上，通过设置有针对性、典型性、梯度性的例题、习题开展“应用地看”，即从应用中进一步强化概念的认识，特别是应用中举出正例、反例来明确概念外延，除了教材上的练习题外，还可以举出判断是否是一次函数的例子：y=x+1,y=-x+b,y=0,y=1，y=-x，y=x2，ay=x-3(a≠0)，要求学生说出判断的理由，并对照定义中的解析式指出常数.

5.5 融合概念，形成整体

当学生通过“应用地看”后，并不意味着它们就获得了概念，还应当把新概念纳入到相应的概念体系中，对新概念开展“整体地看”，即从整体上再认识概念，做到概念的融会贯通，使之成为概念体系中的一个重要节点.“一次函数”概念教学在本程式中的实质就是形成概念图式，或者生成“一次函数”的整体和局部上的思维导图.要求学生能表达出“一次函数”的定义、解析式、图象、性质等，甚至能根据“一次函数”的某个特征，提供有关“一次函数”的一切特征，也能表达出“一次函数”在函数概念体系，乃至代数知识体系中的定位，包括与其它概念的区分和联系，从而实现对“一次函数”概念从宏观和微观上的融会贯通.

以上“五看”可以看成是概念获得的认知连续体，每一个阶段都是不可或缺的，也是不能逾越的，前一个阶段是后一个阶段的基础，而后一个阶段是对前一个阶段的超越[27].